學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中習(xí)得的知識是如何在頭腦中組織的，學(xué)生問題解決的過程是如何思維和提取已有知識的？這些問題的成功回答對于數(shù)學(xué)教育將是意義重大的。學(xué)生知識組織、運用心理過程的明晰化可以使數(shù)學(xué)教育更加科學(xué)有效。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的研究就是基于此理念的一個重要嘗試，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的研究在數(shù)學(xué)教育界一直被廣泛關(guān)注，關(guān)于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的研究主要集中于對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征、功能、意義的研究和闡述，并在此基礎(chǔ)上給予適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)建議。本文主要是在這些研究的基礎(chǔ)上，從心理學(xué)以及數(shù)學(xué)學(xué)科出發(fā)著重對良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念給與了闡述和分析，并在最后提出了“回答特定問題的方式”來幫助學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)建議。
    一、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)概念的提出
    數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)概念的提出源于認(rèn)知心理學(xué)派從人類認(rèn)知角度提出的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念。“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”的概念有不同的表述。布魯納認(rèn)為：認(rèn)知結(jié)構(gòu)是所獲得的概念和思維能力的組合，皮亞杰用圖式描述認(rèn)知結(jié)構(gòu)。奧蘇貝爾則認(rèn)為，認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是學(xué)生頭腦中的知識結(jié)構(gòu)。廣義地說，它是某一學(xué)習(xí)者觀念的全部內(nèi)容和組織；狹義地說，它是學(xué)習(xí)者在某一特殊知識領(lǐng)域的觀念、內(nèi)容和組織。心理學(xué)家認(rèn)為，所謂認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是貯存于個人長時記憶系統(tǒng)內(nèi)的陳述性知識和程序性知識的實質(zhì)性內(nèi)容以及它們彼此之間的聯(lián)系。對于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念，目前大多數(shù)人認(rèn)可和接受的是數(shù)學(xué)教育家曹才翰先生的提法：“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識被學(xué)生按照他自己理解的深廣度，結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點，組合成的一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)”。
    二、良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)概念的提出
    數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能動地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使自己得到全面發(fā)展的過程。但是，學(xué)生在建立數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程中容易出現(xiàn)知識點的簡單堆砌，知識點之間內(nèi)在的關(guān)系不能有效地把握。此方面的佐證就是一些學(xué)生在面對有些數(shù)學(xué)問題百思不得其解的情況下，在經(jīng)別人講解之后卻恍然大悟，可見他們對于作對該題目的知識點儲備已夠，但是卻不知如何從自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取和利用知識?？梢姅?shù)學(xué)教學(xué)還應(yīng)該關(guān)注如何使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時構(gòu)建組織良好的，可高效吸收和提取知識的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，于是提出了良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念。正如曹才翰在《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》中所說的：“數(shù)學(xué)的中心任務(wù)就是要塑造學(xué)生的良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使之具有不斷吸收新的數(shù)學(xué)知識的能力和知識的自我生成能力”。
    三、良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的刻畫
    1.奧蘇貝爾曾經(jīng)說過一句很著名的話：“每當(dāng)我們致力于影響學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以便最大限度地提高有意義學(xué)習(xí)和保持時，我們就深入到了教育過程的核心。”可見奧蘇貝爾對認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重視。奧蘇貝爾曾對良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征做了如下的描述：第一，可利用性，即面對新的學(xué)習(xí)時，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有適當(dāng)?shù)?、能夠起固定作用的觀念可以利用；第二，可辨別性，即當(dāng)已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化新知識時，新舊觀念中的異同點可以清晰地辨別；第三，穩(wěn)定性，即已有的起固定作用的觀念在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是牢固穩(wěn)定的。奧蘇貝爾從學(xué)習(xí)新知識的角度提出的良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征顯然對于數(shù)學(xué)新知識的學(xué)習(xí)也是同樣適用的。
    2.在文獻(xiàn)中，管鵬認(rèn)為良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)具備3個條件：①良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)該是“雙向產(chǎn)生式”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。②良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)該具有層次化、條理化的特點。③良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)該與有效的思維策略相聯(lián)系。在文獻(xiàn)中，何小亞從問題解決的角度認(rèn)為良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)該具備：①足夠多的觀念這里指的是具備足夠多的知識組塊。②具備穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式。③層次分明的觀念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。④穩(wěn)定的問題解決策略的觀念。喻平則用CPFS結(jié)構(gòu)闡述了一個具體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)模型，并證明了該結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)特有的，而且是優(yōu)良的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
    3.在總結(jié)和思考之下，可知良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)該至少具備以下幾個特征：
    (1)知識點精確牢靠，知識系統(tǒng)是系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化的。作為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的最小單元的知識點的掌握應(yīng)該是精確牢靠的，知識點的掌握的量應(yīng)該是盡可能多的。但是良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不是簡單的知識倉庫，堆放著許多零散的孤立的知識，它應(yīng)該是一個有機的整體，知識之間有緊密的內(nèi)在聯(lián)系，它們互相滲透、相互蘊含、相互依存，并且按照一定的規(guī)律聯(lián)系在一起，形成一個完整的知識網(wǎng)絡(luò)；比如對于周期性、單調(diào)性、根、不等式等看似不相干的知識點，良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)會選擇函數(shù)這個大的概念來統(tǒng)領(lǐng)這些小概念，而不是將一個個概念孤立地存儲在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。
    知識系統(tǒng)中知識點的組織不僅僅只考慮學(xué)習(xí)的時間的相近程度，更重要的是在邏輯性原則之下的新舊知識的整體把握。知識間的聯(lián)系是有規(guī)律的，這種規(guī)律是主體在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不斷對知識進行加工、改造、組織后形成的，是一種主次分明、以主干知識為骨架、條理清晰的知識網(wǎng)絡(luò)；這些知識經(jīng)過抽象、概括、歸類后，按抽象、概括、包攝程度的不同組成一個層次分明的結(jié)構(gòu)。這種整體的結(jié)構(gòu)具有較強的吸收和再生能力，有利于知識的運用、吸收和創(chuàng)造。
    (2)頭腦中存在相對完善的產(chǎn)生式系統(tǒng)，使得學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時，能夠高效地從自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取相關(guān)的解決問題的策略和知識點來解決問題；存儲著化歸問題的“如果要解決……，那么需要解決……”“要解決……，只需要解決……”等豐富的產(chǎn)生式。
    比如，如果四邊形是平行四邊形，那么它的對邊是平行和相等的；對角線是相互平分的；“要證明邊相等，即等價于證明所在的三角形全等；也可以直接算兩邊的長度；還可以利用等量傳遞a=b,b=c，就有a=c”，等等。只有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識以這種動態(tài)的“產(chǎn)生式系統(tǒng)存在”，學(xué)生的所學(xué)才不會僵化，不會面對問題不知從何下手，使得學(xué)生的思維在觸發(fā)條件的指引之下高效地找到對解題有幫助的知識和方法的“入口鑰匙”，而不是盲目地試誤和摸索。這使得數(shù)學(xué)問題更易化歸為已解決的或易解決的數(shù)學(xué)問題，使得解題有章可循。
    (3)具備吸納新知識和重組認(rèn)知結(jié)構(gòu)的意識和方法策略學(xué)生在學(xué)習(xí)新數(shù)學(xué)知識的時候，知道如何將新知識歸類存放在自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的恰當(dāng)位置上，知道如何選擇一個適合自己理解和運用知識的角度去整理自己的知識系統(tǒng)。這是豐富和重組更加優(yōu)良的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵所在，也正是積極的數(shù)學(xué)思維發(fā)生的過程。方法策略的具備可以指導(dǎo)個體在學(xué)習(xí)新知識和問題解決的過程中如何去著手思考，如何將新知識準(zhǔn)確和高效地存儲在合適的位置，便于日后的提取和運用。這對于維系和保持?jǐn)?shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)良性非常關(guān)鍵。
    四、建立良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)策略的再思考
    在建立良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的諸多研究中，研究者都結(jié)合自己的研究和見解給予了教學(xué)一些提示和建議。比如：“創(chuàng)設(shè)良好的問題情境”，“突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)”，“以核心知識為主線，對教學(xué)內(nèi)容做出整體安排”，“綜合貫通，注重認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體構(gòu)建”，“熟悉教材邏輯關(guān)系，充分展示知識的形成發(fā)展過程”，“提供變式材料，活化知識結(jié)構(gòu)”。仔細(xì)思考發(fā)現(xiàn)，上述教學(xué)策略的提出就是就良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)提出的，體現(xiàn)了教師針對學(xué)生建立良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)在課程素材的選擇、課程知識的講授上的努力。很顯然地是，上述教學(xué)策略的提出主要針對的是數(shù)學(xué)教師，對于改進教師的教學(xué)來說是值得借鑒的。
    但筆者認(rèn)為，在幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)中，教學(xué)策略和方法的確立和實施不能單單地寄希望于教師的教上，學(xué)生才是真正的主角，在了解學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)之上最大程度地喚醒學(xué)生主動學(xué)習(xí)和思考數(shù)學(xué)的信念才是各種策略真正生效的關(guān)鍵所在。
    在此種意義上，筆者認(rèn)為首要的是培養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習(xí)的意識和能力。不再“圍困在”教師一招一式地總結(jié)和自己死記硬背的機械學(xué)習(xí)里。使學(xué)生的腦子真正地全方位的高效地轉(zhuǎn)起來，一個很好的方法就是用回答特定問題的方式來激發(fā)學(xué)生的這種潛能。
    這里的問題不局限于課堂的針對某個具體的知識點理解和應(yīng)用的問題，而更側(cè)重于下述的兩個方面：
    其一，專題知識的總結(jié)和把握上：這一個過程往往是由教師代勞的，但是這并不比學(xué)生的親自操作進行整理思考有意義得多。
    舉個例子：在學(xué)生學(xué)完函數(shù)這一章之后，讓學(xué)生從自己的理解角度歸類總結(jié)整理函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)。并鼓勵學(xué)生找出盡可能多的知識點之間的聯(lián)系和亮點。其后拿出一定的時間讓學(xué)生集體分享和討論自己的“研究成果”。在這個主動學(xué)習(xí)的思考過程中，學(xué)生必然要積極地前后聯(lián)系，積極反思，尋找更多的知識聯(lián)系，不僅活化和建立了更多知識點之間的聯(lián)系，也使學(xué)生的探究和合作意識得到應(yīng)有的提高。
    其二，在解決問題時思維過程的暴露上：在數(shù)學(xué)解題過程中，有一種現(xiàn)象就是對于某些題目學(xué)生可以在不理解的情況下做出問題的答案，但對于“為什么這樣解”，學(xué)生卻說不出個所以然來。這種無意識的或者稱為機械式的學(xué)習(xí)對于學(xué)生的良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立來說是極為不利的。我們倡導(dǎo)的是有意義地能動地學(xué)習(xí)。所以，在具體的解題訓(xùn)練中，教師應(yīng)該精選一些難度適中和活化學(xué)生思維的題目來向?qū)W生提出幾個問題，比如：“清楚地描述你的每一步是如何做的，解釋為什么這樣做是合理的？”“你是如何用想到的先前知識去解決問題的？”“在你解題的過程中你是如何思考的？”這些問題的清楚解答的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于就題論題。老師們經(jīng)常說的一句話：你能給別人把題目講清楚那才是真正地懂了的表現(xiàn)。換句話說，能把解題思路的探索、展開和進行說出個所以然才是真正的數(shù)學(xué)思維的騰飛。這樣的學(xué)習(xí)過程，不僅能夠使得知識點之間的聯(lián)系更緊密，產(chǎn)生式系統(tǒng)更完善。更可貴的是學(xué)生不再止步于解出題目，而是開始真正的數(shù)學(xué)思維。
    馬來西亞大學(xué)的Noraini Idris老師在“通過學(xué)生書面問題的作答提高學(xué)生的積分的理解”一文中，通過實驗的方法讓實驗組的學(xué)生在學(xué)習(xí)積分課的同時，書面回答老師提出的諸如此類的問題，而非實驗組則按照傳統(tǒng)的教學(xué)方法施教。研究表明通過此種書面的學(xué)習(xí)方式一周時間之后的實驗組學(xué)生對于數(shù)學(xué)微積分知識學(xué)習(xí)的興趣態(tài)度都明顯好于非實驗組，更重要的一點是，學(xué)生對于學(xué)習(xí)概念的思考明顯增多，相應(yīng)的數(shù)學(xué)成績也有比較顯著的提升。
    之所以書面的表達(dá)這些問題能收到如此的效果，關(guān)鍵是學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識和解題的過程中回答此類問題，能夠?qū)Ｗ⒌赜米约嚎梢岳斫獾姆绞剿伎妓鶓?yīng)學(xué)的東西，從而喚起了學(xué)生的主體意識。與傳統(tǒng)的被動地接受教師的教授相比，這樣的教學(xué)模式更能激發(fā)學(xué)生的主體意識，促使他們積極地反思教與學(xué)的過程，讓自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向更加有序、合理、完善的良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的方向發(fā)展?？梢哉f只有真正喚醒學(xué)生的主體意識，培養(yǎng)學(xué)生積極地思考態(tài)度，才能建立符合自身個性特點的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。就像布魯納所說的：按照一個人自己的興趣和認(rèn)知結(jié)構(gòu)組織起來的材料是最有希望從“記憶庫”中自由出入的材料。
    良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的研究雖然已經(jīng)受到一線教師和數(shù)學(xué)教育研究者的廣泛關(guān)注，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的理論在不斷豐富。但是不得不承認(rèn)的是，對于真正的學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的心理過程還不十分清楚，所研究的理論多停留于思辨程度，缺乏實踐性的證，明。這也是本文的不足之處。良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立還需要真正深入探索學(xué)生具體建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的心理過程，在實踐中摸索更高效地幫助學(xué)生建構(gòu)良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的方法和策略。