純粹數(shù)學家一直游走在人類未知世界的邊緣，終生挑戰(zhàn)人類智力的極限。他們都是無所畏懼，一往無前的勇者；為了真理和永恒，敢于拋棄一切的壯士。為了突破思想智力上的障礙，跳脫傳統(tǒng)偏見的束縛，他們大多淡泊名利、特立獨行，在世俗世界中顯得恃才放曠，桀驁不馴，因此經(jīng)常被現(xiàn)實傷害得體無完膚。下面要介紹的幾位數(shù)學家便是這樣，他們坎坷短暫的一生卻能綻放出熠熠光輝。

（一）

人類在長達數(shù)千年的歷史中，一直試圖尋找高階多項式方程的求根公式。

無數(shù)數(shù)學家為此耗盡終生，而一無所獲。直到兩位天才的降臨，才加速了人類這場智力的接力。這兩位便是阿貝爾與伽羅瓦。然而了解了他們的經(jīng)歷，你才知道什么叫天妒英才，他們可以說是數(shù)學史上最讓人惋惜的兩顆璀璨流星。

阿貝爾（1802-1829）出生在挪威南部一個基督教牧師家庭，家境貧苦，短暫的一生充滿不幸與坎坷。

1824年，阿貝爾證明了，五次或五次以上的代數(shù)方程沒有一般的求根公式，該證明寫進了“論代數(shù)方程——證明一般五次方程的不可解性”的著名論文中，從而終結了人們公式求解一般高次代數(shù)方程的企圖。這么難的問題竟然被一個無名小卒解決了，這簡直是天方夜譚，結果沒有一家雜志愿意發(fā)表阿貝爾的論文。但是，阿貝爾本人深知其論文的價值，別無選擇，只有自費出版。為了節(jié)約資金，他把論文壓縮成6頁，1824年以小冊子的形式出版。也許由于他的論文過于簡略，以至有許多人難以看懂。阿貝爾把小冊子寄給包括高斯在內的許多大數(shù)學家，可是一直沒有得到這些數(shù)學大師的反應。后來得知，“數(shù)學王子”高斯看了論文的題目，覺得用如此寥寥幾頁就解決了這個世界難題，令人難以置信，并說：“太可怕了，竟然寫出這種東西來！”連正文都沒看就把論文扔到了書堆里，這一系列冷遇極大地傷害了阿貝爾。

1825年，阿貝爾大學畢業(yè)了，可是社會卻沒有給這位年輕的天才數(shù)學家提供用武之地，他決定申請經(jīng)費出國繼續(xù)深造和謀求職位。同年夏天，阿貝爾到達德國柏林，在那里他認識了一位工程師出身的數(shù)學愛好者克雷爾。兩人結為好友，在阿貝爾的建議及朋友的贊助下，克雷爾在1826年創(chuàng)辦了著名的《純粹與應用數(shù)學雜志》，簡稱《克雷爾雜志》（該雜志一直出版到現(xiàn)在，是歷史最悠久的雜志之一）它的第一卷刊登了7篇阿貝爾的文章，其中一篇就是有關一般五次方程不能公式求解那篇。此后，又陸續(xù)刊登了阿貝爾的許多論文，這時才開始有人注意阿貝爾。反過來，阿貝爾出色的論文后來也為《克雷爾雜志》贏得了永恒的聲譽。次年，阿貝爾從柏林來到巴黎，在那里他結識了當時法國最有名的數(shù)學家勒讓德以及柯西等人。他寫了一篇論文提交給法國科學院，但仍未獲重視。直到阿貝爾去世后，那篇論文才于1841年被發(fā)表出來。失望的阿貝爾又重返柏林，雪上加霜的是，他在那里染上了致命的肺結核病。幸運的是，好友克雷爾幫助了他，請他擔任克雷爾雜志的編輯，同時還為他謀求教授職位而奔波，可最終也沒為他求得職位。

1827年5月，心灰意冷、經(jīng)濟拮據(jù)的阿貝爾回到了奧斯陸，而國內的境況也并沒好轉，找到職位的希望仍然渺茫。他不得不靠做家庭教師維持生計，即使在這種饑寒交迫，貧病夾擊的逆境中，阿貝爾仍然堅持研究，取得了許多重大成果。1828年，四位法國科學院院士曾經(jīng)聯(lián)名上書挪威國王，請他為這位天才安排一個合適的職位。又過了一年，滿懷著強烈的求生欲望，滿懷著繼續(xù)為科學事業(yè)做貢獻的偉大理想，阿貝爾在病魔侵襲的凄涼中，在懷才不遇的抑郁中與世長辭，年僅27歲。就在他去世兩天后，克雷爾來信告知，柏林大學已經(jīng)認識到他的才華并任命他為數(shù)學教授，只可惜好消息來得太遲了。

阿貝爾證明了一般的五次或五次以上的方程不能公式求解，但是這并不妨礙人們去尋找能夠公式求解的特殊方程。事實上，阿貝爾本人已經(jīng)深入研究了這個問題，并發(fā)現(xiàn)了一些能公式求解的特殊方程，這樣的方程稱為阿貝爾方程。于是就產生了這樣的問題：到底應該用什么標準來判斷一個代數(shù)方程能不能用公式求解？這個問題阿貝爾未及完全解決就去世了。不久，另外一個人肩負起了阿貝爾未完的事業(yè)，這個人就是法國年輕的數(shù)學家伽羅瓦。他完成了阿貝爾未能完成的歷史使命，并成為一門新學科——群論的開山祖師。

（二）

伽羅瓦，沖破了人類思想的極限，發(fā)展了群論的思想，洞察到高次方程求根公式的存在性與對稱群的可解性之間的等價關系，從而不但解決了這個千古難題，同時用群論的思想將數(shù)學推進到現(xiàn)代階段。

群論研究名為群的代數(shù)結構。群在抽象代數(shù)中具有重要地位：許多代數(shù)結構，包括環(huán)、域和模等可以看作是在群的基礎上添加新的運算和公理而形成的。

伽羅瓦（1811—1832）出生于巴黎近郊的一個小村莊里，他自幼聰穎好學，思維敏捷，逐漸顯露出驚人的數(shù)學天賦。

1828年，伽羅瓦由于過分投入到數(shù)學而忽略了其他學科，導致他首次報考巴黎綜合工科學校失敗。同年，伽羅瓦從初級數(shù)學班升到里查德的數(shù)學專業(yè)班。里查德是一位年富力強，才華橫溢的教授，并且是一位善于發(fā)現(xiàn)千里馬的伯樂。他發(fā)現(xiàn)伽羅瓦是一個極具數(shù)學天賦，只宜在數(shù)學的尖端領域中工作的人。

從這一年起，年僅17歲的伽羅瓦在里查德的指導下，開始著手關于方程理論的研究。此后，他引進了“群”的概念，獲得了現(xiàn)在稱為伽羅瓦理論的許多重要結果，五次和五次以上代數(shù)方程公式可解性的判別準則終于宣告徹底解決，阿貝爾遺留下來的問題迎刃而解。伽羅瓦在研究之初，也犯了與阿貝爾多年前所犯的同樣錯誤，以為自己解出了一般的五次方程，好在很快懸崖勒馬，并重新研究方程理論，直到用群論闡明這個具有普遍性的問題。

1829年，伽羅瓦先后把兩篇關于群的初步理論的論文呈送給法國科學院，科學院請柯西做論文的主審，由于伽羅瓦的論文新概念較多而且過于簡略，因此柯西建議他做一些修改。第二年，伽羅瓦把修改過的論文重新提交科學院，不巧的是，這時柯西出國未歸。于是科學院決定由傅里葉負責主審，傅里葉將論文拿到家里，不久就謝世了，伽羅瓦的論文也不翼而飛。兩次挫折令伽羅瓦義慣填鷹，他寫信質問科學院的權威們：“第一因為我叫伽羅瓦，第二因為我是大學生…而預先就斷定我對這個問題無能為力.”鑒于伽羅瓦對科學院的不滿，科學院請他把論文再寫一份。

1831年，伽羅瓦第三次將論文呈交科學院，這次是熱心的泊松和拉克魯瓦審查了這篇命運多舛的論文，經(jīng)過半年之久的仔細審查，兩人仍然是莫名其妙，得出了“完全無法理解”的結論。他們在給科學院的報告中寫道：“我們已經(jīng)盡了最大努力來研究伽羅瓦的證明，他的推理顯得不很清楚，迄今為止，因為我們尚未找到有說服力的證據(jù)，無法對它作出正確評價。因此，在本報告中我們甚至不能給出他的證明思想?！?這篇具有創(chuàng)新和超時代思想的不朽論文就這樣被打入了冷宮。

好在伽羅瓦于1830年在著名的數(shù)學雜志《數(shù)學科學通報》上先后兩次發(fā)表了三篇論文，其中第一篇論文題目為“關于方程代數(shù)解法論文的分析”，柯西和泊松也在這個雜志發(fā)表論文，這說明伽羅瓦在數(shù)學界已經(jīng)贏得聲譽。

1829年，伽羅瓦再次參加巴黎綜合工科學校的入學考試，由于他拒絕采用主考官建議的解題方法，結果仍是名落孫山。無奈之下，他只好報考了高等師范學院，并在10月被錄取，正當年輕的伽羅瓦有機會大展宏圖做出卓越貢獻的時候，法國歷史上有名的“七月革命”（1830年）爆發(fā)了，轟轟烈烈的革命狂潮激發(fā)了伽羅瓦這個勇敢追求真理的共和主義戰(zhàn)士的斗志，他反對學校的苛刻校規(guī)，批評校長在“七月革命”期間的兩面派行為，為此，伽羅瓦惹惱了學校當局，最后被開除學籍。但是，伽羅瓦并沒有退縮，他繼續(xù)投身政治活動。

1831年7月14日，伽羅瓦因率眾上街游行示威而被捕。在監(jiān)獄中，伽羅瓦仍然頑強地進行數(shù)學研究，一面修改他關于方程論的論文及其他數(shù)學工作，一面為將要出版的著作撰寫序言。

伽羅瓦在此時遇上他一生最愛的女人，那是一個醫(yī)生的女兒。伽羅瓦沒想到的是，她居然有未婚夫，而她的未婚夫是一位和他一起入獄的軍官。同伽羅瓦一樣，這位軍官也是一位激進的共和黨人。伽羅瓦和對方爭執(zhí)，還主動提出要以決斗定勝負。等到伽羅瓦情緒平復的時候，才發(fā)現(xiàn)自己毫無勝算，怎么會和一個玩槍的行家決斗？桀驁的他來不及后悔，決定欣然赴約。

他在決斗前夜奮筆疾書，總結他的學術思想，整理、概述他的數(shù)學工作，寫信委托他的共和主義者朋友替他保存。在信的開頭他寫道：“我在解析學中，創(chuàng)造出了許多新成果……我想把這些沒有解決的問題全部解決，展現(xiàn)在人們面前……，他還不斷在紙的空白處寫上“我沒有時間”。第二天他果然在決斗中不幸離世，年僅21歲。

他的朋友俠肝義膽，雖然不理解伽羅瓦的思想，但是不懈奔走數(shù)十年，終于將手稿交給了獨具慧眼的劉維爾，從而讓伽羅瓦的光輝思想昭示天下。1870年，法國數(shù)學家若爾當更是出版了《置換論》一書，全面介紹了伽羅瓦的理論。從此，群論和伽羅瓦的全部工作終于像金子一樣大放異彩，真正被歸入數(shù)學的主流。

（三）

費馬大定理證明的核心思想，來自谷山豐（1927—1958），而谷山更是一個悲劇英雄。

1954年，谷山和志村相遇了，他們都從東京大學數(shù)學系本科畢業(yè)，分別在東京大學不同的院系擔任助教與講師。那時，日本最優(yōu)秀的數(shù)學家都去了美國，留下來的資深教授的知識比較陳舊，無法指導谷山和志村這樣渴望沖到學術最前沿的年輕教師。在這種情況下，年輕教師渴望學習最新的知識，只有靠自學，或者自己辦討論班。他們與一些志同道合的年輕人組織了一個數(shù)學討論班，一起學習數(shù)學。因為當時日本和西方的隔離，這些年輕人在討論班上時常討論一些在歐美已經(jīng)過時的課題。有一個特別冷僻的題目讓谷山和志村非常著迷，那就是模形式。

模形式，大致來說就是一個函數(shù)，當這個函數(shù)的自變量被一個變換矩陣作用后，這個函數(shù)會發(fā)生改變，但這個改變具有很簡單的性質——新函數(shù)是舊函數(shù)乘上剛才那個變換矩陣的n次方。

谷山豐首先在模形式上做了一些研究工作，發(fā)現(xiàn)一些模形式與某些橢圓曲線之間存在一些朦朦朧朧的相似性，這兩個來自不同數(shù)學領域的概念似乎存在同一套“數(shù)學基因”。1955年9月，國際數(shù)學大會在東京召開，時年28歲的谷山豐向大會提交了一份報告，他在報告中提出，模形式和橢圓曲線方程之間存在一種奇怪的聯(lián)系。

所謂的橢圓曲線并不是橢圓，而是指那些滿足形如

（或其等價形式）的曲線。對于某些特定的橢圓曲線，如果我們把它看成是一個方程，在有限域求解這個方程，得到的解的個數(shù)記為m，隨后谷山豐研究了一個特定的模形式，將這個模形式的傅里葉展開系數(shù)記為n。谷山豐發(fā)現(xiàn)，m和n相加是一個素數(shù)。

不過，由于谷山豐發(fā)現(xiàn)的聯(lián)系很模糊，而且缺乏完整的數(shù)學證明，再加上他只有本科學歷、并不是成名的數(shù)學家，所以在當時，這個想法并沒有受到重視。心灰意冷的谷山豐選擇了結束自己的生命，而去世時他只有31歲。一周后，傷心欲絕的未婚妻鈴木也自殺追他而去。

幸運的是，谷山豐的好友志村不負朋友重托，終于提出“谷山志村猜想”（所有的橢圓曲線都是模形式），使得谷山的思想聞名于世。而后懷爾斯證明了谷山猜測的一部分，從而完成了費馬大定理的證明。

時代的發(fā)展總是出乎人們最為狂野的想象。數(shù)十年后，一個自稱中本聰?shù)纳衩厝宋锇l(fā)表文章，論述了構建比特幣的思想。中本聰正是采用基于橢圓曲線的加密算法，使比特幣有了理論和應用基礎，此后比特幣風靡全球。

（四）

1887年12月22日，拉馬努金(1887—1920)出生于印度泰米爾納德邦埃羅德縣的一個沒落的婆羅門家庭。他15歲時，朋友借給他英國數(shù)學家卡爾寫的《純粹數(shù)學與應用數(shù)學概要》一書。該書收錄了代數(shù)、微積分、三角學和解析幾何的五千多個方程，但書中沒有給出詳細的證明。這正好符合拉馬努金的胃口，他把每一個方程式當成一個研究題，嘗試對其進行獨特的證明而且還對其中一些進行推廣。這花去了他大約5年的時間，留下了幾百頁的數(shù)學筆記。他證明了其中的一些方程，他以后的研究受益于這本書。

拉馬努金高中畢業(yè)時各項成績突出，被校長形容為“用滿分也不足以說明他如此出色”。進入當?shù)刂呢暡昙{姆學院后，他把全部精力投入數(shù)學研究，導致其他科目不及格，他不僅失去了獎學金，而且被學校開除。1905年，18歲的他為此離家出走3個月。一年后，拉馬努金被馬德拉斯的帕凱亞帕學院錄取。但這個數(shù)學成績優(yōu)異的學生，還是難以逃脫被開除的命運，他的5門文科課程兩次不及格。此后拉馬努金開始做家教維持生計，同時從圖書館借來數(shù)學書，然后把自己的研究結論寫在筆記本里。

1911年，拉馬努金的第一篇論文“關于伯努利數(shù)的一些性質”發(fā)表在《印度數(shù)學會會刊》上，從此他開始了與數(shù)學界同行的正式交流。拉馬努金在他的第二篇論文里發(fā)表了一系列共14條關于圓周率π的計算公式；神奇的是，其中一條公式每計算一項就可以得到8位的十進制精度。

由于印度當時的數(shù)學水平不高，國內幾乎沒有人能看懂拉馬努金的研究成果。于是，好友艾亞爾極力主張他把研究成果寄給英國數(shù)學家，最初的兩個數(shù)學家都未回音。1913年1月16日，他再次鼓起勇氣寫信給第三個數(shù)學家——劍橋大學教授哈代；信是這樣開頭的，“尊敬的先生，謹自我介紹如下：我是馬德拉斯港務信托處的一個職員……我未能按常規(guī)念完大學的正規(guī)課程，但我在開辟自己的路……本地的數(shù)學家說我的結果是'驚人的’……如果您認為這些內容是有價值的話，請您發(fā)表它們……”他還給哈代寄去了一大堆自己研究得出的數(shù)學公式和命題；由于沒有證明的過程，有些連哈代也不大明白。哈代在咨詢了另一個英國數(shù)學家、他的合作伙伴李特爾伍德之后，認定拉馬努金是一個難得的數(shù)學天才。拉馬努金多少有些運氣，哈代的慧眼識金，使得拉馬努金能夠在1914年進入劍橋大學。這則動人故事如今已成為數(shù)學史乃至科學史上的傳奇故事之一，同時作為兩個人學術生涯的轉折點——拉馬努金因哈代而嶄露頭角，哈代因拉馬努金而增光溢彩。

按哈代的說法，拉馬努金總是和藹可親，性情很好。但可以肯定，拉馬努金初到劍橋時對哈代超出數(shù)學范圍的談話幾乎不懂。他聽哈代說話時似乎總帶著耐心的微笑，面容友善、真誠。但即使是談論數(shù)學，由于他們受教育程度不同，用詞及表述也就有差異。拉馬努金是自學的，他對現(xiàn)代學術意義上的嚴謹一無所知，在某種程度上他不知道什么叫證明。于是哈代就向他演示如何寫出嚴謹?shù)臄?shù)學證明。哈代曾說：“如果拉馬努金受到了更好的教育，他將會比現(xiàn)在更出色?！崩R努金是個有神論者，哈代則是個無神論者，但他們卻能為數(shù)學而進行合作研究；在5年里，他們共同發(fā)表了28篇重要論文。哈代曾將這段經(jīng)歷描述為“我一生中最浪漫的事件”。因為在數(shù)學上的卓越成就，拉馬努金31歲就當選為英國皇家學會的外籍會員（亞洲第一人）以及劍橋大學三一學院的院士（印度第一人），走到了他的榮譽最高峰。

1917年的一天，拉馬努金突然感到身上有無名的疼痛。后來才發(fā)現(xiàn)他患上了當時難以醫(yī)治的肺結核病。有一天哈代去醫(yī)院看他時，抱怨所乘的出租車牌號1729是個不吉利的數(shù)字；而拉馬努金的第一反應則是，這是個有趣的數(shù)字，因為這個整數(shù)可以寫成12的立方與1的立方之和，也可以寫成10的立方與9的立方之和。后來李特爾伍德回應這宗軼聞說：“每個整數(shù)都是拉馬努金的朋友?！?/p>

1920年4月26日，拉馬努金病逝于馬德拉斯，年僅32歲。他身后留下了一份使人著魔的、深奧的數(shù)學遺產，其中包含了大量沒有證明的公式和命題。許多數(shù)學家都致力于這方面的研究，一直到1997年，才總算是完成了其中的一部分，并整理成5大卷出版。

拉馬努金對數(shù)學有著很強的直覺洞察力，雖未受過嚴格數(shù)學訓練，卻能獨立發(fā)現(xiàn)近3900個數(shù)學公式和命題。他經(jīng)常宣稱在夢中娜瑪卡爾女神給其啟示，早晨醒來就能寫下不少數(shù)學公式和命題。他所預見的數(shù)學命題，日后有許多得到了證實。比利時數(shù)學家德利涅于1973年證明了拉馬努金1916年提出的一個猜想，因此獲得了1978年的菲爾茲獎。

結語

從以上數(shù)學家的經(jīng)歷中，我們也可以看出，對一些數(shù)學天才的認可不能僅憑他們的年齡和學歷及已經(jīng)獲得的名譽。驚世的天才往往在他們還沒有名氣的時候就已經(jīng)洞察天機，那些所謂的“獎項”甚至會因他們而增色。歐拉提出伽馬函數(shù)時只有16歲，高斯得出正十七邊形的尺規(guī)做法時只有19歲，上述幾位悲情的數(shù)學英雄更是只有短暫的一生。致敬這些偉大的數(shù)學天才，致敬這些人類智慧賽道上的勇者！