被譽為19世紀最偉大的數(shù)學家之一的埃瓦里斯·伽羅瓦，1811年1月25日出生于法國，1832年5月31日逝世。他在20年零7個月的短暫人生中，到底取得了哪些偉大成果？

對于一次方程和二次方程解法的研究起源于古巴比倫時期。在解一次方程 ax + b = 0 時，解出 x = ?b/a，即使 a 和 b 為整數(shù)，結(jié)果也有可能是分數(shù)?？梢哉f“分數(shù)”的出現(xiàn)就是為了解這類方程。

雖然古巴比倫人努力研究了二次方程的解法，但還是只能想到用分數(shù)解方程。然而，古希臘畢達哥拉斯的門生希帕索斯發(fā)現(xiàn)簡單的二次方程的根不需要用分數(shù)表示。這就是無理數(shù)的開端。

9世紀巴格達數(shù)學家花拉子米提出了解一次方程和二次方程的基本方法。如果用現(xiàn)在的寫法表示，二次方程

的根

就是我們在中學階段所學的“求根公式”。因為需要用平方根來表示根，所以二次方程比一次方程“難”。

花拉子米發(fā)明的方法傳到中世紀的歐洲后，數(shù)學家開始爭先恐后地研究如何解三次方程和四次方程。三次方程

的解法是由16世紀的費羅和塔爾塔利亞獨立發(fā)現(xiàn)的，發(fā)表于卡爾達諾的著作《大術(shù)》。而且，卡爾達諾的學生盧多維科·費拉里發(fā)現(xiàn)了四次方程

的求根公式。這同樣記載在《大術(shù)》中。兩者均可以用方程中的系數(shù) a,b, c ··· 的平方根和立方根來表示方程的根。

既然方程中同時出現(xiàn)了平方根和立方根，那么三次方程和四次方程比二次方程“更難”。例如，平方根能用尺規(guī)作圖，而立方根卻不能。

因為二次、三次以及四次方程的求根公式依次被發(fā)現(xiàn)，所以人們理所當然地認為五次方程也能解。然而，從費羅開始，在之后的300年中，無論數(shù)學家如何努力，最后也沒能發(fā)現(xiàn)五次方程的求根公式。根據(jù)“代數(shù)學基本定理”，不管是幾次方程都應(yīng)該有復數(shù)根，結(jié)果人們卻不知道如何用平方根和立方根等冪根來表示五次方程的根。

在這種情況下，1802 年出生于挪威的尼爾斯·亨利克·阿貝爾出現(xiàn)了。阿貝爾證明了不存在五次方程的求根公式。數(shù)學家一直在挑戰(zhàn)“無解的問題”。所以五次方程比三次方程和四次方程“難得多”。

其實，提出不可能這件事本身就很困難。例如第二不完備性定理，即“包含自然數(shù)及其算術(shù)運算在內(nèi)的公理系統(tǒng)，其無矛盾性不可能得到證明”。如果方程“存在”求根公式，那么只要列出公式，通過計算即可確認所求的根正確。但是，如何才能證明求根公式“不存在”呢？明明到四次方程為止都能解，五次方程到底有什么不同？為此，阿貝爾使用了“測量難度的方法”。

阿貝爾在17歲的時候以為自己發(fā)現(xiàn)了五次方程的求根公式，還專門撰寫了論文，不過最后發(fā)現(xiàn)這個公式存在錯誤。之后，他在 21 歲時又發(fā)表了論文《五次方程沒有代數(shù)一般解》。由于這篇論文晦澀難懂，因此在當時并沒有被人們理解。

幸運的是，當他和柏林的數(shù)學家奧古斯特·利奧波德·克列爾成為朋友以后，這篇論文被刊登在了克列爾創(chuàng)辦的數(shù)學雜志的第一期上，當時阿貝爾 23 歲。自那以后，阿貝爾陸續(xù)在克列爾的雜志上發(fā)表論文，因此名聲也水漲船高。不過他最終也沒能在大學正式任職，不僅生活拮據(jù)，還患上了結(jié)核病。克列爾竭盡全力為阿貝爾爭取柏林大學的教授一職，不過在阿貝爾去世兩天后才獲得喜訊。當時阿貝爾才 26 歲。

在挪威奧斯陸的皇宮庭院里矗立著巨大的阿貝爾紀念碑（圖 9-1）。令人敬佩的是，在挪威首都最中心的位置擺放的不是政治家或軍人的銅像，而是證明了五次方程沒有代數(shù)一般解的數(shù)學家的紀念碑。從中也能感受到挪威人是多么為阿貝爾感到自豪！

雖然阿貝爾證明了五次方程沒有一般冪根解，不過在某種情況下能簡單地解出五次方程。例如五次方程，方程的 5 個根可以用平方根和虛數(shù)表示。即使維次 n 變得更高，n 次方程的所有根也都能用自然數(shù)的冪根表示。這是由高斯成功證明的。

最后，伽羅瓦完成了“測量方程難度的方法”，并且提出了“在哪種情況下能用冪根解方程”。

伽羅瓦出生于1811年，卒于1832年，這與維克多·雨果的小說《悲慘世界》中設(shè)定的年代（1815年到1833 年）幾乎重合。伽 羅瓦兩歲時，拿破侖被流放到厄爾巴島，被法國大革命推翻的波旁王朝復辟。不過，波旁王朝僅僅維持了 16 年，1830 年7月被革命所推翻。

盧浮宮博物館珍藏的歐仁·德拉克羅瓦作品《自由引導人民》（圖 9-2）描繪的正是法國七月革命的場景。當時，不到 19 歲的伽羅瓦作為一名共和黨人參加了革命。

次月，資本家和銀行家等資產(chǎn)階級將路易·菲利普推上君主寶座，共和黨人挫敗。在政治上思想激進的伽羅瓦在 20 歲時被捕入獄，出獄后與人決斗而負傷身亡，因而也結(jié)束了被政治混亂和社會矛盾捉弄的一生。

與阿貝爾一樣，伽羅瓦在 16 歲時也以為自己發(fā)現(xiàn)了五次方程的解法，后來意識到自己的錯誤，于是開始猜想五次方程沒有一般解。當時，從阿貝爾完成證明起已經(jīng)過去了5年。不過，伽羅瓦繼續(xù)深入研究，在第二年發(fā)現(xiàn)了對于任何次數(shù)的方程，能否用冪根解該方程的判定方法。這才是阿貝爾的研究目標。伽羅瓦總結(jié)了自己的發(fā)現(xiàn)，將其寫成一篇論文，并寄給了法蘭西科學院。

有一種說法是，當時的評審奧古斯丁·路易·柯西在看之前就把伽羅瓦提交的論文丟失了。因此在伽羅瓦的傳記中，柯西經(jīng)常被視為敵人。不過，柯西確實有前科，他曾經(jīng)遺失了阿貝爾提交的重要論文。在挪威政府的抗議下，論文最后是從科學院的文件堆中被找到的，在阿貝爾去世10年后得到出版。

然而，根據(jù)近幾年科學史家的研究，柯西曾經(jīng)高度評價了伽羅瓦的論文。而且，他還建議伽羅瓦不要刊登在科學院的紀要中，修改后投稿參加科學院舉辦的論文征集大賽。從政治立場上來說，柯西屬于君主派，伽羅瓦屬于共和派，他們立場對立，不過從數(shù)學角度來看，他們擁有共同點。

伽羅瓦的不幸在于，他擁護的七月革命導致柯西下臺乃至喪命，因此也失去了唯一理解自己理論的人。而且，他聽從柯西的意見參加征集大賽的論文《關(guān)于方程冪根解法的條件》也無緣大獎。不過造化弄人，伽羅瓦的不幸還在繼續(xù)。

在老家擔任市長的父親因為保守派的中傷而被迫自殺。而且，伽羅瓦在巴黎高等理工學院入學考試中連續(xù)兩年落榜。之后他第三次向科學院提交論文，不過自從柯西逝世后，再也沒有數(shù)學家能夠理解他的研究。

絕望的伽羅瓦投身革命，最終鋃鐺入獄，出獄后又與人決斗。伽羅瓦在決斗前一晚到第二天早晨給朋友奧古斯特·舍瓦利葉寫了一封信，他在信中全面闡明了著名的“伽羅瓦理論”，而且在信的最后還提到自己正在研究“曖昧理論”。但是我們至今也無從得知曖昧理論的具體內(nèi)容。

伽羅瓦在信的末尾寫道：“我的時間不多了。在數(shù)學這個龐大的領(lǐng)域中，我的構(gòu)想尚未完全發(fā)揮作用?！辟ち_瓦英年早逝，實在令人惋惜。伽羅瓦第三次向科學院提交的論文幸運地被保留了下來。數(shù)學家約瑟夫·劉維爾竭盡全力研讀這篇遺稿，并于1846年發(fā)表了相關(guān)解說，伽羅瓦理論從而終于被人接受。自古巴比倫時期起，發(fā)展了 3000 年的關(guān)于 x 的方程理論因此完結(jié)。

伽羅瓦的偉大業(yè)績并不僅限于方程理論。他在研究方程性質(zhì)時提出的“群”概念被廣泛運用于數(shù)學的各類問題中。而且，群的概念在物理學中也非常重要。例如 2012 年歐洲研究所 CERN 發(fā)現(xiàn)了基本粒子“希格斯玻色子”，他們預測在用群的概念說明基本粒子之間力的性質(zhì)時，希格斯玻色子的作用必不可少。

伽羅瓦提出的“群”概念被廣泛運用于數(shù)學的各個領(lǐng)域。我們用群的概念解釋了正三角形的對稱性，這種思考方式產(chǎn)生于伽羅瓦之后的時代。而且，正二十面體群代表了幾何圖形的對稱性。在我眼中，立體的正二十面體比平面中的正多邊形更美，也許是因為表示對稱群的群更復雜。在這種情況下，可以說群的復雜性代表了圖形的美。

2003 年，俄羅斯數(shù)學家格里戈里·佩雷爾曼證明了“龐加萊猜想”，在全世界引起了熱議。“龐加萊猜想”與“用群表示圖形難度”之間有著一定的聯(lián)系。

在 20 世紀初，法國的數(shù)學家亨利·龐加萊試圖將伽羅瓦群的概念應(yīng)用于幾何學中。于是他提出了一個叫作“基本群”的群，用來表示各種形狀的空間的復雜性。龐加萊認為在三維中只存在一種空間，即基本群中最簡單的。不過他最終也沒有成功證明。

在空間維次是二維的情況下，自古普遍認為這個猜想是正確的。在高于五維的情況下，史蒂文·斯梅爾在 1961 年成功證明并獲得了菲爾茲獎。在四維的情況下，邁克爾·弗里德曼在 1982 年成功證明并獲得了菲爾茲獎。佩雷爾曼在最后剩下的三維中證明了該猜想（每隔 21 年實現(xiàn)一個證明，這應(yīng)該只是偶然）。其實佩雷爾曼在 2006 年同時獲得了菲爾茲獎，雖然當時的國際數(shù)學聯(lián)盟主席約翰·鮑爾親自到圣彼得堡說服他接受獎項，但最后還是被拒絕了。

在伽羅瓦以后的數(shù)學領(lǐng)域中不斷發(fā)展的“群”概念從 20 世紀起開始被運用于科學的各個領(lǐng)域。例如愛因斯坦根據(jù)物理定律必須具有對稱性的原理，創(chuàng)立了狹義相對論和廣義相對論。在化學和物質(zhì)科學領(lǐng)域，科學家運用群的概念區(qū)分分子和結(jié)晶的結(jié)構(gòu)。此外，在我所研究的基本粒子理論中，群的語言是理解基本粒子及其力量必不可少的工具。