根據(jù)古埃及的草片文書記載，早在公元前1700年左右，人們就發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a≠0時(shí)，ax = b有根x = b/a，隨著歲月的流逝，數(shù)學(xué)的發(fā)展，到了公元前幾世紀(jì)，巴比倫人實(shí)際上已經(jīng)使用過配方法得知（當(dāng)a≠0時(shí)）有根

當(dāng)時(shí)，人們只承認(rèn)現(xiàn)在稱之為正實(shí)根才是根，零，負(fù)數(shù)，無理數(shù)和復(fù)數(shù)的概念和理論遲至十六世紀(jì)到十八世紀(jì)才得到承認(rèn)并逐步完善。根據(jù)巴比倫文書記載，當(dāng)時(shí)已解決了二次方程：

得出的解答是：

這就促使人們進(jìn)一步思考，是否對于任意次數(shù)的方程都能找到這種求根公式？尋找三次方程的求根公式，經(jīng)歷了二千多年的漫長歲月，直到十六世紀(jì)歐洲文藝復(fù)興時(shí)期，才由幾個(gè)意大利數(shù)學(xué)家找到，這就是通常據(jù)說的卡丹（Cardan, 1501——1576）公式，其原始想法是：在

中作變量代換后把方程化為

（1）

它不再含有平方項(xiàng)了，設(shè)，這里m和n是兩個(gè)待定的數(shù)，則有

如果取m, n滿足

則對應(yīng)的y值必滿足（1）式。另一方面，由

可得

所以，當(dāng)取

時(shí)，并令，就得原三次方程的一個(gè)根

它的另兩個(gè)根是

這里（其中）是的兩個(gè)不是1的根。

在三次方程求根公式發(fā)明過得中，有一個(gè)十分有趣的故事，四百多年前，意大利盛行數(shù)學(xué)競賽，競賽的一方是菲俄（Fior，十六世紀(jì)前半葉），他是意大利波洛那（Bologna）數(shù)學(xué)學(xué)會會長費(fèi)羅（Ferro，1465——1526）的學(xué)生。另一方面是威尼斯的數(shù)學(xué)教授塔爾塔里亞（Taritalia，1500——1557），他小時(shí)候就受傷后“口吃”，從小學(xué)拉丁文，希臘文，酷愛數(shù)學(xué)，與費(fèi)羅一樣，對求解三次方程很有研究，在1530年，塔爾塔里亞曾解決了另一個(gè)挑戰(zhàn)者科拉(Colla)提出的以下兩個(gè)三次方程求解問題：。這引出了菲俄的不服，定于1535年2月22日在米蘭市大教堂公開競賽，雙方各出三十個(gè)三次方程。結(jié)果塔爾塔里亞在兩個(gè)小時(shí)內(nèi)解完，而菲俄卻交了白卷。1541后，塔爾塔里亞得到了三次方程的一般解法，準(zhǔn)備在譯完歐幾里得和阿基米德的著作后，自己寫一本書公開他的解法。此時(shí)，卡丹出場了。他再三乞求塔爾塔里亞給一首語句晦澀的詩。這首詩寫得很蹩腳，但的確把解法的每一步驟都寫進(jìn)去了，他本人說：“本詩無佳句，對此我不介意，為記這一規(guī)則，此詩堪作工具”?？ǖぴ诘玫竭@一切后，卻背信棄義，于1545年把這一解法發(fā)表在《大法》這本書中，并斷定塔爾塔里亞的方法是費(fèi)羅的方法，這是與菲俄競賽時(shí)得知的。這引塔爾塔里亞的極大憤怒，并向卡丹宣戰(zhàn)。雙方各出31題，限定15于交卷?？ǖづ伤膶W(xué)生費(fèi)拉里（Ferrari，1522——1565）應(yīng)戰(zhàn)，結(jié)果，塔爾塔里亞在七天之內(nèi)解出大部份題目，而費(fèi)拉里五個(gè)月才交卷，僅解對了一題。塔爾塔里亞本想完成一部包含他的新算法在內(nèi)的巨著，可惜壯志未酬就與世長辭了，在三次方程的求解問題解決后不久，卡丹的仆人和學(xué)生費(fèi)拉里又得到了四次方程的求解方法。其主要思路是：對于四次方程

（2）

引入?yún)?shù)t ，經(jīng)配方化為

（3）

容易驗(yàn)證（2）與（3）是一樣的。為了保證（3）式右邊是完全平方，可令它的判別式為0：

即選擇t是三次方程

的任一根。把這個(gè)根作為（3）中的t值就有

把右邊移到左邊并分解因式得到兩個(gè)二次方程

這樣，就把求四次方程的根化為求一個(gè)三次方程和兩個(gè)二次方程的根，因此認(rèn)為四次方程的求解問題也解決了。既然有了這個(gè)突破，數(shù)學(xué)家們就以極大的興趣和自信致力于尋找五次方程的求解方法。他們發(fā)現(xiàn)，對次數(shù)不超過四的方程，都能得到根的計(jì)算公式，每個(gè)根都可用原方程的系數(shù)經(jīng)過加減乘除和開方運(yùn)算表出。我們把這件事簡稱為可用根號求解，于是人們斷言：對于五次方程來說，也一定存在這種求根公式。關(guān)于這一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)的一些著名數(shù)學(xué)家，如歐拉（Euler，1707——1783），范得蒙（Vandermonde，1735——1796），拉格朗日（Lagrange，1736——1813），魯菲尼（Rullini，1765——1822）和高斯（Gauss，1777——1855）等都曾深信不疑，因而都曾盡力尋找，但都以失敗告終。

首先懷疑這種求根公式存在性的是拉格朗日。他透徹地分析了前人所得的次數(shù)低于五的代數(shù)方程的求解方法，發(fā)現(xiàn)都可以作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q化為求解某些次數(shù)較低的輔助方程（它們被后人稱為拉格朗日預(yù)解式），然而對于五次方程按這種方法得到的輔助方程的次數(shù)卻升到六次，于是此路不通！1771年，拉格朗日發(fā)表長篇論文《關(guān)于方程的代數(shù)解法的思考》提出了這個(gè)懷疑。到了1813年，他的弟子，意大利的內(nèi)科醫(yī)生魯菲尼終于證明了拉格朗日所采用的尋找預(yù)解式的方法對于五次方程的確是失效的。早在1801年，高斯也意識到這個(gè)問題也許是不能解決的?？墒?，包括拉格朗日在內(nèi)都沒有給出“不存在性”的證明。

第一個(gè)證明“高于四次方程不能用根號求解”的是挪威青年數(shù)學(xué)家阿貝爾（Abdl，1802——1829）他中學(xué)時(shí)就讀了拉格朗日和高斯關(guān)于方程論的著作，探討高次方程的求解問題，1824——1826年，他寫出了《五次方程代數(shù)解法不可能存在》一文，但高斯看后說：“太可怕了，竟然寫出這樣的東西來”表示不理解力，阿貝爾在數(shù)學(xué)方面有很多獨(dú)創(chuàng)性的成就，在當(dāng)時(shí)未被重視，由于貧病交迫，1829年4月6日死于結(jié)核病，年僅27歲。在他逝世前不久，曾把一些研究結(jié)果告訴勒讓得（Legendre，1752——1833），就在他離開人間的第三于，柏林厭給他寄來了教授聘書。

不過，魯菲尼和阿貝爾的證明畢竟是不很清楚的，甚至還有一些漏洞。阿貝爾并沒有給出一個(gè)準(zhǔn)則來判定一個(gè)具體數(shù)字系數(shù)的高次代數(shù)方程能否用根號求解。作為歷史，他們的功績不容抹殺，但與不久以后出現(xiàn)的伽羅華的輝煌成就相比，就大為遜色了！

伽羅華（Galois，1811——1832）是法國青年數(shù)學(xué)家，15歲進(jìn)入巴黎有名公立中學(xué)學(xué)習(xí)，偏愛數(shù)學(xué)。后來想進(jìn)工科大學(xué)，兩次落榜只進(jìn)一所代等的預(yù)備學(xué)校，此時(shí)，他專攻五次方程代數(shù)解法。第一年寫了四篇文章，1828年，17歲的伽羅華寫了《關(guān)于五次方程的代數(shù)解法問題》等兩篇論文送交法國科學(xué)院，但被柯西（Cauchy, 1789——1875）遺失，后來，他又把一篇文章送給傅利（Fourier，1768——1830）。不久，傅利就去世了，也就不了了之。1831年，伽羅華完成了《關(guān)于用根式解方程的可解性條件》一文，院士普阿松（Poisson，1781-1840）的審查意見卻是“完全不能理解”，予以退回。伽羅華不幸因決斗受重傷于1832年5月31日離世，時(shí)年不滿21歲，在決斗前夜，他深知為女友決斗而死毫無意義，但又不甘示弱，當(dāng)晚他精神高度緊張和極度不安，連呼“我沒有時(shí)間了！”匆忙之中，把他關(guān)于方程論的發(fā)現(xiàn)草草寫成幾頁說明寄給他的朋友，并附有如下一段話：“你可以公開地請求雅可比（Jacobi）或高斯，不是對于這些定理的真實(shí)性而是對于其重要性表示意見，將來我希望有人會發(fā)現(xiàn)這堆東西注釋出來對于他們是有益的。”到了14年后的1864年，劉維爾（Liouville，1809——1882）在由他創(chuàng)辦的《純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了伽羅華的部分文章。關(guān)于伽羅華理論的頭一個(gè)全面而清楚的介紹是若當(dāng)（Jordan，1838——1892）于1870年出版的《置換和代數(shù)方程專論》一書中給出的。這樣。伽羅華超越時(shí)代的天才思想才逐漸被人們所理解和承認(rèn)，至今已成為一門蓬勃發(fā)展的學(xué)科——抽象代數(shù)學(xué)。伽羅華避開了拉格朗日的難以捉摸的預(yù)解式而巧妙地應(yīng)用了置換群這一工具，他不但證明了如下的一般代數(shù)方程：

當(dāng)n≥5時(shí)不可能用根號求根，而且還建立了具體數(shù)學(xué)系數(shù)的代數(shù)方程可用根號求解的判別準(zhǔn)則，并舉出不能用根號求解的數(shù)字系數(shù)代數(shù)方程的實(shí)例。這樣，他就透徹地解決了這個(gè)長達(dá)二百多年來的時(shí)間使不少數(shù)學(xué)家傷腦筋的問題。不僅如此，伽羅華所發(fā)現(xiàn)的結(jié)果。他的奇特思想和巧妙方法，現(xiàn)又成為全部代數(shù)的中心內(nèi)容。在這一點(diǎn)上說，他作為抽象代數(shù)的創(chuàng)造人之一是當(dāng)之無愧的。他的貢獻(xiàn)決不限于解決代數(shù)方程根號求解的問題。

隨著時(shí)間的推移，伽羅華的卓越貢獻(xiàn)越來越為數(shù)學(xué)家所認(rèn)識。他的學(xué)術(shù)思想對近代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響：他開創(chuàng)的群論逐漸滲透到數(shù)學(xué)其它分支，以及結(jié)晶學(xué)，理論物理學(xué)等領(lǐng)域，群論給這些領(lǐng)域提供了有力的數(shù)學(xué)工具比如用群論證明了結(jié)晶體的類型只有230種，群論為諸如方程的根，晶體的結(jié)構(gòu)，空間變換，基本粒子的對稱性等課題的研究提供統(tǒng)一的方法。到20世紀(jì)，群論的概念在整個(gè)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一