伽羅瓦：20歲就解決世界難題的天才數(shù)學(xué)家

無事不登三寶殿 2019-11-02

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提起年少成名的數(shù)學(xué)家，大多數(shù)人可能會(huì)想到數(shù)學(xué)王子高斯。他在9歲時(shí)就獨(dú)立解決了等差數(shù)列求和，18歲時(shí)發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布定理和最小二乘法，19歲時(shí)第一個(gè)證明了可以通過尺規(guī)作出正十七邊形。高斯的一生成果豐碩，他在任教的哥廷根大學(xué)開創(chuàng)了哥廷根學(xué)派，這一學(xué)派在19世紀(jì)和20世紀(jì)初期的數(shù)學(xué)界有著舉足輕重的地位。

圖1 正十七邊形尺規(guī)作圖

今天我們要介紹的伽羅瓦也是一位天才數(shù)學(xué)家，他在20歲時(shí)就提出了五次及以上的代數(shù)方程的可解性理論。更重要的是，在解決這個(gè)世界難題的過程中，伽羅瓦發(fā)展了一套新的數(shù)學(xué)工具，開啟了近代代數(shù)學(xué)的大門。然而他的一生非常坎坷，年僅21歲就因?yàn)闆Q斗身亡，其成果也是在他死后14年才得到公開發(fā)表。雖然他的數(shù)學(xué)生涯相當(dāng)短暫，但他取得的成果已經(jīng)足以青史留名。這也給后人留下了巨大的想象空間：如果他像歐拉、高斯那樣長壽，他會(huì)在數(shù)學(xué)界達(dá)到怎樣的高度。

圖2 伽羅瓦

伽羅瓦出身于知識(shí)分子家庭，他的父親在伽羅瓦4歲時(shí)當(dāng)選為市長，而他的母親則在家負(fù)責(zé)他的教育。12歲時(shí)他進(jìn)入路易中學(xué)就讀，最初幾年他還沒有對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生特別的興趣。

圖3 路易中學(xué)

15歲時(shí)，伽羅瓦開始拋開學(xué)校的教材，自學(xué)勒讓德的經(jīng)典著作《幾何原理》。勒讓德在這本書中力求盡可能嚴(yán)格地、有根據(jù)地闡述當(dāng)時(shí)已經(jīng)被人遺忘的歐幾里得的八卷書。當(dāng)時(shí)路易中學(xué)的幾何課程大多注重證明的技巧，卻并不強(qiáng)調(diào)歐幾里得的推論方法。后續(xù)伽羅瓦又深入學(xué)習(xí)了拉格朗日的著作《論數(shù)值方程解法》、《解析函數(shù)論》和《函數(shù)演算講義》。這段自學(xué)經(jīng)歷已經(jīng)顯示了伽羅瓦在數(shù)學(xué)上的天分，同時(shí)也開闊了伽羅瓦的視野，使得他跳出了細(xì)枝末節(jié)的桎梏，開始關(guān)注明確而富有表達(dá)力的數(shù)學(xué)語言，對(duì)他后來創(chuàng)立群論有非常積極的影響。

16歲時(shí)，伽羅瓦開始研讀歐拉、高斯和雅可比等人的著作。從這時(shí)開始，伽羅瓦對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了極大的熱情，甚至到了完全不聽學(xué)校的課程的地步。有一位路易中學(xué)的老師在筆記中這樣談到：伽羅瓦被數(shù)學(xué)的鬼魅迷住了心竅。后半學(xué)年，伽羅瓦獨(dú)自準(zhǔn)備巴黎綜合技術(shù)學(xué)校的資格考試。當(dāng)時(shí)路易中學(xué)的學(xué)生一般是修完數(shù)學(xué)專業(yè)班后才參加考試，而伽羅瓦還在初級(jí)數(shù)學(xué)班，最終這一次考試他沒有成功。不過因此他遇到了生前的第一個(gè)也是最后一個(gè)伯樂。

在考試失敗后，他從路易中學(xué)的初級(jí)數(shù)學(xué)班升到了數(shù)學(xué)專業(yè)班，這時(shí)伽羅瓦已經(jīng)17歲了。數(shù)學(xué)專業(yè)班的理查德教授當(dāng)時(shí)才33歲，他在26歲時(shí)已經(jīng)評(píng)上了教授，在科學(xué)史上，他的教師的身份聞名。理查德遺留的筆記中這樣評(píng)價(jià)伽羅瓦：伽羅瓦只宜在數(shù)學(xué)的尖端領(lǐng)域中工作；伽羅瓦遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了其他同學(xué)。正是這一時(shí)期，伽羅瓦開始研究一元五次方程的根式解問題。

有關(guān)求根公式

代數(shù)方程的求根公式是一個(gè)歷時(shí)千年的世界難題。2000多年前，古希臘的數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)給出了一元二次方程的求根公式，中國的數(shù)學(xué)家們也發(fā)現(xiàn)了配方法。這也是今天初中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容之一。但是在這之后一千多年里，一元三次方程的求根公式一直沒有進(jìn)展。直到16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家塔塔利亞和卡爾丹才發(fā)現(xiàn)了一元三次方程的求根公式，這兩位數(shù)學(xué)家之間也曾爆發(fā)過著名的數(shù)學(xué)論戰(zhàn)。沒過多久，卡爾丹的學(xué)生費(fèi)拉里也得到了四次方程的根式解。二次方程的求根公式相對(duì)簡(jiǎn)潔，但是三次方程和四次方程的求根公式已經(jīng)相當(dāng)復(fù)雜了。

圖4 三次方程的根式解

在此后將近三百年的時(shí)間里，很多數(shù)學(xué)家都試圖找到五次方程的根式解，但是他們?nèi)际×?，因此五次方程的根式解成了?dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)難題之一。拉格朗日曾嘗試總結(jié)二、三、四次方程的根式解法，發(fā)現(xiàn)它們都不能推廣到五次的情形，他坦言：這個(gè)問題好像在向人類的智慧發(fā)起挑戰(zhàn)。

將近30年后，意大利數(shù)學(xué)家魯菲尼證明了一般的五次代數(shù)方程不存在根式解，但是他沒有構(gòu)建一套合適的數(shù)學(xué)體系，所以他的論文有五百多頁?？挛鲝乃恼撐闹刑釤挸隽酥脫Q群的思想。又過了20多年，另一位天才數(shù)學(xué)家阿貝爾（此時(shí)22歲）在置換群思想的幫助下，用一篇數(shù)萬字的論文替代了魯菲尼五百多頁的證明。阿貝爾曾把論文的精簡(jiǎn)版寄給柯西，最終石沉大海，他的工作直到他去世前不久才得到數(shù)學(xué)界的重視，柏林大學(xué)也聘請(qǐng)他擔(dān)任數(shù)學(xué)教授，可惜消息還沒送達(dá)，阿貝爾已經(jīng)因?yàn)榉谓Y(jié)核在貧病交迫中去世了，年僅27歲。

圖5 阿貝爾

阿貝爾證明了一般的五次方程沒有根式解，但也指出了一些特殊形式的五次方程是有根式解的。此時(shí)距離解決這個(gè)世界難題已經(jīng)只有一步之遙了，也就是根式解的判定條件。阿貝爾沒能繼續(xù)研究這個(gè)問題，就已經(jīng)去世了。阿貝爾去世的這一年，伽羅瓦剛剛18歲，他向這個(gè)難題發(fā)起了最后的攻堅(jiān)。

圖6 阿貝爾的手稿

此前在柯西和阿貝爾的研究中已經(jīng)有了群論思想的萌芽，但他們最終沒有邁出建立群論的那一步。伽羅瓦以他深刻的洞察力覺察到了這一點(diǎn)，這與他前兩年的學(xué)習(xí)是分不開的。前人的證明中包含了不少的技巧，而伽羅瓦卻能從這些技巧中提煉出新的概念進(jìn)而構(gòu)建一套新的體系，并且在新體系下，這些技巧變得平凡起來，頗有大道至簡(jiǎn)的味道。

不幸的是，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界還不能接受這一套新理論。在理查德老師的幫助下，他在三月號(hào)的《數(shù)學(xué)年鑒》上發(fā)表了自己的論文，并且向科學(xué)院遞送了備忘錄?？茖W(xué)院派柯西審查送來的備忘錄，當(dāng)中就包含伽羅瓦的那份，他沒做出任何評(píng)論，直接丟掉了伽羅瓦的手稿，就像此前丟掉阿貝爾的那樣。

禍不單行，這一年伽羅瓦的父親參加新一輪選舉，選舉中他的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手四處散播謠言，最終在眾人的誹謗和諷刺下，伽羅瓦的父親自殺身亡。

此時(shí)伽羅瓦正在第二次備考巴黎綜合技術(shù)學(xué)校的資格考試，受父親去世的影響，他又一次落榜了。伽羅瓦后來在監(jiān)獄中寫道，他在面試時(shí)拒絕回答有關(guān)對(duì)數(shù)的問題，他認(rèn)為這個(gè)問題過于簡(jiǎn)單，卻被主考官認(rèn)為是在掩飾他的無知，因此遭到了主考官的嘲笑。有傳聞?wù)f伽羅瓦直接將黑板的擦布扔向了主考官。

伽羅瓦落榜后又參加了巴黎高等師范學(xué)院的資格考試，這一次他順利通過了考試。巴黎高師出過14位菲爾茲獎(jiǎng)（數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)），是數(shù)學(xué)界久負(fù)盛名的高校之一。伽羅瓦那時(shí)還沒有菲爾茲獎(jiǎng)，但是他在今天被認(rèn)為是群論的開創(chuàng)者。19世紀(jì)中葉之后，由群論發(fā)展而來的近世代數(shù)成為了代數(shù)學(xué)的根基，此后的代數(shù)學(xué)家?guī)缀醵际窃谫ち_瓦奠定的基礎(chǔ)上工作。如果伽羅瓦在進(jìn)入巴黎高師后繼續(xù)鉆研數(shù)學(xué)，應(yīng)該是會(huì)取得更高的成就的，此時(shí)他才18歲。

第二年，伽羅瓦重新整理自己的論文，送到法國科學(xué)院參與數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)的評(píng)選。他的論文被送到了傅里葉的手中（傅里葉變換在今天的通信領(lǐng)域仍有廣泛的應(yīng)用），沒想到在評(píng)獎(jiǎng)前夕，傅里葉因CO中毒不幸身亡，伽羅瓦的這篇論文再一次失去了被廣大數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)。

圖7 傅立葉

這一年，法國的政壇風(fēng)起云涌，波旁王朝在七月革命中被推翻。早在一年前，父親的自殺使得伽羅瓦堅(jiān)定地倒向了共和派。七月革命期間，巴黎高師校長將學(xué)生封鎖在學(xué)校內(nèi)，引起了伽羅瓦的強(qiáng)烈不滿，他于當(dāng)年12月在校報(bào)上猛烈抨擊校長，被巴黎高師開除。

第二年1月，伽羅瓦再次整理自己的論文投遞到法國科學(xué)院，一般認(rèn)為，在這一次的論文中，伽羅瓦徹底解決了五次及以上代數(shù)方程的可解性問題，此時(shí)他剛剛20歲（如果算周歲只有19歲），遺憾的是這一篇論文仍然是石沉大海。4個(gè)月后，因?yàn)閰⑴c政治運(yùn)動(dòng)，伽羅瓦被捕入獄，但因證據(jù)不足被釋放。不久，伽羅瓦再次入獄，這一次被判6個(gè)月。

次年，伽羅瓦在和情敵約定了一場(chǎng)決斗。他的情敵是一位共和派的軍官，這場(chǎng)決斗無異于送命。在他生命中的最后幾天，他在《致全體共和派的信》中寫道：我曾用盡辦法試圖拒絕這場(chǎng)決斗，只是出于迫不得已才接受了挑戰(zhàn)。我的生命要在一場(chǎng)下流的丑事中被消滅掉。伽羅瓦在決斗的前夜仍在將自己的成果寫成手稿，期間，他多次在手稿上寫道：我沒有時(shí)間。第二天，伽羅瓦死于情敵的槍下，年僅21歲。

圖8 伽羅瓦的手稿

伽羅瓦死后，數(shù)學(xué)界在阿貝爾的工作的基礎(chǔ)上進(jìn)行了更加深入的研究，數(shù)學(xué)家們對(duì)伽羅瓦的理論也逐漸到了可以認(rèn)知的水平。在他死后11年，法國數(shù)學(xué)家劉維爾發(fā)現(xiàn)了他的手稿，并用了3年時(shí)間研究，最終將伽羅瓦的手稿公開發(fā)表。在他的推動(dòng)下，伽羅瓦的工作逐漸被數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)。在伽羅瓦的理論下，三等分角、倍立方、化圓為方等等歷時(shí)千年的尺規(guī)作圖問題迎刃而解。

圖9 化圓為方問題

PS：80多年后，中學(xué)教員蘇家駒在上?！秾W(xué)藝》雜志上發(fā)表了《代數(shù)式的五次方程之解法》。當(dāng)時(shí)還是普通文員的華羅庚仿照蘇家駒的做法得到了“六次代數(shù)方程的根式解”。但是他查閱文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)阿貝爾和伽羅瓦早已提出了相關(guān)理論，在學(xué)習(xí)之后他發(fā)現(xiàn)這些理論“條例精嚴(yán)，無懈可擊”。于是他反過來尋找蘇家駒文章的漏洞，最終在上海《科學(xué)》雜志上發(fā)表《蘇家駒之代數(shù)的五次方程式解法不能成立之理由》。這篇文章得到了時(shí)任清華大學(xué)數(shù)學(xué)系主任的熊慶來的賞識(shí)，華羅庚也因此得到了進(jìn)入清華大學(xué)圖書館擔(dān)任館員的機(jī)會(huì)。

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