我們每個(gè)人都知道，諾貝爾獎(jiǎng)每年都有，頒給了很多在各自領(lǐng)域做出了突出貢獻(xiàn)的科學(xué)家，但唯獨(dú)沒(méi)有給數(shù)學(xué)家的獎(jiǎng)項(xiàng)，而數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)則一直由一個(gè)叫做菲爾茲的獎(jiǎng)項(xiàng)獨(dú)占。然而菲爾茲獎(jiǎng)相對(duì)于諾貝爾獎(jiǎng)來(lái)說(shuō)，不但少（四年一屆），而且條件苛刻（只頒給40歲以下的數(shù)學(xué)家）。可能是覺(jué)得數(shù)學(xué)家在40歲以后基本已經(jīng)告別開(kāi)拓和創(chuàng)新了吧，不過(guò)也的確如此，世界范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)家都是在十分年輕的時(shí)候就做出了驚人的成就。而這個(gè)世界對(duì)于數(shù)學(xué)家，特別是青年數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，又實(shí)在太殘酷了。很多時(shí)候，他們需要的不止是才華，還有時(shí)代、方向、領(lǐng)域，甚至運(yùn)氣。比如科普君今天要說(shuō)的這兩位，都是在生命之花剛開(kāi)始綻放的時(shí)候就凋謝了，如同劃過(guò)天邊的流星一樣，閃亮而短暫。他們用極其短暫的一生奉獻(xiàn)給人類(lèi)的卻是'夠科學(xué)家忙500年'的成果。他們就是阿貝爾和伽羅瓦。

阿貝爾和伽羅瓦

尼爾斯·亨利克·阿貝爾于1802年出生在挪威的一個(gè)小村莊芬德，他的父親是個(gè)牧師。當(dāng)時(shí)整個(gè)挪威都十分貧窮，阿貝爾從小就處在饑餓之中。他13歲的時(shí)候開(kāi)始入學(xué)讀書(shū)，這時(shí)候它的數(shù)學(xué)才華開(kāi)始顯現(xiàn)。在他老師的引導(dǎo)下，16歲的阿貝爾開(kāi)始閱讀牛頓、歐拉和拉格朗日的著作，并且很快就領(lǐng)會(huì)了它們，然后他開(kāi)始挑戰(zhàn)高斯的《算術(shù)研究》，也非常快地掌握了這本'七封印之書(shū)'的最深?yuàn)W難懂的部分。若干年后，有人問(wèn)阿貝爾如何才能快速地進(jìn)入一流的行列，阿貝爾回答說(shuō)：要學(xué)習(xí)大師們，而不是他們的學(xué)生。阿貝爾在學(xué)習(xí)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了前輩們認(rèn)為已經(jīng)證明了的，但是實(shí)際上并沒(méi)有被嚴(yán)格證明的很多東西，特別是歐拉的關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)和拉格朗日的關(guān)于分析學(xué)的一些內(nèi)容。阿貝爾決心依靠自己的努力來(lái)彌補(bǔ)這些不足，他很快就證明了一般二項(xiàng)式定理，但這只是阿貝爾為了澄清無(wú)窮級(jí)數(shù)理論和應(yīng)用的極具野心的龐大計(jì)劃的一小部分。

二項(xiàng)式定理

然而，到了1820年，阿貝爾的父親去世了，養(yǎng)活全家（阿貝爾有6個(gè)弟妹）的重?fù)?dān)壓到了18歲的阿貝爾肩上。他并沒(méi)有任何抱怨，繼續(xù)利用每一點(diǎn)空閑時(shí)間來(lái)研究數(shù)學(xué)。他的第一個(gè)目標(biāo)是解決一般五次方程。在他之前，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)有解決一般四次方程的方法了，但是當(dāng)他們信心滿(mǎn)滿(mǎn)地向一般五次方程進(jìn)軍時(shí)卻發(fā)現(xiàn)這簡(jiǎn)直是一個(gè)無(wú)法跨越的高峰，他們一直努力了將近三百多年而毫無(wú)所得。所謂的一般五次方程就是求類(lèi)似：ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex=f的代數(shù)解。在阿貝爾的論文《論方程的代數(shù)解》中，阿貝爾這樣寫(xiě)道：代數(shù)中最有趣的事情就是求方程的解?！谶@篇論文中，我將討論最一般的方程的代數(shù)求解問(wèn)題。雖然阿貝爾并沒(méi)有宣稱(chēng)有了一個(gè)完整的解，但是他指出了完全解決他們的可靠的方法。

一元四次方程求解公式

阿貝爾23歲的時(shí)候，出版了他的論文，在這篇論文中他證明了用代數(shù)方法不可能解一般五次方程。論文印的很模糊，但這已經(jīng)是挪威當(dāng)時(shí)最好的印刷技術(shù)了。阿貝爾動(dòng)身前往德國(guó)和法國(guó)，他覺(jué)得他的論文就是他在數(shù)學(xué)界的最好的護(hù)照，他特別希望高斯能看到他的這項(xiàng)成果的價(jià)值。然而，雖然高斯收到了他的論文，卻完全沒(méi)有讀就撇在了一邊，高斯認(rèn)為沒(méi)有人能用這么短的篇幅（阿貝爾為了省錢(qián)，只用了6頁(yè)紙）來(lái)證明一個(gè)這么難的問(wèn)題。

高斯

阿貝爾后來(lái)認(rèn)識(shí)了克列爾，克列爾十分欣賞阿貝爾，然而他只是個(gè)工程師，不是數(shù)學(xué)家，并不能給阿貝爾提供數(shù)學(xué)界影響上的幫助，不過(guò)克列爾還是把阿貝爾的論文出版在了自己的雜志上了。

離開(kāi)德國(guó)后，阿貝爾去了法國(guó)，然而他在法國(guó)的遭遇要比在德國(guó)更慘。阿貝爾把他的論文《論非常廣泛的一類(lèi)超越函數(shù)的一般性質(zhì)》--文中有非常著名的后來(lái)被稱(chēng)為'阿貝爾定理'的結(jié)論--交給了巴黎科學(xué)院。勒讓德和柯西是評(píng)閱人，勒讓德覺(jué)得文章很難辨認(rèn)，甚至墨跡都是模糊的，應(yīng)該讓作者再寫(xiě)一遍。而柯西則把論文帶回了家，然后就找不到了。阿貝爾在巴黎住著昂貴且簡(jiǎn)陋的公寓，還有一個(gè)陰險(xiǎn)的房東。他的論文遲遲沒(méi)有回音，最終，阿貝爾的錢(qián)花光了，還染上了肺結(jié)核。阿貝爾只好孓然一身回到了挪威，繼續(xù)從事教育工作。他始終沒(méi)有收到任何關(guān)于他論文的回復(fù)。雖然在克列爾的幫助下，他在挪威數(shù)學(xué)界已經(jīng)有了一些名聲，挪威王室也開(kāi)始重視阿貝爾。然而，當(dāng)柏林大學(xué)聘任他當(dāng)數(shù)學(xué)教授的書(shū)信送到阿貝爾的寓所時(shí)，阿貝爾已經(jīng)在兩天前去世了。

阿貝爾定理

年僅26歲的阿貝爾就這樣永遠(yuǎn)離開(kāi)了他珍愛(ài)的數(shù)學(xué)，去世時(shí)只有他的未婚妻陪伴在他身邊。

如果說(shuō)柯西弄丟阿貝爾的論文只是個(gè)無(wú)心之失的話(huà)，那么他對(duì)于另外一個(gè)天才的打擊甚至可以說(shuō)是蓄意的了，他就是伽羅瓦，另一個(gè)數(shù)學(xué)天才少年。（我就不放柯西的照片了，說(shuō)實(shí)話(huà)，柯西非常對(duì)不起他們兩個(gè)）

埃瓦里斯特·伽羅瓦于1811年出生在法國(guó)巴黎，他的父母都是知識(shí)分子，家境也還不錯(cuò)。伽羅瓦12歲開(kāi)始進(jìn)入中學(xué)讀書(shū)，16歲開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)。當(dāng)他一接觸到數(shù)學(xué)，熱情被瞬間點(diǎn)燃，他對(duì)別的科目再也沒(méi)有任何興趣了。18歲的時(shí)候，伽羅瓦將他的論文《論連分式》呈交給法國(guó)科學(xué)院，結(jié)果又是由柯西進(jìn)行評(píng)閱，顯而易見(jiàn)的，柯西竟然連文章的摘要都丟了，原計(jì)劃的聽(tīng)取會(huì)只得宣讀了一篇他自己的論文。

伽羅瓦理論

18歲對(duì)于伽羅瓦來(lái)說(shuō)是個(gè)流年，他第二次參加綜合工科學(xué)校的入學(xué)考試，但是那些連給他削鉛筆都不配的人卻坐在了評(píng)判他的位置上，于是毫無(wú)疑問(wèn)的，伽羅瓦沒(méi)有通過(guò)考試。而他的父親由于被人惡意中傷而自殺了，連續(xù)的打擊導(dǎo)致了伽羅瓦的性格趨向極端。

次年，伽羅瓦再次將方程式論的結(jié)果，寫(xiě)成三篇論文。文章最后送到了傅里葉的手中，然而傅里葉正好去世了，結(jié)果他的文章理所當(dāng)然的又不見(jiàn)了。當(dāng)年，法國(guó)爆發(fā)七月革命，伽羅瓦由于激進(jìn)的思想而被投入到監(jiān)獄中，然而對(duì)于數(shù)學(xué)的熱愛(ài)，使他即使身處囹圄也做著數(shù)學(xué)研究。2年后，伽羅瓦被假釋出獄，他愛(ài)上了一個(gè)舞女，然而那個(gè)舞女是有未婚夫的，未婚夫是個(gè)軍官，還是當(dāng)初伽羅瓦坐牢時(shí)的獄友。伽羅瓦與對(duì)方爭(zhēng)執(zhí)，最后決定以決斗來(lái)解決爭(zhēng)執(zhí)。冷靜下來(lái)后，他發(fā)現(xiàn)毫無(wú)勝算，于是連夜寫(xiě)信給他的朋友們。他將自己所有在數(shù)學(xué)上的結(jié)果寫(xiě)了下來(lái)，期間不停在紙的空白處寫(xiě)上'我沒(méi)有時(shí)間'。

伽羅瓦臨死前的手稿

翌日，伽羅瓦如約赴戰(zhàn)，子彈穿過(guò)他的腹部，他倒在地上，并在第二天死去了。那年，伽羅瓦才22歲。

伽羅瓦在數(shù)學(xué)上的功績(jī)主要是解決了阿貝爾未解決的一些問(wèn)題，他使用群論的想法去討論方程式的可解性，整套想法現(xiàn)稱(chēng)為伽羅瓦理論，是當(dāng)代代數(shù)與數(shù)論的基本支柱之一。它直接推論的結(jié)果十分豐富：他系統(tǒng)化地闡釋了為何五次以上之方程式?jīng)]有公式解，而四次以下有公式解。他漂亮地證明高斯的論斷：若用尺規(guī)作圖能作出正p邊形，p為質(zhì)數(shù)的充要條件為p=2^2^k+1,他還解決了古代三大作圖問(wèn)題中的兩個(gè)：'不能任意三等分角'，'倍立方不可能'。

群論的邏輯線(xiàn)

14年后，數(shù)學(xué)家劉維爾在他創(chuàng)辦的《純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)》雜志上首次發(fā)表了伽羅瓦的部分文章。而第一個(gè)全面介紹伽羅瓦理論的是若爾當(dāng)，他在1870年出版的《論置換群與代數(shù)方程》一書(shū)給出伽羅瓦應(yīng)用置換群這一工具，不僅證明一般高于四次的代數(shù)方程不能用根式求解，而且還建立了具體數(shù)字代數(shù)方程可用根式解的判別準(zhǔn)則。應(yīng)用伽羅瓦理論很容易地否定回答所謂幾何三大難題。

天才的數(shù)學(xué)家不易得，有了天才的數(shù)學(xué)家還要有發(fā)現(xiàn)他們天才的眼睛就更不易得了。很明顯，高斯不是這樣的人，柯西更加不是這樣的人。在這點(diǎn)上，伯努利家族和歐拉無(wú)疑是佼佼者。