【原】從“2024中考數(shù)學(xué)”看核心素養(yǎng):代數(shù)推理

妍小青 2024-07-07 發(fā)布于上海

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《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出：“要關(guān)注基于代數(shù)的邏輯推理，如代數(shù)運(yùn)算規(guī)律的論證、韋達(dá)定理的論證、基于圖像的函數(shù)想象.”

代數(shù)推理側(cè)重于數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)等內(nèi)容的運(yùn)算、變形、證明，抽象程度較高，并且不同的代數(shù)推理中涵蓋著不同的推理思想，如從若干運(yùn)算結(jié)果中歸納出運(yùn)算的法則就是歸納推理；根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則得到無理數(shù)的運(yùn)算法則就是類比推理；根據(jù)運(yùn)算律推演出多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則就是演繹推理.這樣，代數(shù)推理就可以通過運(yùn)用相應(yīng)的運(yùn)算法則和運(yùn)算規(guī)律解決數(shù)學(xué)問題。

在滬教版二期課改教材中在七年級(jí)第九章整式單元中以“字母表示數(shù)”的問題4體現(xiàn)了代數(shù)推理，可以用字母來表示圖形的變化規(guī)律。除此以外，我們還可以用字母表示一類數(shù)，進(jìn)行規(guī)律探索，這類問題的難度會(huì)更加高。

數(shù)與式中的代數(shù)推理

規(guī)律探索問題

思路點(diǎn)撥：2024重慶第6題雖然是一道“跨學(xué)科”問題，但是其中融入了代數(shù)推理，即根據(jù)結(jié)構(gòu)模型圖進(jìn)行規(guī)律推斷。

諸如此類的問題還有2024安徽第18題：

思路點(diǎn)撥：2024安徽第18題是一道“純”規(guī)律歸納問題，第(1)問中對(duì)于24的拆分可以依照表格中的規(guī)律進(jìn)行書寫，進(jìn)而一般化，即推導(dǎo)出4n的拆分規(guī)律；第(2)問中根據(jù)題意將兩式的平方差轉(zhuǎn)化為4得倍數(shù)，進(jìn)而得出答案。

分類討論問題

思路點(diǎn)撥：2024河北第15題不僅融入了數(shù)學(xué)史背景，還考察了學(xué)生通過數(shù)學(xué)閱讀歸納算理和算法。

本題的第1個(gè)難點(diǎn)是結(jié)合圖1和題意明晰計(jì)算規(guī)律；第2個(gè)難點(diǎn)是要用字母表示出“■”，不妨設(shè)上面的三位數(shù)為100x+10y+z，下面兩位數(shù)為10m+n。根據(jù)ny=2，結(jié)合所有的字母都是正整數(shù)，可以設(shè)n=1,y=2或n=2,y=1，通過分類討論進(jìn)行計(jì)算。

諸如此類用字母表示整數(shù)的還有2024重慶第18題，對(duì)于代數(shù)推理的要求更高：

思路點(diǎn)撥：2024重慶18題的背景是新定義，需要通過閱讀理解“方減數(shù)”的意義。根據(jù)m和n都是兩位數(shù)，m和n的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，不妨設(shè)m＝10a+b，則n＝10a+8﹣b(1≤a≤9，0≤b≤8)，通過計(jì)算以及代數(shù)推理可以得到最小“方減數(shù)”。

思路點(diǎn)撥：本題的第(2)空難度更高，引入了字母k以及數(shù)的整除，本題首先需要表示出四位數(shù)B，然后可知B-1能被19整除，同時(shí)可知2m+n為完全平方數(shù)，通過這兩個(gè)信息可以得到a與b的兩個(gè)關(guān)系式，繼而再按如下的推理方式，通過分類討論進(jìn)行進(jìn)一步計(jì)算：

除此以外，還有與整式類問題相關(guān)的代數(shù)推理問題：

思路點(diǎn)撥：2024重慶第10題考察了通過已知條件中的系數(shù)推斷整式中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)。本題中的分類討論主要在于對(duì)于系數(shù)n的分類討論，以及確定n后對(duì)后續(xù)含a字母系數(shù)的進(jìn)一步分類討論，從而確定項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)。

方程和不等式中的代數(shù)推理

思路點(diǎn)撥：2024安徽第8題根據(jù)字母系數(shù)范圍和相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式確定字母或代數(shù)式的取值范圍。本題可以通過a-b+1=0變形代入后面的不等式中確定a和b的取值范圍，繼而再確定C和D的代數(shù)式的取值范圍。

思路點(diǎn)撥：2024福建23題主要考察了通過將式子進(jìn)行變形，利用不等關(guān)系進(jìn)行證明的問題。本題的第(1)問通過變形可以得到含a、m、n的式子，通過配方，可以得到一個(gè)完全平方式，進(jìn)而證明；本題的第(2)問可以利用反證法進(jìn)行。

函數(shù)中的代數(shù)推理

思路點(diǎn)撥：2024福建第10題主要考察了利用二次函數(shù)的增減性對(duì)函數(shù)值大小的判斷。首先對(duì)a的正負(fù)性進(jìn)行分類討論，繼而結(jié)合對(duì)稱性和增減性進(jìn)行判定。

思路點(diǎn)撥：2024北京第26題主要考察了二次函數(shù)背景下的代數(shù)推理問題。本題的第(1)問只需要將a=1代入求解即可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；本題的第(2)問根據(jù)x1=3a以及y1<y2可以得到關(guān)于x2和a的不等式，根據(jù)x2的取值范圍確定a的取值范圍，本題對(duì)于不等式的性質(zhì)要求較高。

教學(xué)和學(xué)習(xí)建議

通過分析以上與“數(shù)與式”、“方程與不等式”以及“函數(shù)”相關(guān)的代數(shù)推理問題，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)推理的邏輯性很強(qiáng)，同時(shí)在很多問題中還滲透了分類討論思想。對(duì)于代數(shù)推理問題，往往需要幾何運(yùn)算、法則和規(guī)律進(jìn)行綜合推斷，才能得到最終的結(jié)論。

對(duì)于“數(shù)與式”相關(guān)的問題，關(guān)鍵在于能夠發(fā)現(xiàn)圖形或者數(shù)字中的規(guī)律、能夠用字母表示數(shù)，將問題“符號(hào)化”；對(duì)于“方程與不等式”問題，能夠進(jìn)行有效變形，借助消元法簡(jiǎn)化運(yùn)算；對(duì)于“函數(shù)”問題，能夠數(shù)形結(jié)合，同時(shí)結(jié)合函數(shù)中的對(duì)稱性、增減性綜合進(jìn)行問題判斷和解決。

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