在上一次介紹中。我們介紹了高中數(shù)學四種思想方法之一的函數(shù)與方程思想，這一次我們來一起學習探討一下樹形結(jié)合思想。(字數(shù)有點多，有點枯燥，大家耐心點)

數(shù)形結(jié)合的思想

(1)數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法．數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合．

(2)數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)形之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)．

2．數(shù)形結(jié)合的途徑

(1)通過坐標系“形題數(shù)解”

借助于直角坐標系、復平面，可以將幾何問題代數(shù)化．這一方法在解析幾何中體現(xiàn)得相當充分(在高考中主要也是以解析幾何作為知識載體來考查的)．值得強調(diào)的是，“形題數(shù)解”時，通過輔助角引入三角函數(shù)也是常常運用的技巧(這是因為三角公式的使用，可以大大縮短代數(shù)推理)．

實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖像的對應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐標平面內(nèi)以(2,1)為圓心，2為半徑的圓．

(2)通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造“數(shù)題形解”

許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著相對應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進行巧妙地轉(zhuǎn)化．例如，將a(a>0)與距離互化；將a2與面積互化，將a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cos θ(θ＝60°或θ＝120°)與余弦定理溝通；將a≥b≥c>0且b＋c>a中的a、b、c與三角形的三邊溝通；將有序?qū)崝?shù)對(或復數(shù))和點溝通；將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對應(yīng)等等．這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個圖形(平面的或立體的)．另外，函數(shù)的圖像也是實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常相互滲透，演繹出解題捷徑．

角度一、利用數(shù)形結(jié)合討論方程的解或圖像的交點

思路點撥：

(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點)可構(gòu)造兩個函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖像的準確性、全面性，否則會得到錯解．

(2) 正確作出兩個函數(shù)的圖像是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結(jié)合．

思維流程

角度二、利用數(shù)形結(jié)合解不等式或求參數(shù)

思路點撥：

解含參數(shù)的不等式時，由于涉及到參數(shù)，往往需要討論，導致運算過程繁瑣冗長．如果題設(shè)與幾何圖形有聯(lián)系，那么利用數(shù)形結(jié)合的方法，問題將會順利地得到解決．

思維流程

角度三、利用數(shù)形結(jié)合求最值

思路點撥：

第一步：分析數(shù)理特征，確定目標問題的幾何意義．一般從圖形結(jié)構(gòu)、圖形的幾何意義分析代數(shù)式是否具有幾何意義．

第二步：轉(zhuǎn)化為幾何問題．

第三步：解決幾何問題．

第四步：回歸代數(shù)問題．

第五步：回顧反思．應(yīng)用幾何意義數(shù)形結(jié)合法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：(1)比值——可考慮直線的斜率；(2)二元一次式——可考慮直線的截距；(3)根式分式——可考慮點到直線的距離；(4)根式——可考慮兩點間的距離．

思維流程

歸納總結(jié)：

1．應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

(1)集合的運算及韋恩圖；

(2)函數(shù)及其圖像；

(3)數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖像；

(4)方程(多指二元方程)及方程的曲線；

(5)對于研究距離、角或面積的問題，直接從幾何圖形入手進行求解即可；

(6)對于研究函數(shù)、方程或不等式(最值)的問題，可通過函數(shù)的圖像求解(函數(shù)的零點、頂點是關(guān)鍵點)，做好知識的遷移與綜合運用．

2．運用數(shù)形結(jié)合的思想分析解決問題時，應(yīng)把握以下三個原則

(1)等價性原則

在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞，有時，由于圖形的局限性，不能完整地表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，但它同時也是抽象而嚴格證明的誘導．

(2)雙向性原則

在數(shù)形結(jié)合時，既要進行幾何直觀的分析，又要進行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進行幾何分析(或僅對幾何問題進行代數(shù)分析)在許多時候是很難行得通的．

例如，在解析幾何中，我們主要是運用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會使得復雜的問題簡單化．

(3)簡單性原則

就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于哪種方法更為簡單，而不是去刻意追求代數(shù)問題運用幾何方法，幾何問題運用代數(shù)方法．

希望為大家?guī)砀玫奈恼拢?/strong>