這種給出ax+by+c=0型條件等式，消元應(yīng)該是挺方便的。但如果觀察目標(biāo)的結(jié)構(gòu)，覺(jué)得又與圓或兩點(diǎn)間距離或多或少有一點(diǎn)關(guān)系。

便有了下面的解法。

多元問(wèn)題一元化處理，是解決這類問(wèn)題最根本的思路了。而條件中的二元一次方程，就可以很方便地讓我們達(dá)到消元的目的。

解決二元代數(shù)式的最值問(wèn)題，有一種解法常被叫作叫“萬(wàn)能K法”。其實(shí)，這種方法基本思想還是消元了，只不過(guò)利用了整體替換的思想，但把代數(shù)式變?yōu)榈仁揭院螅瑔?wèn)題就變成了方程組有解的問(wèn)題。

記得高一講分式型函數(shù)值域時(shí)，這種解法一般叫“判別式法”。

當(dāng)然，如果變量x，y給出了一定的范圍，可能還是需要驗(yàn)證下的。

如果從目標(biāo)的“平方和”特征看，我們其實(shí)就是想由條件求出一個(gè)圓的半徑大小，當(dāng)然最好的方式 ，就是考慮圓的參數(shù)方程了。

所以說(shuō)，“看到平方和，要想三角換元“，應(yīng)該是比較明智的。

當(dāng)然，平方和的問(wèn)題也可以看成兩點(diǎn)間的距離。

其實(shí)，在代數(shù)中能夠表示距離的式子是不多的，記得最常見(jiàn)的當(dāng)是平方和和絕對(duì)值了。

相信不少同學(xué)都記得'遇到連比就設(shè)k”這句口頭禪吧？

涉及比值問(wèn)題，通過(guò)設(shè)k的作法，其實(shí)也只是消元的一種形式，我們姑且叫作換元消元，就記得均值代換就是一種最常見(jiàn)的換元消元了。

當(dāng)然，換成k還是t，這是無(wú)傷大雅的。

條件式為二元二次方程，因?yàn)槠椒巾?xiàng)系數(shù)均為正，其圖象為橢圓，這種形式的條件稱為橢圓型。顯然該形式下直接消元是不現(xiàn)實(shí)的。

因?yàn)槟繕?biāo)式為一次式，所以考慮一次式便 于消元的特征，就可以考慮用判別式法了。

一般而言，但凡是二次項(xiàng)系數(shù)同號(hào)的二元二次式，總是可以通過(guò)一定的手段進(jìn)行三角換元的。這里就利用了配方后的平方和特征進(jìn)行了三角換元，應(yīng)該也是一種常規(guī)換元了。

此題的條件式還算是比較理想的，但因目標(biāo)式為分式，且為真分式，采用三角換元法處理，計(jì)算量顯然過(guò)大了。因此，如何溝通條件和結(jié)論，是本題得以突破的關(guān)鍵。

本題通過(guò)分式裂項(xiàng)的逆向變換，將最簡(jiǎn)分式化為假分式，并通過(guò)配湊構(gòu)造基本不等式的條件，從而得到條件式的作法，很是巧妙。但要注意的是，因x、y滿足的等式有三個(gè)，很可能會(huì)發(fā)生沖突，因此這種解法雖妙，但不具備一般性哦。

但實(shí)在走投無(wú)路時(shí)，這種變形的技巧，不妙可以考慮試一試的。

本題形式和例3相同，當(dāng)然首先考慮了例3的解法，但預(yù)言成真，真的發(fā)生矛盾了。因此又考慮了下另外一種構(gòu)造構(gòu)造。

其實(shí)，說(shuō)到基本不等式的使用，也確實(shí)是挺讓人費(fèi)神的，單是構(gòu)造取等的條件，就是一個(gè)技術(shù)活，何況還是兼顧幾個(gè)條件呢。所以，這種解法供借鑒吧，實(shí)在沒(méi)有辦法了，就考慮下。

本題條件式通過(guò)化簡(jiǎn)后，為雙曲函數(shù)，其圖像為雙曲線，但也是一種常見(jiàn)形式了。通過(guò)不同的理解，而得到的不同處理方式，在代數(shù)變形中也是具有很強(qiáng)的可借鑒性的。

因?yàn)闂l件式中變量x,y均以一次的形式出現(xiàn)，是可以很方便的利用代入法進(jìn)行消元的。所以，消元法便成為了首選。

還是整體替換，依然是判別式法，這種化代數(shù)式為方程的思路，在很多時(shí)候，確實(shí)都是簡(jiǎn)潔易行的。所以我說(shuō)，如果實(shí)在是沒(méi)有好的代數(shù)變形的手段了，那就萬(wàn)能k法吧。

畢竟，方程總歸是要好處理點(diǎn)。

這里的基本不等式，其實(shí)是不具備一般性的。此題還是因?yàn)闂l件等式的左邊和目標(biāo)式完全相同，才能進(jìn)行下去的，巧合的因素就多了些。所以，不借鑒也罷了。

是不是有點(diǎn)線性規(guī)劃的感覺(jué)了呢？確實(shí)，線性規(guī)劃這個(gè)東西，很多時(shí)候稍不留心就變成了一般的數(shù)形結(jié)合了。

所以關(guān)于二元代數(shù)式的最值問(wèn)題，常見(jiàn)的就是三種思路：消元、線性規(guī)劃和基本不等式。

這個(gè)等積代換，和前面的等比代換差不多。其實(shí)說(shuō)白了，這兩種變換，就是我們最熟悉的正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的延續(xù)了。但確實(shí)也是我們處理二元代數(shù)式最常用的一種手段了。畢竟，站在消元的角度，還是挺方便的。

此題條件式中平方項(xiàng)系數(shù)正負(fù)相反，一般來(lái)說(shuō)它的圖像應(yīng)該是雙曲線了。因?yàn)闂l件式不能配成平方和的形式，所以這種式子的處理確實(shí)是難了點(diǎn)。

如果條件式無(wú)從下手，目標(biāo)式當(dāng)然就是我們要首先瞄準(zhǔn)的。

目標(biāo)代數(shù)式既然是平方和特征，當(dāng)然就可以考慮三角換元了。所以，關(guān)于三角換元這種方法，好象確實(shí)是無(wú)處不在，我們是要引起足夠重視的。

但這種條件式有一種常見(jiàn)的處理方式 ，就是部分分解因式。如果這種雙曲條件式可以按照上面的方式因式分解的話，作等積變換也確實(shí)還是比較方便的。