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三角形的五心 重心、外心、內(nèi)心、垂心、旁心統(tǒng)稱為三角形的"五心",由于三角形的五心處在特殊的位置上,因而它們具有豐富而獨(dú)特的性質(zhì),這些性質(zhì)是解與五心相關(guān)問題的基礎(chǔ). 一.重心 三角形的三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心. 如圖,設(shè)O為三角形的重心,則有 1.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。 2.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。 3.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（Z1+Z2+Z3）/3 4.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)的連線的任意一條連線將三角形面積平分。 5.重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。 6.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。 7.重心在向量中的重要結(jié)論:外心 二.外心 三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫三角形的外心.(外接圓的圓心) 1.三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合。 2.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點(diǎn)重合 4.OA=OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 6.S△ABC=abc/4R
三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)(或內(nèi)切圓的圓心)。 三角形的內(nèi)心的性質(zhì) 1.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心 2.三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r 3.r=2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是內(nèi)切圓半徑) 四.旁心 1 三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。 2旁心到三角形三邊的距離相等。 3三角形有三個(gè)旁切圓，三個(gè)旁心。旁心一定在三角形外。 4直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長的一半。 5∠BI1C=90°-∠A/2. 6AP1=r1·cot(A/2)=(a+b+c)/2. 7∠AI1B=∠C/2. 8S⊿ABC=r1(b+c-a)/2. 9r1=rp/(p-a). 10r1=(p-b)(p-c)/r. 111/r1+1/r2+1/r3=1/r. 12r1=r/(tanB/2)(tanC/2). 五.垂心 三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(diǎn)(通常用H表示)。 三角形的垂心的性質(zhì) 1.銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外 2.三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心 3. 垂心O關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在△ABC的外接圓上 4.△ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF 5. H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一—垂心組)。 6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圓是等圓。 7.在非直角三角形中，過O的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC 8.三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。 9.設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 10.銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。 11.銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。 |
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