大家好，感謝大家的關(guān)注，今天繼續(xù)為大家分享！我們?cè)趯W(xué)習(xí)三角形的時(shí)候，會(huì)有好多“心”的知識(shí)，其實(shí)三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心、旁心等等，可能好多同學(xué)已經(jīng)被搞迷糊了，弄清楚它們很容易，我們先看一道題。

已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O為外心，且OM⊥BC于M。

（1）求證：AH=2OM；

（2）若∠BAC=60°，求證：AH=AO。

分析：這道題出現(xiàn)了三角形的外心還有三角形的垂心，如果我們對(duì)三角形的各'心'很清楚的話我們很快就有思路（1）延長(zhǎng)AD到F連BF，做OG⊥AF，求出矩形OGDM，求出OM=GD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定、垂徑定理求出HD=DF，代入求出即可；（2）根據(jù)圓周角定理求出∠BOM，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出B=2OM即可．下面來(lái)看詳細(xì)解答過(guò)程：

證明（1）過(guò)O作OF⊥AC于F，則F為AC的中點(diǎn)，連接CH，取CH中點(diǎn)N，連接FN，MN，則FN∥AD，AH=2FN，MN∥BE，

∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，

∴OM∥AD，BE∥OF，

∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，N為CH中點(diǎn)，

∴MN∥BE，

∴OM∥FN，MN∥OF，

∴四邊形OMNF是平行四邊形，

∴OM=FN，

∵AH=2FN，

∴AH=2OM．

證明（2）連接OB，OC

∵∠BAC=60°，

∴∠BOC=120°，

∴∠BOM=60°，

∴∠OBM=30°，

∴OB=2OM=AH=AO，

即AH=AO．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線定理、含30度角的直角三角形性質(zhì)、三角形的外接圓與外心、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)。題目綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，但題型較好，難點(diǎn)是如何作輔助線以及對(duì)三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心、旁心等考點(diǎn)的理解?？赡苓€有好多朋友對(duì)這幾個(gè)'心'還掌握的不是太好，那么今天我們就借助這道題再來(lái)把三角形內(nèi)心、外心、中心、重心的知識(shí)再?gòu)?fù)習(xí)一下。

三角形的四心定義：

1、內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，即內(nèi)切圓的圓心。內(nèi)心是三角形角平分線交點(diǎn)的原理：經(jīng)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角（原理：角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等）。
2、外心：是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，即外接圓的圓心。
外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五種心重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心，當(dāng)且僅當(dāng)三角形是正三角形的時(shí)候，四心合一心，稱做正三角形的中心。 
4、重心：重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)。

三角形的外心的性質(zhì)：

1、三角形三條邊的垂直平分線的交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心；
2、三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合；
3、銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點(diǎn)重合。

三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：

1、三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心
2、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r=2S/(a+b+c)
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
4、∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
5、S△=[(a+b+c)r]/2 (r是內(nèi)切圓半徑)

三角形的垂心的性質(zhì):

1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外。

2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心。

3、三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。

4、銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。

5、銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短。

6、三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點(diǎn)的切線。

三角形的重心的性質(zhì):

1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。

3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。

三角形旁心的性質(zhì)

1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。
2、每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。
3、旁心到三邊的距離相等。
三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。一個(gè)三角形有三個(gè)旁心，而且一定在三角形外。

這些三角形的“心”的知識(shí)給大家分享完了，三角形只有五種心重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心，我們只要記住它們的定義，它們的性質(zhì)我們結(jié)合圖形就能很快理解，重點(diǎn)是要熟練，熟練了我們做題時(shí)候才能得心應(yīng)手。現(xiàn)在你都把三角形的這些“心”弄明白了嗎？

好了今天分享到此，感謝大家的關(guān)注收藏點(diǎn)贊轉(zhuǎn)發(fā)