向量的加減法離不開(kāi)三角形，三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心是三角形性質(zhì)的重要組成部分。

結(jié)論1：若點(diǎn)O為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則點(diǎn)O為△ABC的垂心。

證明：由，得，即，所以。同理可證。故O為△ABC的垂心。

結(jié)論2：若點(diǎn)O為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足 ，則點(diǎn)O為△ABC的垂心。

證明：由，得，所以。同理可證。容易得到由結(jié)論1知O為△ABC的垂心。

結(jié)論3：若點(diǎn)G為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則點(diǎn)G為△ABC的重心。

證明：由，得。設(shè)BC邊中點(diǎn)為M，則 ，所以，即點(diǎn)G在中線(xiàn)AM上。設(shè)AB邊中點(diǎn)為N，同理可證G在中線(xiàn)CN上，故點(diǎn)G為△ABC的重心。

結(jié)論4：若點(diǎn)G為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則點(diǎn)G為△ABC的重心。

證明：由，得，得。由結(jié)論3知點(diǎn)G為△ABC的重心。

結(jié)論5：若點(diǎn)P為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，并且滿(mǎn)足 ，則點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心。

證明：由于，可得。設(shè)與同方向的單位向量為，與同方向的單位向量為，則。因?yàn)?/span>為單位向量，所以向量在∠A的平分線(xiàn)上。由，知點(diǎn)P在∠A的平分線(xiàn)上。

同理可證點(diǎn)P在∠B的平分線(xiàn)上。

故點(diǎn)G為△ABC的內(nèi)心。

結(jié)論6：若點(diǎn)O為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足 ，則點(diǎn)O為△ABC的外心。

證明：因?yàn)?/span>，所以

同理得由題意得，所以，得。故點(diǎn)O為△ABC的外心。