三角形的五心

三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心.

重心

三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)是三角形的重心.

位置

重心的性質(zhì)

1.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2︰1.

2.重心和三角形任意兩個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等，即重心到三條邊的距離與三條邊的長(zhǎng)成反比.

外心

三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)是三角形的外心.

位置

外心的性質(zhì)

1.三角形的外心是三角形外接圓的圓心.

2.若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A(∠A為銳角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A為鈍角).

垂心

三角形的三條高(所在直線)交于一點(diǎn)，該點(diǎn)是三角形的垂心.

位置

垂心的性質(zhì)

1.三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)共圓.

2.垂心分每條高線的兩部分乘積相等.

內(nèi)心

三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)是三角形的內(nèi)心.

位置

內(nèi)心的性質(zhì)

1.內(nèi)心到三角形三邊距離相等.

2.三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心.三角形的面積等于三角形的周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半.

3.直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和與斜邊的差的二分之一.

4.內(nèi)角平分線分三邊長(zhǎng)度關(guān)系：△ABC中，I為內(nèi)心，則BE:EC=AB:AC, CF:FA=BC:AB, BD:DA=CB:CA.

5.I為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，延長(zhǎng)AI交BC邊于E，則有AI:IE=AB:BE=AC:CE=(AB+AC):BC.

旁心

三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)是三角形的旁心.

位置

旁心的性質(zhì)

1.每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心.旁心到三邊的距離相等.

2.三角形的旁心是三角形旁切圓(與三角形的一邊和其他兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓)的圓心.

三角形的歐拉線

三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OG:GH=1:2.此直線稱為三角形的歐拉線(Euler line)(除正三角形).

垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍.