三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形重心。

性質(zhì)

（1）設(shè)三角形重心為O，BC邊中點(diǎn)為D，則有AO = 2 OD。

（2）三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線(xiàn)所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等；

（3）重心坐標(biāo)為三頂點(diǎn)坐標(biāo)平均值。

三角形三邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，稱(chēng)為三角形外心。

外心到三頂點(diǎn)距離相等。

過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心即三角形外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。

三角形有且只有一個(gè)外接圓。

三角形內(nèi)心為三角形三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)。

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心即是三角形內(nèi)心，內(nèi)心到三角形三邊距離相等。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。

三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓。

三角形三邊上的三條高線(xiàn)的交點(diǎn)，稱(chēng)為三角形垂心。

銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角的頂點(diǎn)；鈍角三角形的垂心在三角形外.。

三角形只有一個(gè)垂心。

與三角形的一邊及其他兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)都相切的圓叫做三角形的旁切圓，旁切圓的圓心叫做三角形旁心。

三角形的一條內(nèi)角平分線(xiàn)與其他兩個(gè)角的外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，即三角形的旁心。旁心到三角形一邊及其他兩邊延長(zhǎng)線(xiàn)的距離相等。

三角形有三個(gè)旁切圓，三個(gè)旁心。這三個(gè)旁心到三角形三條邊的延長(zhǎng)線(xiàn)的距離相等。

三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如：

（1）三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線(xiàn)所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等；

（2）三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等；

（3）三角形的垂心與三頂點(diǎn)這四點(diǎn)中，任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的垂心；

（4）三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等；

（5）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；

（6）三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形的垂心；

（7）三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心；

（8）三角形的中點(diǎn)三角形的外心也是其垂足三角形的外心．

（9）三角形的任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的二倍.

垂心

三角形三邊上的高的交點(diǎn)稱(chēng)為三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性質(zhì)：設(shè)△ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足,垂心為H。

性質(zhì)1    垂心H關(guān)于三邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，均在△ABC的外接圓上。

性質(zhì)2      △ABC中,有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。

性質(zhì)3       H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱(chēng)這樣的四點(diǎn)為一垂心組)。

性質(zhì)4      △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圓是等圓。

性質(zhì)5        在非直角三角形中,過(guò)H的直線(xiàn)交AB、AC所在直線(xiàn)分別于P、Q，則 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

性質(zhì)6         三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。

性質(zhì)7        設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

性質(zhì)8     銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。

性質(zhì)9       銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短。

內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心簡(jiǎn)稱(chēng)為三角形的內(nèi)心，即三角形三個(gè)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)。內(nèi)心有下列優(yōu)美的性質(zhì)：

性質(zhì)1          設(shè)I為△ABC的內(nèi)心,則I為其內(nèi)心的充要條件是：到△ABC三邊的距離相等。

性質(zhì)2       設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則∠BIC=90°+1/2∠A，類(lèi)似地還有兩式；反之亦然。

性質(zhì)3       設(shè)I為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AI所在直線(xiàn)交△ABC的外接圓于D。I為△ABC內(nèi)心的充要條件是ID=DB=DC。

性質(zhì)4         設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分別為D、E、F；內(nèi)切圓半徑為r，令p= (1/2)(a+b+c)，則(1)S△ABC=pr；(2)r=2S△ABC/a+b+c ；(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=p·AI·BI·CI。

性質(zhì)5           三角形一內(nèi)角平分線(xiàn)與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若I為△ABC的∠A平分線(xiàn)AD(D在△ABC的外接圓上)上的點(diǎn)，且DI=DB，則I為△ABC的內(nèi)心。

性質(zhì)6          設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分線(xiàn)交BC于K,交△ABC的外接圓于D，則 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a。

外心

三角形的外接圓的圓心簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的外心.即三角形三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)。外心有如下一系列優(yōu)美性質(zhì)：

性質(zhì)1       三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等，反之亦然。

性質(zhì)2         設(shè)O為△ABC的外心，則∠BOC=2∠A，或∠BOC=360°-2∠A(還有兩式)。

性質(zhì)3        設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)，外接圓的半徑、面積分別為a、b、c,R、S△，則R=abc/4S△。

性質(zhì)4         過(guò)△ABC的外心O任作一直線(xiàn)與邊AB、AC(或延長(zhǎng)線(xiàn))分別相交于P、Q兩點(diǎn)，則AB/AP ·sin2B+ AC/AQ·sin2C=sin2A+sin2B+sin2C。

性質(zhì)5          銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和。

重心

性質(zhì)1       設(shè)G為△ABC的重心，△ABC內(nèi)的點(diǎn)Q在邊BC、CA、AB邊上的射影分別為D、E、F，則當(dāng)Q與G重合時(shí)QD·QE·QF最大；反之亦然。

性質(zhì)2        設(shè)G為△ABC的重心，AG、BG、CG的延長(zhǎng)線(xiàn)交△ABC的三邊于D、E、F,則S△AGF=S△BGD=S△CGE；反之亦然。

性質(zhì)3       設(shè)G為△ABC的重心，則S△ABG=S△BCG=S△ACG= (1/3)S△ABC；反之亦然。

性質(zhì)4        若A點(diǎn)坐標(biāo)為（a,b,c),B點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y,z),C點(diǎn)坐標(biāo)為(o,p,q)，則重心坐標(biāo)為（     1/3（a+x+o），   1/3(b+y+p) ,   1/3(c+z+q)    )

旁心

1、三角形一內(nèi)角平分線(xiàn)和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。

2、每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。

3、旁心到三邊的距離相等。