中考壓軸題（幾何背景）圖文解析（1）——(2017福建倒二)

（注：本題解法非常多，網絡已有多人在寫，本文就從其中的相似解法中的一個小側面談談第二問的解析）

原題：如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P、E分別是線段AC、BC上的點，且四邊形PEFD為矩形．    

（1）若△PCD是等腰三角形時，求AP的長；     

（2）若AP＝根號2，求CF的長．

圖文解析：（本文只解析第二問）

       圖中有兩矩形（一靜一動），給人的第一感覺是這兩個矩形似乎相似。事實如何呢？先從特殊情況來看：當P點與A點重合時，兩矩形重合，顯然可以認為兩矩形相似；當點E與C點重合時，當P點與C點重合時，如下圖示：

不難證明（甚至可能通過度量）此時的兩矩形相似.由此可以大膽猜想：這一動一靜的兩矩形應該會相似。

 證兩矩形相似，顯然轉化為兩三角形相似，解法就更靈活些。為此連接PF，得到△PDF，轉化為證明△APD與△PDF相似，如下圖示：

 圖中有∠ADC＝∠PDF=90°，因此只需證明AD：PD＝CD：FD（即AD：DC＝PD：FD）即可.同時應該注意到：當上述條件成立時，又可得到△APD∽△DCF（其中∠1＝∠2不難證明）.進一步又得到：CF：CD＝AP：AD，將相關數據代入，問題就迎刃而解！

 由于DF＝PE，要證AD：PD＝CD：FD（即AD：CD＝PD：FD），就是要證AD：CD＝PD：PE.注意到點P在AC上，并且∠DPE＝90°，想到與直角相關的基本圖形，進一步得到相應的輔助線，如下圖示：

由PG∥CD得：AG：PG＝AD：CD＝4：3，可設AG＝4t，PG=3t（常法，設元——方程思想）.由△PDG∽△EPH得：PD：PE＝DG：PH＝（8－4t）:（6-3t）＝4：3（巧，其實是必然！下文將有敘述。），因此AD：PD＝CD：FD.從而本題得到解決.

當然也可添加如下圖所示的輔助線來證（解題思路和解法類似）：

同樣，與動點相關的直角還不止這些，可以進行“連動組合”，如：可以進行通過下列一系列方法解決，只是解法均類似，但各有繁簡.有興趣的朋友可以試試.

或者：

或者：

……，

       其實，就是這個“矩形弦圖”中的圖形任意組合，都可以得到本題的答案，思路完全一樣。

實際上，還可以進行如下拓展：

       （1）任意改變矩形的兩鄰邊的長度，一動一靜的兩矩形仍然相似，解法完全相同。

       （2）將點P改為“射線AC”或“直線AC”上的動點，解法仍然相同。

　　請看動態(tài)演示：

（3）若刪除一些線段，得到如下圖形，本題就成了有關“路徑”問題了。

       （4）當然如果背景換成“一個內角為定角的平行四邊形”，如下圖示：

顯然，只需進行如下處理，即可得到相同的解題思路.

反思：熟練掌握基本圖形（或模型）的形成（含過程）、相關結論（含輔助線的添加）、變式（含在不同的情景下）等顯然對解題有很大的幫助。

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