大家好！今天和大家分享一道奧數(shù)經(jīng)典幾何題：如下圖，四邊形ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=80°，∠BCD=160°，求∠BAD的度數(shù)。這道題的難度大，難住了不少考生，但是解題的方法實際上非常多。下面一起來看一下這道題。

本題的難度是如何通過輔助線將已知的邊和角與所求的角聯(lián)系起來。

題目中出現(xiàn)了比較多的線段相等的情況，所以可以構造等腰三角形。構造什么樣的等腰三角形呢？只有特殊的等腰三角形——等邊三角形的內(nèi)角度數(shù)是不變的，所以需要構造出等邊三角形。

下面介紹4種解法。

解法一

如上圖，以AB為邊，在四邊形ABCD內(nèi)部作等邊三角形ABE，連接CE、DE。

因為△ABE為等邊三角形，所以∠ABE=60°，所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-60°=20°。

又AB=BC，AB=BE，所以BC=BE，所以∠BCE=80°，則∠DCE=∠BCD-∠BCE=80°，即∠BCE=∠DCE。

因為BC=CD，∠BCE=∠DCE，CE=CE，所以△BCE≌△DCE，從而可以得到∠CED=80°，且DE=AE。

又∠ADD=360°-∠AEB-∠BEC-∠CED=40°，所以∠EAD=20°，所以∠BAD=∠BAE+∠EAD=80°。

解法二

如上圖，過點C作CK//AB，取CK=AB，連接AK、BK、DK。

因為CK=AB，AB=CD，所以CK=CD。

又CK//AB，所以∠BCK=100°，得到∠KCD=60°，即△KCD為等邊三角形。所以KD=AB。

因為cK//AB，且CK=AB，AB=BC，所以四邊形ABCK為菱形，所以∠BAK=100°，AK=AB。

由AK=AB，KD=AB得AK=KD，所以∠KAD=∠ADK。因為∠AKD=∠AKC+∠CKD=80°+60°=140°，所以∠KAD=20°。

所以∠BAD=∠BAK-∠KAD=100°-20°=80°。

解法三

如上圖，以BC邊作等邊三角形LBC，連接LA、LD。易知AB=BC=CD=LB=LC，所以∠BAL=∠BLA，∠CDL=∠CLD。

因為∠ABL=∠ABC+∠LBC=80°+60°=140°，所以∠BAL=20°。

因為∠LCD=360°-∠BCD-∠BCL=360°-160°-60°=140°，所以∠CLD=20°，所以∠ALD=60°。

又AB=DC，∠ABL=∠DCL，BL=CL，所以△ABL≌△DCL，所以LA=LD，所以△LAD為等邊三角形，即∠LAD=60°。

所以∠BAD=∠BAL+∠LAD=20°+60°=80°。

解法四

如上圖，以CD邊作等邊三角形MCD，連接BM。

在等邊三角形MCD中，DM=CM=CD，所以AB=BC=CD=DAM=CM，所以∠MBC=∠CMB。

因為∠BCM=360°-∠BCD-∠MCD=360°-160°-60°=140°，所以∠MBC=∠CMB=20°，所以∠ABM=∠ABC+∠CBM=80°+20°=100°，∠BMD=∠BMC+∠CMD=20°+60°=80°，即∠ABM+∠BAD=180°，所以AB//DM。

又AB=DM，所以四邊形ABMD為平行四邊形，所以∠BAD=∠BMD=80°。

這道題的難度確實不小，實際上考查的是等腰三角形、等邊三角形的知識，但是輔助線做法比較復雜。本文介紹了4種比較容易想到的輔助線作法，希望對您有用。