全等三角形之《典型問題中的模型》(初稿）

銘銘Nick 2016-05-13

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本帖最后由 nicky2013 于 2014-2-8 23:32 編輯

1.共享全等難題中的基本圖形（相當于全等模型的簡單應(yīng)用），需要可以參考"全等模型基本結(jié)論"（比較粗糙，后面會不斷修改，希望大家多提意見）。
2.弄懂記清這些典型問題后，會發(fā)現(xiàn)武漢大部分（經(jīng)驗判斷有80%以上）八年級期中期末幾何壓軸題（和許多九年級幾何綜合題）都有它們的影子，用這些基本圖形和它們所蘊含的思想很容易解決。
3.后面有空會舉例分析。

4.這里先給一個13-14學年八年級上武漢各區(qū)期末幾何壓軸題摘選材料，可以先做，后面抽空再作簡單分析。

舉例分析
第1題：（12-13學年青山區(qū)八上期中：24題）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD．

（1）如圖1，直接寫出∠ABD的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；

（2）如圖2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；

（3）在（2）的條件下，連接DE，若∠DEC=45°，求α的值．

【分析】這里只分析第二問，根據(jù)題目描述“將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD”,馬上我們可以判斷出來△BCD是等邊三角形，而題目又告訴 “∠ABE=60°”，要判斷△ABE的形狀。結(jié)合圖形和條件“∠ABE=60°” ，我們要猜出△ABE為等邊三角形。
如果猜測正確，我們按照“共頂點模型”（參見全等模型的基本結(jié)論）可以得到 △BDA≌△BCE。反過來思考，我們可以通過證明△BDA≌ △BCE，來證明△ABE的形狀嗎？可以，證明這組全等的初步分析：BC=BD（△BCD是等邊三角形），∠ABD=∠EBC（ △BCD是等邊三角形+ ∠ABE=60°),還差一個角或者一邊，題目條件“∠BCE=150°”不是還沒有用嗎？這樣需證明∠BDA=150°,事實上，結(jié)合第一問，這不難得到。這樣我就通過共頂點模型的基本圖形找出了題目的證明思路。

第2題：（12-13學年洪山區(qū)八上期中：23題第二問）如圖，△ABC為等邊三角形，D為BC上任一點，∠ADE=60°，邊DE與∠ACB的外角平分線相交于點E.（注：略有改動）

(1)求證：AD=DE；

(2)若點D在CB的延長線上，(1)的結(jié)論是否仍然成立？若成立請給予證明；若不成立，請說明理由.

圖1 圖2
【分析】這里圖1和圖2分別給出了用平行線構(gòu)造全等三角形的證明方法。
我這里撇開這個“標準答案”進行分析。我的方法不一定簡單多少，但是解題的思路可以用來做很多其他的題（如12-13學年洪山期中的最后一題，后面會作分析）。
a.第一問的結(jié)論如果成立，則連接AE知△ADE為等邊三角形，明顯 △ADE鼓出來一個像120°的角∠ DCE（其實就是120°）。我們重點分析下由點A，D，C和E構(gòu)成的基本圖形（參見典型問題中的模型前4題）。經(jīng)過對條件簡單分析，我們發(fā)現(xiàn)：∠ADE=∠DCA=∠ACE=60°，和典型問題中的模型中的第4題幾乎一樣（當然要把腦袋歪著看哦

）。為了方便大家，截圖對比如下（答案版）：

（紅線部分表示本題出現(xiàn)的基本圖形補全圖）

現(xiàn)在，我們就可以完全仿照右上圖的輔助線來解決這個問題了。進一步提示一下，右邊作完輔助線后可以按照"共頂點模型"快速確定一組全等三角形：△BDC≌△BEA。此題證明方法完全可類似得到。當然，輔助線中“連接AE”，其實是沒必要的，我們這里只是為了讓基本圖形更加明顯，所以連接了。

b.第二問。經(jīng)過類似分析，可以知，此問完全類似于典型問題中的模型的第3題。大家可以自行分析和給出證明。對比圖如下：

【類似題鏈接】（13-14學年武漢二中廣雅中學八年級上期末模擬-25題）
3-3題廣雅.jpg

(注意：第三問P應(yīng)該是BC延長線上一點。原題有小排版失誤。)

3題類似題--圖

第3題：（12-13學年江岸區(qū)3校八年級上期中-22題）
【此題作為前面2個題的練習。參考典型問題中的模型第2題，可輕松解決問題。題雖然不難，卻是個很好的練習題哦?！?/font>
如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分線，以AC為邊向外作等邊三角形ACE，BE分別與AD、AC交于點F、G，連結(jié)CF.

（1）求證：∠FBD=∠FCD；

（2）若AF=3，DF=1，求EF的值.

【進一步提示】：易知：∠AEB=∠ABE=∠ACF==>∠CFE=60°，點A，F(xiàn)，C和E連接成基本圖形。

第4題：（13-14學年新洲區(qū)八年級上期末-25題）
5-新洲25題.jpg

【分析】我們這里只分享第二問思路。由第一問我們馬上就有A（4，0），B（0，4），這樣我們就知道三角形OAB是等腰直角三角形（為了看起來舒服，不妨連接AB），結(jié)合第二問補充的條件“角OCB=45°”，我們馬上可以聯(lián)想到典型問題中的模型第6題。利用里面第6題方法，我們可以證明角OCA=45°，結(jié)合第二問“垂直”的條件，我們就知道三角形FAC為等腰直角三角形。本問和典型問題中的模型第6題的詳細對應(yīng)關(guān)系，我們展示如下（這里展示的是典型問題中的模型“非答案版”）。（第三問也可以用三垂模型思路解決，由于不是目前討論重點，略去。）