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初中數(shù)學｜平面幾何的模型與方法系列分享（八） “兩形”之等邊三角形7

 苗苗幸福 2020-03-05

師訓君評

上篇文章，作者講解了“構造等邊三角形來解題“，一共介紹了兩種類型：
1、看到60°或120°，可以嘗試構造等邊三角形解題
2、看到30°或150°，可以嘗試構造等邊三角形解題

這一次，作者將繼續(xù)講解另外一種可以構造等邊三角形來解題的幾何模型。
上一次，我們講到了”等邊三角形和兩條線段的故事”，重點是下面這個模型：
3
看到100°、40°、40°的等腰，可以嘗試構造等邊三角形解題
如圖，100°、40°、40°的等腰三角形是一個經(jīng)典的命題模型，利用這個模型作為載體的幾何體，無論是考察線段的證明還是角度的計算都有些難度，所以經(jīng)常作為競賽的命題模型。

以這個模型為載體出的題目，通常可以“嘗試”構造等邊三角形來解題，當然，解題方法也不止一種，我這里主要強調構造等邊三角形的方法。

命題1

已知，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=100°,旋轉AC到DC，使得∠ACD=20°.
求：∠DBC的度數(shù)。
解法


我們首先來分析一下角度關系，看到圖中∠ACD=∠BCD=20°，如果我們構造一個60°，就會再多出一個20°，就有可能出現(xiàn)全等三角形。
比如，我們嘗試以AC為邊構造一個等邊三角形△ACE。
此時，∠BCE=∠BCD=20°，可以根據(jù)“邊角邊”證明△BCE≌△BCD。
然后，我們再分析角度關系發(fā)現(xiàn)：∠BAD=∠EAD=20°，AB=AE，可以證明△BAD≌△EAD。
從而，可以證明△BED是等邊三角形。
最后，通過∠CBD=∠CBE=30°解決問題。
當然，我們還可以選擇不同的邊，從不同的方向來“構造等邊三角形”來解題.

比如：
以DC為邊向下構造一個等邊三角形△DCE;
以BC為邊向上構造一個等邊三角形△BCE：
以AB為邊向下構造一個等邊三角形△ABE：    
以AC為邊向上構造一個等邊三角形△ACE：
以AB為邊向上構造一個等邊三角形△ABE：
以上圖形，以不同的邊向不同的方向構造等邊三角形，都可以讓學生來嘗試證明，以便鞏固這種解題方法。另外，還有幾種解法我沒有列出來，請讀者自行思考一下吧。

但是，我們還需要和學生講清楚，并不是所有的方向構造等邊都可以解題，比如下面這種情況就不能求解：
因為這種情況構造的等邊三角形無法和已知的條件進行有效的“配合”，這就有點像“下象棋”一樣，需要在決定“走哪一步棋”之前，預先思考這一步棋能否和之后的全局情況形成有效的配合。

接下來，我們再看兩道題不同的出題方式吧。

命題2

在三角形△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD=BC，求：∠BCD的度數(shù)。
解法

以AC為邊向上構造等邊三角形△ACE，連接BE.
如圖，很容易證明△DAC≌△BCE.
又因為△BAE是頂角為160°的等腰三角形.
最后，我們來分析一下角度關系，∠AEB=10°, ∠BEC=50°，所以∠BCA=50°,
得出所要求的∠BCD=10°.
此外，還有幾種從不同線段不同方向構造等邊三角形的解法，我們就不詳細講了。 

以BC為邊向下構造等邊三角形：
以AB為邊向上構造等邊三角形：
以AC為邊向下構造等邊三角形：

以AD為邊向下構造等邊三角形：

等等……可以考慮以不同的線段來構造等邊三角形解題。

不過依然需要注意，并不是所有情況都可以求解，需要注意構造的等邊能否和已知條件進行有效配合。

最后，我在給大家介紹本節(jié)課的最后一道題，有點難度哦~~你可以先在這里停下來，先試著自己想想怎么證明，然后往下看我給出的參考解法。注意，要使用構造等邊三角形的方法哦，雖然這道題的解法不止一種。

命題3

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，點P在∠BCA的角平分線上，且∠PBC=10°，
求∠APB的度數(shù).    

如下圖:因為PC平分∠BCA，聯(lián)想到利用角平分線的全等模型，延長CA至E，使得CE=CB，連接BE，延長CP和BE相交于F.

易證：△EPC≌△BPC，所以BP=EP，且∠BCA=40°，所以∠EBC=70°，而∠PBC=10°，所以∠PBE=60°，證明出△BPE是等邊三角形。

需要說明的是，如果一開始直接以BP為邊構造等邊三角形△BPE，則不容易證明E、A、C共線。

“
這里可以這么理解，首先嘗試以BP為邊構造等邊三角形△BPE，但是發(fā)現(xiàn)共線不好證，于是采用延長CA的方法來間接構造等邊三角形△BPE.

因為△BPE是等邊三角形，所以BP=BE，∠PBA=∠EBA=30°，所以△PBA≌△EBA，于是AE=AP，∠AEP=∠APE =10°。

最終得出：∠APB=70°.

總結：
在本章內(nèi)容中，我們的主題依然是“構造等邊三角形解題“，介紹的模型是“100°、40°、40°的等腰”。

我在文中給出的三道題都是非常經(jīng)典的例題，每一道題又有很多種解法。

我們這里主要給出的還是構造等邊三角形的解法。

通常來講，構造等邊三角形之后，都能夠根據(jù)角度之間的關系，證明出全等三角形或者新的等腰三角形，然后通過倒角解決問題。

雖然這個模型也可以有對稱和旋轉等其他解法，但是嘗試構造等邊三角形也是非常重要的解題方法。如果以某條線段來構造等邊三角形發(fā)現(xiàn)不好解題，換一個方向或者線段來嘗試就好。
 
最后，還是希望各位讀者能夠繼續(xù)給我鼓勵，讓我不斷寫下去。請多多在文章末尾點贊，或者寫點評論啥的，或者給我一些反饋，哪些地方可以改進，這樣也是極好的。
 
未完待續(xù)，我們下期再見！

下期內(nèi)容預告：
初中數(shù)學|平面幾何的模型與方法系列分享（九）“兩形”之等邊三角形8

關于作者
樊浪，新東方優(yōu)能中學推廣管理中心資深產(chǎn)品架構師，新東方教育科技集團中級教學培訓師，新東方二十周年功勛教師，中考數(shù)學輔導專家。

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