這是青島市2021年中考數(shù)學(xué)的壓軸題，是一道關(guān)于雙動(dòng)點(diǎn)的問題，主要通過畫輔助線構(gòu)造相似三角形來解決。

如圖, 四邊形ABCD, AB//DC, CB⊥AB, AB=16cm, BC=6cm, CD=8cm, 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D開始沿DA邊勻速運(yùn)動(dòng), 動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB邊勻速運(yùn)動(dòng), 它們的運(yùn)動(dòng)速度均為2cm/s. 點(diǎn)P和Q同時(shí)出發(fā), 以QA, QP為邊作平行四邊形AQPE, 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s), 0<t<5.

根據(jù)題意解答下列問題：

(1)用含t的代數(shù)式表示AP;

(2)設(shè)四邊形CPQB的面積為S(cm^2), 求S與t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)QP⊥BD時(shí), 求t的值;

(4)在運(yùn)動(dòng)過程中, 是否存在某一時(shí)刻t, 使點(diǎn)E在∠ABD的平分線上？若存在, 求出t的值；若不存在, 請(qǐng)說明理由.

解：(1)過D作DF⊥AB于點(diǎn)F, 則AF=AB-CD=8cm, DF=BC=6cm.

在Rt△ADF中, AD=根號(hào)(AF^2+DF^2)=10cm.

又PD=2tcm, ∴AP=AD-PD=10-2t(cm), 0<t<5.

(2)過C作CG⊥AD于點(diǎn)G, 過P作PH⊥AB于點(diǎn)H,

則△DCG∽△APH∽△ADF，

CG=CD·DF/AD=4.8cm, PH=AP·DF/AD=6-1.2t(cm).

S直角梯形ABCD=BC(CD+AB)/2=72cm.

又AQ=PD=2tcm,

∴S△CDP=PD·CG/2=4.8tcm,

∴S△APQ=AQ·PH/2=6t-1.2t^2(cm),

∴S=S直角梯形ABCD-S△CDP-S△APQ=72-4.8t-(6t-1.2t^2)=1.2t^2-10.8t+72, 0<t<5.

(3)當(dāng)QP⊥BD時(shí), △PQH∽△BDF，

AH=CD·PH/BC=8-1.6t(cm), 【這個(gè)關(guān)系是根據(jù)△APH∽△DBC得到的】

QH=AH-AQ=8-3.6t(cm),

又QH/DF=PH/BF,【這個(gè)關(guān)系才是根據(jù)△PQH∽△BDF得到的】

即(8-3.6t)/6=(6-1.2t)/8,

解得t=35/27.

(4)存在, 理由如下：連接BE, 延長(zhǎng)EP交BD于I,

則PI=AB·DP/AD=3.2t cm,

DI=BD·DP/AD=2t cm,

BI=BD-DI=10-2t (cm),

當(dāng)BE平分∠ABD時(shí), ∠EBI=∠EBA=∠BEI,

∴IE=BI, 即3.2t+2t=10-2t,

解得：t=25/18.