中考幾何壓軸 23 輔助線法則 終極經(jīng)典解析 從對稱性角度補(bǔ)全圖形

這一系列，不限專題，解析系列經(jīng)典幾何題，提高幾何分析解決問題能力。

題26. 《對稱的思想補(bǔ)全圖形》

題設(shè)如圖，（1）求∠CAD？（2）求證：AD＝BD＋CD。

〖一般性提點(diǎn)〗

關(guān)于補(bǔ)全圖形，主要有三角形（等邊、等腰、Rt等）、四邊形（平行、梯形等），還有就是從對稱性角度考慮將圖形完善。這不意味著它們總是有效可行，除非這些手段顯性隱藏的信息。

〖題目分析〗

圖形有著較明顯的軸對稱性：作AE⊥BC于E，交DF于N，F(xiàn)是D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)；連接AF、BF、CF、DF，得到左右完全對稱的圖形，一方面通過連接增強(qiáng)信息，另一方面對稱點(diǎn)的信息就可共享，或可顯性隱含的信息。

（1）

[1]. 易知，△CDF及△BFD均為底角θ＝20°的等腰三角形，BD＝CF＝DF＝λ；

[2]. 基于對稱性，AD＝AF，AE垂分DF：DN＝FN＝λ/2；

[3]. 因α＝30°，延長BF交AC于P、角度計(jì)算易知BF⊥AC；延長CD交AB于Q，同理CQ⊥AB；

[4]. 在30°Rt△BDQ中，DQ＝BD/2＝λ/2；在30°Rt△CFP中，F(xiàn)P＝CF/2＝λ/2；

[5]. 由上易證以A為一頂點(diǎn)的四個(gè)Rt三角形全等，∴∠CAD＝30°；

（2）

[6]. 延長DQ至M使得DM＝BD＝λ，∵題設(shè)∠BDC＝120°，∴易知△BDM為等邊三角形：CM＝BD＋CD；

[7]. 易證△ADQ≌△AMQ，∴AD＝AM；

[8]. 易知△ACM為底角50°等腰三角形，∴CM＝AM；

[9]. 由[6]、[7]、[8]得：AD＝BD＋CF。