上個(gè)月的專欄文章《行星軌道閉合的奧秘》中提到，行星繞恒星運(yùn)轉(zhuǎn)一圈后能回到原地，這不是理所當(dāng)然的事實(shí)，而是一個(gè)驚喜，背后隱藏著深刻的奧秘。本期的文章則將告訴我們，氫原子也和太陽系一樣，隱藏著類似的奧秘。而這種聯(lián)系，正是物理學(xué)的迷人之處。

撰文 徐一鴻（A. Zee）

翻譯 高蘋（哈佛大學(xué)物理系）

編輯 丁家琦

一個(gè)驚喜：牛頓的軌道是閉合的

讓我們一起來思考：當(dāng)一個(gè)行星圍繞太陽旋轉(zhuǎn)時(shí)的牛頓引力問題。角動量守恒（The conservation of angular momentum），也就是角動量矢量不會隨時(shí)間改變，這意味著行星軌道總是呆在垂直于的平面上。

上個(gè)月的專欄文章中提到，如果行星和恒星之間的引力滿足牛頓的平方反比律^[1]，那么軌道就是一個(gè)閉合的橢圓。絕大多數(shù)物理的初學(xué)者都認(rèn)為這是理所當(dāng)然的，但其實(shí)這是需要解釋的。事實(shí)上，在愛因斯坦的理論里，引力會輕微偏離牛頓的平方反比律，因而軌道并不會閉合：它會進(jìn)動（precess）。具體來說，近日點(diǎn)（perihelion，即行星距離恒星最近的點(diǎn)）會移動。水星圍繞太陽的軌道進(jìn)動，正是愛因斯坦理論的三大預(yù)言之一。

在牛頓引力中，拉普拉斯侯爵（Marquis de Laplace，1749–1827）給出了行星軌道閉合的解釋。他發(fā)現(xiàn)如果行星和恒星之間的引力滿足平方反比律，則存在另一個(gè)守恒矢量（我們用來表示它）。我在之前的《行星軌道閉合的奧秘》文章中，闡釋過這個(gè)非凡的洞見^[2]。

拉普拉斯矢量^[3]從恒星指向近日點(diǎn)。守恒意味著，它就像一樣不隨時(shí)間改變。亦即，近日點(diǎn)的位置不隨時(shí)間改變。因此，軌道就是閉合的：即行星每環(huán)繞一圈恒星，它都必須回到同一個(gè)點(diǎn)上。

量子力學(xué)的來到

現(xiàn)在，讓我們從拉普拉斯逝世之際，飛速99年回到過去，重回到量子力學(xué)誕生之時(shí)。在我的科普書和教科書中，我多次提及大自然對理論物理學(xué)家如此的仁慈。一個(gè)絕佳的例子就是：氫原子（hydrogen atom），它可以被看作一個(gè)微型太陽系（miniature solar system），其中電子圍繞質(zhì)子飛旋，就像太陽系中行星圍繞太陽的轉(zhuǎn)動。和引力一樣，靜電吸引力同樣滿足平方反比律：它隨著電子和質(zhì)子之間的距離的平方而衰減。啊，謝謝你，大自然！物理學(xué)家們因而可以使用許多與牛頓行星動力學(xué)中相同的概念來理解原子，比如角動量守恒。

不過，要研究原子，首先需要的是發(fā)明量子力學(xué)。

而像量子力學(xué)那樣深邃的東西，是絕不可能在短短一篇文章中解釋清楚的。在此，我得假設(shè)讀者已經(jīng)聽說過量子力學(xué)，而且至少對它有一些模糊印象。在量子力學(xué)中，圍繞質(zhì)子飛旋的電子不再像經(jīng)典力學(xué)那樣遵循精確的軌道。取而代之的是，它只能存在于一些“量子態(tài)”（quantum state），亦即“能級”（energy level）中。[鑒于本文的僅限目的， 我們使用的“態(tài)”（state）和“（能）級”（level）這兩個(gè)字是可替換的（ interchangable）的。]對于每個(gè)量子態(tài)，我們只能計(jì)算電子在質(zhì)子周圍各處出現(xiàn)的幾率。例如，對于某些態(tài)，電子距離質(zhì)子很遠(yuǎn)的幾率相當(dāng)高，而對于另一些態(tài)，電子距離質(zhì)子相對近的幾率則很高。

圖1. 氫原子：（a）在經(jīng)典物理的描述中，電子遵循精確的軌道，但這個(gè)圖像是有誤導(dǎo)性的。（圖片來源：編者根據(jù)作者指示繪制）（b）在量子力學(xué)中，電子的位置由不同顏色的點(diǎn)來形象地描述，它的深淺表示在質(zhì)子周圍的某個(gè)位置發(fā)現(xiàn)電子的幾率。（圖片來源：epsnews.eu）

一般來講，在量子力學(xué)的問題中，會出現(xiàn)很多整數(shù)，這就是“量子”（quantum）和“量子化”（quantized）這些詞的來源。例如，氫原子的態(tài)的能量就是由幾個(gè)整數(shù)決定，因此只能取離散值，這和經(jīng)典力學(xué)是截然不同的。在經(jīng)典力學(xué)里，整數(shù)幾乎沒有扮演任何重要角色，而且像“能量”這樣的物理量是可以有連續(xù)的值。在量子物理系統(tǒng)中，量子態(tài)允許的能量值是由量子力學(xué)的基本方程——薛定諤方程（Schr?dinger equation）所決定。

求解氫原子

讓我們來看看本科生在量子力學(xué)課中，是如何學(xué)習(xí)以球?qū)ΨQ力（即在各個(gè)方向上都指向中心并且大小相同的力）來求解薛定諤方程，然后，再把這個(gè)結(jié)果應(yīng)用到氫原子上的。在這個(gè)過程中，學(xué)生們會完成一些求解薛定諤方程的標(biāo)準(zhǔn)步驟。讀者無須了解這些步驟，但是讓我把它們羅列于此，以表示物理系的學(xué)生們確實(shí)學(xué)會了各種技巧：他們建立球坐標(biāo)，用球諧函數(shù)分離變量，求解得到的徑向變量微分方程，等等。

對于氫原子，其能級（即能量可以取的值）依賴于三個(gè)整數(shù)：n、l、m。

整數(shù)n可以取遍所有自然數(shù)，從0到無窮大。確定n的值之后，整數(shù)l衡量量子態(tài)的角動量，可以取的值為l = 0, 1, … , n - 1。對于確定的l，整數(shù)m取值范圍是m = -l, -l + 1, … , l - 1, l。大致來講，我們可以認(rèn)為m刻畫的是氫原子的方向。同樣，讀者無須關(guān)心這些細(xì)節(jié)，你只需要知道能量取決于三個(gè)整數(shù)：n、l、m，它們的各種取值是由不同規(guī)則決定。

舉個(gè)例子就更清楚了?？紤]n = 3的情況，此時(shí)l可以有3個(gè)不同的值：l = 0, 1, 2。對于l = 2，整數(shù)m的取值范圍是-2, -1, 0, 1, 2。因此，m可以取5個(gè)值，代表5個(gè)量子態(tài)。（一般來說，對于給定的l，m可以取2l + 1個(gè)值。）對于l = 1的情況，m的取值范圍是-1, 0, 1。因此，m可以取3個(gè)值，代表3個(gè)量子態(tài)。最后，對于l = 0的情況，只有一個(gè)量子態(tài)，即m取0而定。綜上所述，那么對于n = 3，共計(jì)5 + 3 + 1 = 9個(gè)量子態(tài)。如果讀者懂一點(diǎn)數(shù)學(xué)，就可以輕松推導(dǎo)出：對于任意n，一共有n²個(gè)不同的^[4]量子態(tài)或者能級。

對于n = 3的情況，共存在5 + 3 + 1 = 9個(gè)量子態(tài)。（圖片來源：編者繪制）

理論上講，這n²個(gè)量子態(tài)可以有n²個(gè)不同的能量值。然而，早在量子力學(xué)發(fā)展初期，物理學(xué)家就已經(jīng)知道：對于給定的l，只要力是球?qū)ΨQ的，能級就不依賴于m。我們提過，大致來講，m刻畫的是氫原子的方向。因此，當(dāng)力是球?qū)ΨQ時(shí)，給定l的能級不依賴于m，這似是十分合理的。如果力并不挑選出一個(gè)特殊的方向，那么原子的方向就無關(guān)緊要了。

在量子力學(xué)中，當(dāng)量子態(tài)擁有相同的能量時(shí)，它們被稱為“簡并”（degenerate）。以上所述若用物理的語言來說，即為對于給定的l，帶有不同m值的(2l + 1)個(gè)量子態(tài)都是簡并的。由于當(dāng)力是球?qū)ΨQ時(shí)，角動量守恒，給定l的簡并即可被認(rèn)為是角動量守恒的結(jié)果。^[5]

在我們n = 3的例子中，根據(jù)上面列出的9 = 3²的態(tài)里，角動量守恒意味著，5個(gè)l = 2的態(tài)是簡并的，即這5個(gè)態(tài)有相同的能量，稱為E_l=2；又3個(gè)l = 1的態(tài)是簡并的，即這3個(gè)態(tài)有相同的能量，稱為E_l=1；唯一的l = 0的態(tài)帶有某個(gè)能量，稱為E_l=0。

圖2. 對于氫原子中的電子，在n = 3的情況下有9個(gè)量子態(tài)。橫軸表示的是不同m的情況，縱軸表示的是不同量子態(tài)的能量。我們已經(jīng)假定了E_l=2 > E_l=1> E_l=0。（圖片由編者根據(jù)作者指示繪制）

因此，理論物理學(xué)家們預(yù)計(jì)，對于給定的n，能級會依賴于l。換言之，在我這個(gè)例子里，E_l=2，E_l=1和 E_l=0分別是3個(gè)不同的值。不同于9個(gè)態(tài)擁有9個(gè)不同能量，它們被分成3組，對應(yīng)3個(gè)不同的能量。

一個(gè)未曾預(yù)料到的簡并

驚喜，真是個(gè)大驚喜！當(dāng)物理學(xué)家用薛定諤方程求解了氫原子的能級時(shí)，他們震驚地發(fā)現(xiàn)，對任意給定的n，能級卻不依賴于l。在我們的例子里，當(dāng)n = 3時(shí)，9個(gè)量子態(tài)并非擁有3個(gè)不同的能量，而是完全相同的能量！換言之，E_l=2 = E_l=1 = E_l=0。

由于這個(gè)討論已經(jīng)相當(dāng)技術(shù)性，而且涉及到量子力學(xué)的奧秘，我在此總結(jié)一下將會有所幫助。我們預(yù)期不同量子態(tài)的能量一般依賴于三個(gè)整數(shù)n、l、m，但是我們知曉，由于角動量守恒，能量并不取決于m。而令人驚喜的是，當(dāng)力的定律是平方反比時(shí)，并且僅當(dāng)力的定律是平方反比時(shí)，能量也不依賴于l，而只依賴于n。

我們就用一個(gè)概略的類比，以幫助理解。想像一所幼兒園班里有9個(gè)小朋友。其中5個(gè)女孩是五胞胎，幾年前曾經(jīng)被報(bào)紙專題報(bào)道而聞名全國。她們的身高都相同，這讓人意外，但也不會太令人吃驚，畢竟她們有著相同的基因。另外有3個(gè)男孩是三胞胎。由于三胞胎比五胞胎常見得多，當(dāng)他們出生時(shí)，并沒有被報(bào)紙專題報(bào)道。但是同樣讓人意外的是，他們的身高也都相同。最后一個(gè)女孩是獨(dú)生女，因此她的基因和其他8個(gè)小朋友都不同。

這樣的情形已經(jīng)相當(dāng)令人意外，但真正讓人大吃一驚的是，來自3個(gè)不同家庭的9個(gè)小朋友，身高居然都精確地一致。大體來講，這就是讓物理學(xué)家感到困惑的驚喜。再進(jìn)一步類比，以對照9個(gè)量子態(tài)有不同的l和m，我們可以說，除了身高，這9個(gè)小朋友的身體特征都有很大差異，比如體重或者耳朵的大小都不同。

這里描述的簡并，即不同量子態(tài)的能量并不依賴于l，被稱為“偶然簡并”（accidental degeneracy）或者“動力學(xué)簡并”（dynamical degeneracy）。但是，親愛的讀者，你肯定夠老練到懷疑，這個(gè)不尋常的簡并絕非來自偶然。

一個(gè)沒有懸念的故事

如今，量子力學(xué)誕生已近百年之久，我講述這個(gè)故事的方式，也設(shè)法去除了任何可能留存的懸念。你現(xiàn)在肯定已經(jīng)猜到，氫原子中這個(gè)意外簡并，必定和牛頓的行星問題中的近日點(diǎn)不動有關(guān)。否則，為什么開篇我會給你講牛頓力學(xué)的軌道呢？但在那時(shí)，只有像沃爾夫?qū)づ堇╓olfgang Pauli）^[6]那樣聰明的人才能夠意識到這一點(diǎn)。

有一個(gè)線索是，只要電子和質(zhì)子之間的力是球?qū)ΨQ的，就會有與m無關(guān)的簡并。而和l無關(guān)的“偶然”簡并，則是特定于平方反比律。讓我們回想在牛頓問題中，只要行星和太陽之間的力是球?qū)ΨQ的，軌道就會呆在一個(gè)平面內(nèi)，而軌道的閉合則是特定于平方反比律。對你來說，這不正意味著，“偶然”簡并和行星軌道閉合的這兩種現(xiàn)象是深刻相關(guān)，并需要某種精妙的數(shù)學(xué)作進(jìn)一步解釋？

升級為算符

有些讀者可能知道，當(dāng)物理學(xué)從經(jīng)典發(fā)展到量子時(shí)，許多物理量，例如坐標(biāo)和動量，都需要從一堆數(shù)字升級為算符（operators）以好描述。當(dāng)我們把兩個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，它們的順序當(dāng)然無關(guān)緊要。比如，2乘以3無疑等于3乘以2，即等于6。相反的是，在建立量子力學(xué)時(shí)，維爾納·海森堡（Werner Heisenberg）發(fā)現(xiàn)，量子力學(xué)中的算符乘積是高度依賴于順序。

試給量子力學(xué)中的兩個(gè)算符A和B，而AB和BA一般來說是不同的。它們的差別被稱為對易子（commutator），其定義為[A, B] = AB - BA。如果AB = BA，則A和B 稱之為對易（commute），其對易子[A, B]為零。

一個(gè)特別著名的例子是角動量矢量。在經(jīng)典物理中，的三個(gè)分量，即L_x、L_y、L_z，是三個(gè)數(shù)字，因而顯然對易。在量子物理中，它們是三個(gè)彼此不對易的算符：例如，L_xL_y不等于L_yL_x。相反，三個(gè)算符滿足一組古怪的對易關(guān)系（commutation relations）

換言之，的兩個(gè)不同分量的對易子等于第三個(gè)分量乘以虛數(shù)單位和一個(gè)基本常數(shù)，它被稱為普朗克常數(shù)（Planck’s constant），它衡量了這個(gè)世界有多大范疇是量子的。（如果 = 0，對易子也就為零，量子世界便回到了經(jīng)典世界。）

你會注意到，對易關(guān)系呈現(xiàn)出一種令人矚目的周期循環(huán)規(guī)律：籠統(tǒng)來講，我們可以說x和y給出z，y和z給出x，z和x給出y。這種循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)然會讓那些有數(shù)學(xué)頭腦的人興奮不已。

李代數(shù)和群

在歷史上，物理和數(shù)學(xué)已經(jīng)多次琴瑟合鳴。最引人注目的例子之一，便是19世紀(jì)晚期的數(shù)學(xué)家也研究過算符的對易子。用一組規(guī)則來限定一組算符的對易子，這就是所謂的“李代數(shù)”（Lie algebra）^[7]?；\統(tǒng)來說，我們認(rèn)為對易子建立了一個(gè)包含算符的代數(shù)結(jié)構(gòu)（algebraic structure）。一個(gè)李代數(shù)進(jìn)而生成一個(gè)連續(xù)群（continuous group），稱為李群（Lie group）^[8]。有一個(gè)對這歷史有諷刺意味的腳注是，當(dāng)群論建立時(shí)，一些數(shù)學(xué)家甚至聲稱，他們終于找到了物理學(xué)家根本用不上的東西。

但那只是在量子力學(xué)建立前，以及海森堡引入對易子時(shí)的情況。而現(xiàn)在的物理學(xué)家使用群論相當(dāng)頻繁！

特別的是，后來事實(shí)證明，L_x，L_y，L_z所滿足的李代數(shù)，在數(shù)學(xué)和物理中都有著根本的重要性。它對應(yīng)的李群描述了旋轉(zhuǎn)操作，這在物理學(xué)中隨處可見。

拉普拉斯矢量進(jìn)入量子力學(xué)

由于在經(jīng)典牛頓問題中的軌道閉合和拉普拉斯矢量的守恒有關(guān)，那在我們的故事中自然就出現(xiàn)一個(gè)巨大的疑問：從經(jīng)典世界轉(zhuǎn)換到量子世界中變成了什么？結(jié)果是，它在這個(gè)轉(zhuǎn)換中其本質(zhì)并沒有發(fā)生改變^[9]，而且在量子物理中繼續(xù)守恒。換言之，隨時(shí)間不變，就像角動量矢量一樣。

在量子力學(xué)中，同一樣，拉普拉斯矢量包含三個(gè)分量，即。因此，我們應(yīng)該把它們加到（1）式由L_x，L_y，L_z所滿足的李代數(shù)中去，然后尋求另外的對易關(guān)系。如前所述，既然描述了旋轉(zhuǎn)操作，你就不會驚訝于和之間的對易關(guān)系，是會告訴我們在旋轉(zhuǎn)下如何變化，也就是它和一個(gè)（普通）矢量并無二致。

但是自己的分量之間的對易關(guān)系就帶來一個(gè)驚喜。理論上講，對易子可以等于某個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，或者某個(gè)我們從未遇到過的東西。然后，我們將它添加到李代數(shù)中。下一步，我們必須計(jì)算這個(gè)東西和以及之間的對易關(guān)系，而這整個(gè)過程可能還會持續(xù)重復(fù)若干次。

而這個(gè)驚喜就是，對易子本質(zhì)上得到了我們現(xiàn)今的“老朋友”L_z。類似地，

和分別得到L_x和L_y。

這時(shí)，數(shù)學(xué)家會說，L_x，L_y，L_z和這6個(gè)元素的李代數(shù)是閉合（close）的。你不需要再往其中添加任何新的東西了。

概略來講，對易關(guān)系給定的李代數(shù)為:

[為了讓公式看起來簡單些，我在“~”符號中隱藏了許多重要的東西！之前的（1）式，即的對易關(guān)系，實(shí)際上是（2）中這三個(gè)公式中的第一個(gè)。]

剛才揭露的真相讓理論物理學(xué)家們再次感到驚訝。正如在上述的代數(shù)(1)式中描述了我們生于此亦逝于此，在普通三維空間中的旋轉(zhuǎn)。此外，還要感謝那些精妙的數(shù)學(xué)，在上面的代數(shù)(2)描述了我們?nèi)匀灰粺o所知的四維空間中的旋轉(zhuǎn)。關(guān)于這個(gè)部分，讀者必須要有群論的基礎(chǔ)，才能理解代數(shù)和這個(gè)意想不到的簡并間的關(guān)聯(lián)。

對我來說，這個(gè)故事，從牛頓、拉普拉斯，再到李，經(jīng)過薛定諤、海森堡和泡利，展現(xiàn)了理論物理和數(shù)學(xué)間，令人敬畏而神秘的力量。一顆行星基本上就是一塊巨大的巖石，但是它在圍繞太陽兜了一大圈之后，卻莫名其妙地“知道”要回到同一個(gè)位置──因?yàn)槔绽故噶俊懊睢彼绱?。在氫原子中，對于任何整?shù)n，n²個(gè)量子態(tài)全都有相同的能量。為什么有這個(gè)奇怪的簡并？因?yàn)樵诹孔恿W(xué)中，拉普拉斯矢量的3個(gè)分量，以恰到好處的方式相互不能對易！而拉普拉斯矢量，通過某些相當(dāng)抽象和微妙的數(shù)學(xué)，將太陽系和氫原子聯(lián)系在一起。

這篇文章還強(qiáng)調(diào)了做理論物理的不同方法。許多物理學(xué)家會說：“求解氫原子的薛定諤方程之后，我發(fā)現(xiàn)對于任意整數(shù)n，n²個(gè)量子態(tài)都有相同的能量，這多少都符合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。好的！結(jié)案了。”然而，包括泡利在內(nèi)的一小群物理學(xué)家卻不滿足于此，他們會堅(jiān)持繼續(xù)尋找一個(gè)更深刻的理解。理論物理的高超境界，遠(yuǎn)超乎只是將計(jì)算和觀測呼應(yīng)謀合——至少對我來說，物理學(xué)迷人的奧妙之一，即是如何將行星軌道的閉合變成了原子能級的簡并。

注釋：

[1] 即引力按照行星和恒星距離的平方衰減。

[2] 請參見《行星軌道閉合的奧秘》。

[3] 熟悉我之前文章（見注[2]）的讀者，可能回憶實(shí)際上叫做拉格朗日-龍格-楞次（Laplace-Runge-Lenz）矢量。為簡單起見，我將它稱為拉普拉斯矢量，尤其是因?yàn)辇埜窈屠愦问聦?shí)上并沒有太多貢獻(xiàn)。對物理學(xué)史家來說，有趣的是，楞次曾讓泡利當(dāng)過他的助理，還有伊辛（Ising）也當(dāng)過他的學(xué)生，他因一個(gè)用他名字命名的模型（伊辛模型）而聞名。

[4] 這是一個(gè)簡單的計(jì)數(shù)：對于每個(gè)n，l可以有n個(gè)值，對于每個(gè)l，m可以有(2l + 1)個(gè)值。另一個(gè)例子應(yīng)該能讓讀者更加信服。n取4。然后l = 0, 1, 2, 3。對于l = 3，m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3，共計(jì)7個(gè)態(tài)；對于l = 2，m = -2, -1, 0, 1, 2，共計(jì)5個(gè)態(tài)；對于l = 1, m = -1, 0, 1，共計(jì)3個(gè)態(tài)；對于l = 0，m = 0，共計(jì)1個(gè)態(tài)。因此我們一共有7 + 5 + 3 + 1 = 16 = 42個(gè)量子態(tài)。

[5] 這個(gè)聯(lián)系在數(shù)學(xué)上可以用群論來表示。簡并的能級提供了一個(gè)旋轉(zhuǎn)群的表示?？蓞⒁?“Group Theory in a Nutshell for Physicists”, A. Zee,  Princeton University Press。

[6] W. Pauli, Z. Phys. 36 (1926) 336. 據(jù)我們所知，泡利的文章在量子力學(xué)發(fā)明的僅僅幾個(gè)月之后就發(fā)表了。

[7] 此處的“代數(shù)”一詞，和“高中代數(shù)”中的“代數(shù)”的意義并不相同。給定三個(gè)抽象的符號A、B、C和一個(gè)算符[ , ]，這種“代數(shù)”會將兩個(gè)符號映射為單個(gè)符號，例如[A, B] = C，[B, C] = A以及[C, A] = B，數(shù)學(xué)家想知道他們能從中得出什么。這個(gè)代數(shù)，被稱為SU(2)，在量子物理中相當(dāng)重要。

[8] 細(xì)節(jié)請參見任何一本群論教科書，例如[5]中引用的我的教科書。

[9] 學(xué)過一些量子力學(xué)的讀者會知道，在的定義里，表達(dá)式應(yīng)該被修改為；沒有學(xué)過的讀者完全不必在意這一點(diǎn)。

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