人類最早探索到自旋的奧秘，與著名的“泡利不相容原理”有關(guān)。

在量子力學(xué)誕生的那一年，沃爾夫?qū)づ堇╓olfgang Pauli，1900年-1958年）也在奧地利的維也納呱呱墜地，二十多年后，他成為量子力學(xué)的先驅(qū)者之一，是一個(gè)頗富特色的理論物理學(xué)家。

泡利在物理學(xué)界以犀利和尖刻的評(píng)論而著稱，絲毫不給人留面子。有一次，泡利對(duì)一個(gè)剛做完報(bào)告的同行說：“我從來沒聽過這么糟糕的報(bào)告！”，馬上轉(zhuǎn)頭又對(duì)另一位同行說：“如果是你作這個(gè)報(bào)告，想必更糟糕！”泡利有一句廣為流傳的評(píng)論名言：“這不是對(duì)的，甚至也談不上是錯(cuò)的！”據(jù)說泡利自己講過他學(xué)生時(shí)代的一個(gè)故事，有一次在柏林大學(xué)聽愛因斯坦講相對(duì)論的報(bào)告，報(bào)告完畢，幾個(gè)資深教授都暫時(shí)沉默不言，似乎正在互相猜測(cè)：誰應(yīng)該提出第一個(gè)問題呢？突然，只見一個(gè)年輕學(xué)子站了起來說：“我覺得，愛因斯坦教授今天所講的東西還不算太愚蠢！”原來這愣頭愣腦地小伙子就是泡利^【1】。

波爾將他譽(yù)為“物理學(xué)的良知”，同行們以“可怕的泡利”、“上帝的鞭子”、“泡利效應(yīng)”等昵稱和調(diào)侃來表明對(duì)他的敬畏之心。這些“頭銜”，加上以上的幾個(gè)例子，容易給人造成一個(gè)錯(cuò)覺，以為泡利是個(gè)傲慢自負(fù)、目中無人的家伙。但事實(shí)上并不如此，當(dāng)時(shí)的物理學(xué)界十分重視泡利對(duì)每一個(gè)新成果、新思想的尖銳評(píng)價(jià)，并且，泡利對(duì)自己也一樣挑剔。泡利的學(xué)生們也能感覺出泡利的親切和平易近人，特別是：他們?cè)谂堇媲翱梢詥柸魏螁栴}，不必?fù)?dān)心顯得愚蠢，因?yàn)閷?duì)泡利而言所有的問題都是愚蠢的。

的確，泡利在年輕時(shí)就表現(xiàn)出過人的聰明，高中畢業(yè)時(shí)發(fā)表了他的第一篇科學(xué)論文，20歲時(shí)寫了一篇200多頁(yè)紙的有關(guān)相對(duì)論的文章，得到愛因斯坦的高度贊揚(yáng)和好評(píng)。當(dāng)年的物理學(xué)家波恩甚至認(rèn)為，泡利將成為比愛因斯坦更偉大的科學(xué)家。

不過，聰明過頭的人往往不快樂。年輕的泡利在經(jīng)受了母親自殺和離婚事件的打擊后，患上了嚴(yán)重的神經(jīng)衰弱癥，因而不得不求助于當(dāng)時(shí)也在蘇黎世并且住得離他不遠(yuǎn)的心理醫(yī)生卡爾·榮格。榮格是弗洛伊德的學(xué)生，著名心理學(xué)家，分析心理學(xué)創(chuàng)始人。從那時(shí)候開始，榮格記錄和研究了泡利的400多個(gè)“原型夢(mèng)”，這些夢(mèng)境伴隨著泡利的物理研究夢(mèng)，榮格二十多年如一日，一直繼續(xù)到泡利逝世為止。泡利也和榮格討論心理學(xué)、物理學(xué)、和宗教等。后人將泡利與榮格有關(guān)這些夢(mèng)境的書信來往整理成書，這些內(nèi)容為探索科學(xué)家的內(nèi)部心理狀況與科學(xué)研究之間的關(guān)聯(lián)留下了寶貴的原始資料。比如說，偉人愛因斯坦、虛數(shù)i、與精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)有關(guān)的137……都曾經(jīng)來到過泡利的夢(mèng)里。或許，在泡利不短不長(zhǎng)的生命中，清醒和夢(mèng)境，科學(xué)和宗教，總是經(jīng)常融合糾纏在一起。

1922年到1923年，泡利應(yīng)波爾之邀到哥本哈根波爾研究所工作一年，研究的課題是反常塞曼效應(yīng)。人們經(jīng)常看見他漫無目標(biāo)地游走在哥本哈根美麗的大街小巷上，似乎顯得很不開心悶悶不樂的樣子。泡利自己后來在一篇回憶文章中描述過當(dāng)時(shí)的心情，大意是說，當(dāng)你被反常塞曼效應(yīng)這種難題糾纏的時(shí)候，你能開心得起來嗎？

圖10-1：泡利、榮格、及費(fèi)米子的不相容原理

塞曼效應(yīng)指的是原子的光譜線在磁場(chǎng)的作用下發(fā)生分裂的現(xiàn)象。當(dāng)原子中的電子從激發(fā)態(tài)返回到基態(tài)時(shí)，便釋放能量，發(fā)出一定波長(zhǎng)的光譜。反過程則形成吸收光譜。根據(jù)波爾的半經(jīng)典原子模型，電子在原子中只能按照一定的能量量子化了的軌道運(yùn)動(dòng)，使得光譜成為一條一條的分離譜線，對(duì)應(yīng)于不同的能級(jí)。如果原子位于外磁場(chǎng)中，電子運(yùn)動(dòng)受到磁場(chǎng)影響而產(chǎn)生更多的能級(jí)，表現(xiàn)為譜線產(chǎn)生分裂。正常塞曼效應(yīng)中，一條譜線在磁場(chǎng)作用下分裂成雙重線或三重線，而反常塞曼效應(yīng)的譜線分裂數(shù)多于3，有時(shí)4條、5條、6條、9條，各種數(shù)值都有，似乎復(fù)雜而無規(guī)則。當(dāng)時(shí)，塞曼發(fā)現(xiàn)了譜線分裂的正常效應(yīng)，洛倫茲則用電子軌道角動(dòng)量與磁場(chǎng)作用的概念解釋了這種效應(yīng)，因而兩人分享了1902年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。塞曼在他的諾獎(jiǎng)演講中提到了當(dāng)時(shí)尚不知如何解釋的反常塞曼效應(yīng)，宣稱他和洛倫茲遭到了“意外襲擊”。那時(shí)候的泡利還是個(gè)2歲的娃娃，沒想到過了20年后，這個(gè)反常塞曼效應(yīng)的難題仍然困惑著物理學(xué)家，并且還“襲擊”到了泡利的腦海中和夢(mèng)境里。

泡利在一堆年輕的量子革命家中，偏向左派，算是更徹底的革命者，他不相信經(jīng)典的原子實(shí)模型，最后斷定反常塞曼效應(yīng)的譜線分裂只與原子最外層的價(jià)電子有關(guān)。從原子譜線分裂的規(guī)律，應(yīng)該可以找出原子中電子的運(yùn)動(dòng)方式。1922年的施特恩-格拉赫實(shí)驗(yàn)，也有力地證明了額外角量子數(shù)的存在。仿造前人，泡利引入了4個(gè)量子數(shù)來描述電子的行為。它們分別是：主量子數(shù)n、角量子數(shù)l、總角量子數(shù)j、總磁量子數(shù)m_j。這些量子數(shù)的取值互相有關(guān)，比如說，角量子數(shù)給定為l時(shí)，總角量子數(shù)j可以等于l加（減）1/2。在磁場(chǎng)中，這些量子數(shù)的不同取值使得電子的狀態(tài)得到不同的附加能量，因而使得原來磁場(chǎng)為0時(shí)的譜線分裂成多條譜線。

泡利在1925年提出不相容原理^【2】，于1945年，由愛因斯坦提名而因?yàn)榇隧?xiàng)成就獲得諾貝爾物理獎(jiǎng)。泡利不相容原理大概表述如下：

電子在原子中的狀態(tài)由四個(gè)量子數(shù)(n、l、j、m_j)決定。在外磁場(chǎng)里，處于不同量子態(tài)的電子具有不同的能量。如果有一個(gè)電子的四個(gè)量子已經(jīng)有明確的數(shù)值，則意味著這四個(gè)量子數(shù)所決定的狀態(tài)已被占有，一個(gè)原子中，不可能有兩個(gè)或多個(gè)電子處于同樣的狀態(tài)。

實(shí)際上，在泡利之前，當(dāng)物理學(xué)家們使用不同的量子數(shù)來排列原子中電子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)候，就多少已經(jīng)暗含了電子的狀態(tài)互不相容的假設(shè)。但是這個(gè)費(fèi)米子“互不相容、必須獨(dú)居”的原理，直到1925年才被泡利正式在論文中提出來，這大概便與泡利的“左派”思維方式有關(guān)了。不相容原理并不是什么大不了的理論，實(shí)在來說只是一個(gè)總結(jié)實(shí)驗(yàn)資料得出的假說，但它卻是從經(jīng)典走向量子道路上頗具革命性的一步，因?yàn)樵诮?jīng)典力學(xué)中，并沒有這種奇怪的費(fèi)米子行為。

自旋也是這樣一種沒有經(jīng)典對(duì)應(yīng)物的革命性概念，但奇怪的是，泡利革命性地提出了不相容原理，卻也因?yàn)檫^于革命而阻擋了別的同行提出“自旋”。

從泡利引入的四個(gè)量子數(shù)的取值規(guī)律來看，自旋的概念已經(jīng)到了呼之欲出的地步，因?yàn)閺乃膫€(gè)量子數(shù)得到的譜線數(shù)目正好是原來理論預(yù)測(cè)數(shù)的兩倍。這兩倍從何而來？或者說，應(yīng)該如何來解釋剛才我們說過的“總角量子數(shù)j等于l加（減）1/2”的問題？這個(gè)額外1/2的角量子數(shù)是什么？

克羅尼格（Rolph. L. Kronig，1904-1995）生于德國(guó)，后來到美國(guó)紐約哥倫比亞大學(xué)讀博士。他當(dāng)時(shí)對(duì)泡利的研究課題產(chǎn)生了興趣。具體來說，克羅尼格對(duì)我們?cè)谏弦欢翁岢龅膯栴}試圖給出答案?？肆_尼格想，波爾的原子模型類似于太陽(yáng)系的行星：行星除了公轉(zhuǎn)之外還有自轉(zhuǎn)。如果原子模型中的角量子數(shù)l描述的是電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的軌道角動(dòng)量的話，那個(gè)額外加在角量子數(shù)上的1/2是否就描述了電子的“自轉(zhuǎn)”呢？

克羅尼格迫不及待地將他的電子自旋的想法告訴泡利，卻得到了泡利的嚴(yán)厲批評(píng)，泡利認(rèn)為提出電子會(huì)“自轉(zhuǎn)”的假設(shè)是毫無根據(jù)的，服從量子規(guī)律的原子運(yùn)動(dòng)與經(jīng)典行星的運(yùn)動(dòng)完全是兩碼事，如果電子也自轉(zhuǎn)的話，電子的表面速度便會(huì)超過光速數(shù)十倍而違背相對(duì)論。

克羅尼格受到泡利如此強(qiáng)烈的反對(duì)，就放棄了自己的想法，也未寫成論文發(fā)表?？墒?，僅僅半年之后，另外兩個(gè)年輕物理學(xué)家烏倫貝克（GeorgeE. Uhlenbeck, 1900—1988）和高斯密特（Samuel.A. Goudsmit, 1902—1978）提出了同樣的想法，并在導(dǎo)師埃倫費(fèi)斯特支持下發(fā)表了文章。同時(shí)，Thomas進(jìn)動(dòng)從自旋的相對(duì)論效應(yīng)解釋了1/2的因子差異，因而他們的文章得到了波爾和愛因斯坦等人的好評(píng)。這令克羅尼格因失去了首先發(fā)現(xiàn)自旋的機(jī)會(huì)而頗感失望。不過，克羅尼格認(rèn)識(shí)到泡利只是因?yàn)榻邮懿涣穗娮幼赞D(zhuǎn)的經(jīng)典圖像而批評(píng)他，并非故意刁難，因此后來一直和泡利維持良好的關(guān)系。心胸寬大的克羅尼格活到91歲的高齡，于1995年去世。

泡利雖然反對(duì)將自旋理解為“自轉(zhuǎn)”，但卻一直都在努力思考自旋的數(shù)學(xué)模型。他開創(chuàng)性地使用了三個(gè)不對(duì)易的泡利矩陣作為自旋算子的群表述，并且引入了一個(gè)二元旋量波函數(shù)來表示電子兩種不同的自旋態(tài)。

三個(gè)泡利矩陣是SU(2)群的生成元，再加上二階單位矩陣組成一組完全基，可以展開任何2×2復(fù)數(shù)矩陣。但泡利的二元自旋模型是非相對(duì)論的，并且是將自旋額外地附加到薛定諤方程上。在我們上一節(jié)中介紹的相對(duì)論性量子力學(xué)的狄拉克方程中（特別是如果寫成洛倫茨協(xié)變形式的話），自旋以及正負(fù)電子的概念，都作為電子波函數(shù)四元旋量的分量，被自然地包含在方程中，充分體現(xiàn)了狄拉克所崇尚的數(shù)學(xué)美。

自旋是量子力學(xué)中的一種可觀測(cè)物理效應(yīng)，物理學(xué)家們對(duì)它的數(shù)學(xué)模型和物理效應(yīng)都可以說了解得頗為詳細(xì)，但是如果要深究自旋的本質(zhì)到底是什么？這個(gè)問題卻難以回答，目前的結(jié)論只能說：自旋是基本粒子的一種類似角動(dòng)量的內(nèi)稟量子屬性，它與粒子的時(shí)空運(yùn)動(dòng)無關(guān)，沒有經(jīng)典物理量與它對(duì)應(yīng)。也許你會(huì)說，物理學(xué)家在解釋不了某個(gè)概念的時(shí)候，就用“內(nèi)稟”這個(gè)詞來忽悠人。但科學(xué)研究的過程就是如此，任何時(shí)候的理論都只能解釋有限多的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，解答有限多的問題，而“為什么？”和“是什么？”卻可以無限地追問下去?；玖Ｗ拥膬?nèi)稟屬性除了自旋之外，還有質(zhì)量、電荷等等，但這些物理量在經(jīng)典力學(xué)中也有意義，因而更容易被人理解，只是自旋并不如此，它沒有經(jīng)典對(duì)應(yīng)物。

不過，自旋的確有它的神秘之處，無論從物理意義、數(shù)學(xué)模型、實(shí)際應(yīng)用上而言，都還有許多的謎底等待我們?nèi)パ芯俊⑷ソ掖?。剛才說過，物理意義上可探究的問題多多：這個(gè)內(nèi)稟角動(dòng)量到底是個(gè)什么意思？自旋究竟是怎么形成的？為什么費(fèi)米子會(huì)遵循泡利不相容原理？為什么自旋是整數(shù)還是半整數(shù)，決定了微觀粒子的統(tǒng)計(jì)行為？

與自旋相關(guān)的數(shù)學(xué)概念也很有趣。我們?cè)?jīng)介紹過的群論是其一。此外，自旋也與哈密頓發(fā)明的的四元數(shù)(w,i,j,k)有關(guān)。數(shù)學(xué)家的腦袋里總是盤旋著一些古怪的東西，哈密頓就是如此一位學(xué)者，哈密頓（William Hamilton，1805年-1865年）是愛爾蘭人，在都柏林度過了他平靜而偉大的數(shù)學(xué)人生。夫妻二人經(jīng)常沿著都柏林的皇家運(yùn)河悠哉悠哉地散步，夫人看風(fēng)景，哈密頓則琢磨數(shù)學(xué)問題。有一個(gè)哈密頓思考多年的問題就是在1843年散步時(shí)突然開竅的，他立即將它刻在了金雀花橋的一塊石頭上：

I² = j² = k² = ijk = -1

這便是哈密頓所發(fā)明的四元數(shù)的基本運(yùn)算公式之一。讀者也能看出，這3個(gè)i,j,k的性質(zhì)，像是原來的虛數(shù)i，卻又不是那個(gè)原來的虛數(shù)i：它們的平方都是-1，這點(diǎn)像是虛數(shù)i。但是，如果將它們看著i，那后面一條等式不會(huì)成立，這又是什么意思呢？哈密頓將這“虛而不虛”的三個(gè)東西，再加上另外一個(gè)實(shí)數(shù)w，結(jié)合在一起稱之為“四元數(shù)”。原來，哈密頓的目的是要將復(fù)數(shù)的概念擴(kuò)展到更高的維數(shù)，但思考多年都未得其果，散步時(shí)靈光閃現(xiàn)才發(fā)現(xiàn)他的這種四元數(shù)代數(shù)必須以犧牲原來的實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)中乘法的交換律為代價(jià)，那其實(shí)也就是上面最后一個(gè)公式所表達(dá)的意思。根據(jù)哈密頓4元數(shù)的定義，進(jìn)行一點(diǎn)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算便能發(fā)現(xiàn)：i,j,k的乘法是互不對(duì)易的。換言之，四元數(shù)運(yùn)算是復(fù)數(shù)運(yùn)算的不可交換延伸。

之前曾經(jīng)說到，泡利將自旋粒子的波函數(shù)用旋量描述。旋量也是個(gè)奇怪的東西，在三維歐氏空間中，標(biāo)量是0階張量，矢量是1階張量，矩陣是2階張量，泡利2維旋量的位置在哪兒呢？旋量好像是一個(gè)標(biāo)量和矢量之間“半路殺出來的程咬金”。在一定的意義上，它可以被當(dāng)作是矢量的平方根?？雌饋恚捌椒礁边\(yùn)算產(chǎn)生了不少新玩意兒，狄拉克方程也是由算符開平方而得到的，其中又引進(jìn)了4維的狄拉克旋量。有關(guān)旋量的更多數(shù)學(xué)概念請(qǐng)見wiki^【3】。

旋轉(zhuǎn)群、四元數(shù)、旋量，這些與自旋相關(guān)的數(shù)學(xué)，又都與Clifford代數(shù)有關(guān)^【4】。

奇怪的是，像自旋這么一個(gè)抽象的內(nèi)稟物理概念在實(shí)際應(yīng)用上也神通廣大，它解釋了元素周期律的形成，光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)，光子的偏振性，量子信息的糾纏等等?，F(xiàn)在又有了一個(gè)方興未艾的自旋電子學(xué)，要用它來解釋物質(zhì)的磁性，研發(fā)新型電子器件，也許將在工程界發(fā)揮大用途^【5】。

下面是簡(jiǎn)單說明，旋量可以看作3維矢量的平方根：