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定義1 對(duì)于函數(shù) 定義域中的一點(diǎn)x0，若存在一個(gè)只與x0有關(guān)，而與Δx無關(guān)的數(shù)g(x0)，使得當(dāng) 恒成立，則稱f(x)在x0處微分存在，或f(x)在x0處可微。在某一區(qū)間上的每一點(diǎn)都可微，則稱f(x)在該區(qū)間上可微。 由定義可知，若f(x)在x處可微，那么當(dāng)又可以看作是Δx的線性函數(shù)，因此這一項(xiàng)也被稱為Δy的線性主要部分，當(dāng)|Δx|充分小時(shí)，若用代替Δy，產(chǎn)生的偏差將會(huì)很小。因此又將線性主要部分稱為f在點(diǎn)x0處的微分，記作當(dāng)不需要強(qiáng)調(diào)x0時(shí)，也簡(jiǎn)記為因此自變量的微分就等于自變量的增量，從而因變量(函數(shù))的微分也記為 值得注意的是，微分是函數(shù)增量用自變量的增量表示時(shí)的線性(主要)部分，而不能理解為很小的量。存在，則稱f(x)在x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限值為f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，記為在某一區(qū)間上的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱f(x)在該區(qū)間上可導(dǎo)。根據(jù)上述定義可以得到以下關(guān)系式因此，導(dǎo)數(shù)也可以看成因變量的微分與自變量的微分之比，所以導(dǎo)數(shù)也稱為"微商"。上述兩式給出了導(dǎo)數(shù)與微分之間的聯(lián)系，也可以據(jù)此得到以下定理：函數(shù)在x處可微的充分必要條件是它在的x處可導(dǎo)。 上述定理表明一元函數(shù)的可導(dǎo)性與可微性是等價(jià)的。此外，容易證明函數(shù)在某一點(diǎn)處可導(dǎo)(可微)，則必然在該點(diǎn)連續(xù)。 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可以得知，函數(shù)在某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義為函數(shù)在直角坐標(biāo)系中刻畫的曲線在點(diǎn)處切線的斜率。對(duì)導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)可以得到二階導(dǎo)數(shù)，繼續(xù)逐次求導(dǎo)則可以得到更高階的導(dǎo)數(shù)。
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