目錄

一、函數(shù)與極限································································································2

1、集合的概念····························································································22、常量與變量····························································································32、函數(shù)·····································································································43、函數(shù)的簡單性態(tài)······················································································44、反函數(shù)··································································································55、復(fù)合函數(shù)·······························································································66、初等函數(shù)·······························································································67、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)·············································································78、數(shù)列的極限····························································································89、函數(shù)的極限····························································································910、函數(shù)極限的運算規(guī)則·············································································11

一、函數(shù)與極限1、集合的概念

一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因為它的元素不是確定的。

我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就說a屬于A，記作：a∈A，否則就說a不屬于A，記作：a?A。

⑴、全體非負整數(shù)組成的集合叫做非負整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。⑸、全體實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集。記作R。集合的表示方法

⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“｛｝”括起來表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。集合間的基本關(guān)系

⑴、子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作A

B（或B?A）。。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個元素屬于B但不屬于A，我們稱集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作①、任何一個集合是它本身的子集。即A

，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：

A

②、對于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本運算

⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作A∪B。（在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）

即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。

⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作A∩B。

即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。⑶、補集：

①全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。通常記作U。

②補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集。簡稱為集合A的補集，記作CUA。

即CUA＝｛x|x∈U，且x集合中元素的個數(shù)

A｝。

⑴、有限集：我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。⑵、用card來表示有限集中元素的個數(shù)。例如A＝｛a,b,c｝，則card(A)=3。⑶、一般地，對任意兩個集合A、B，有card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)我的問題：

1、學(xué)校里開運動會，設(shè)A＝｛x|x是參加一百米跑的同學(xué)｝，B＝｛x|x是參加二百米跑的同學(xué)｝，C＝｛x|x是參加四百米跑的同學(xué)｝。學(xué)校規(guī)定，每個參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項，請你用集合的運算說明這項規(guī)定，并解釋以下集合運算的含義。⑴、A∪B；⑵、A∩B。

2、在平面直角坐標系中，集合C＝{(x,y)|y=x}表示直線y＝x，從這個角度看，集合D={(x,y)|方程組：2x-y=1,x+4y=5}表示什么？集合C、D之間有什么關(guān)系？請分別用集合語言和幾何語言說明這種關(guān)系。

3、已知集合A={x|1≤x≤3}，B＝{x|(x-1)(x-a)=0}。試判斷B是不是A的子集？是否存在實數(shù)a使A＝B成立？

4、對于有限集合A、B、C，能不能找出這三個集合中元素個數(shù)與交集、并集元素個數(shù)之間的關(guān)系呢？5、無限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能設(shè)計一種比較這兩個集合中元素個數(shù)多少的方法嗎？

2、常量與變量

⑴、變量的定義：我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。

⑵、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是

指介于某兩點之間的線段上點的全體。

區(qū)間的名稱閉區(qū)間

區(qū)間的滿足的不等式

a≤x≤b

區(qū)間的記號[a，b]

區(qū)間在數(shù)軸上的表示

開區(qū)間a＜x＜b（a，b）

半開區(qū)間a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）

以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：[a，+∞)：表示不小于a的實數(shù)的全體，也可記為：a≤x＜+∞；(-∞，b)：表示小于b的實數(shù)的全體，也可記為：-∞＜x＜b；(-∞，+∞)：表示全體實數(shù)，也可記為：-∞＜x＜+∞

注：其中-∞和+∞，分別讀作

⑶、鄰域：設(shè)α與δ是兩個實數(shù)，且δ＞0.滿足不等式│x-α│＜δ的實數(shù)x的全體稱為點α的δ鄰

域，點α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。

2、函數(shù)

⑴、函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y按照一定的法則f總有確定的數(shù)值與它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號y=f(x)、y=F(x)等等來表示。這里的字母

⑵、函數(shù)相等

由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個函數(shù)相等。

⑶、域函數(shù)的表示方法

a)：解析法：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：直角坐標系中，半徑為r、圓心在原點的圓的方程是：x+y=r

2

2

2

b)：表格法：將一系列的自變量值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例：在實際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。

c)：圖示法：用坐標平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標表示自變量，縱坐標表示因變量。例：直角坐標系中，半徑為

r、圓心在原點的圓用圖示法表示為：

3、函數(shù)的簡單性態(tài)

⑴、函數(shù)的有界性：如果對屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。

注：一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：函數(shù)cosx在(-∞,+∞)內(nèi)是有界的.⑵、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1，則稱函數(shù)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。

如果函數(shù)

，

及x2，當(dāng)x1＜x2時，有

在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1及x2，當(dāng)x1＜x2時，有則稱函數(shù)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。

=x在區(qū)間(-∞,0)上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增加的。

2

例題：函數(shù)

⑶、函數(shù)的奇偶性

如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足

=-，則

=，則叫做偶函數(shù)；

如果函數(shù)

對于定義域內(nèi)的任意x都滿足叫做奇函數(shù)。

注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。⑷、函數(shù)的周期性對于函數(shù)成立，則

，若存在一個不為零的數(shù)l，使得關(guān)系式叫做周期函數(shù)，l是

的周期。

對于定義域內(nèi)任何x值都

注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題：函數(shù)4、反函數(shù)

⑴、反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)

，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時，變量x在函數(shù)的

是以2π為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tgx是以π為周期的周期函數(shù)。

定義域內(nèi)必有一值x0與之對應(yīng)，即示，稱為函數(shù)

的反函數(shù).

，那末變量x是變量y的函數(shù).這個函數(shù)用來表

注：由此定義可知，函數(shù)⑵、反函數(shù)的存在定理：若上確定，且嚴格增(減).

注：嚴格增(減)即是單調(diào)增(減)

也是函數(shù)的反函數(shù)。

在(a，b)上嚴格增(減)，其值域為R，則它的反函數(shù)必然在R

例題：y=x，其定義域為(-∞,+∞)，值域為[0,+∞).對于y取定的非負值,可求得x=±

2

.若我們不

加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(-∞,+∞)上，函數(shù)不是嚴格增(減)，故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x≥0，則對y≥0、x=在此要求下嚴格增(減).

⑶、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標平面內(nèi)，

與

的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的。

就是y=x在要求x≥0時的反函數(shù)。即是：函數(shù)

2

例題：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標系中是關(guān)于直線

y=x對稱的。如右圖所示：

5、復(fù)合函數(shù)

復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：值的全部或部分在

及

，而u又是x的函數(shù)：

，且

的函數(shù)

的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)

復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作

，其中u叫做中間變量。

注：并不是任意兩個函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題：函數(shù)因為對于

與函數(shù)

是不能復(fù)合成一個函數(shù)的。

的定義域(-∞,+∞)中的任何x值所對應(yīng)的u值（都大于或等于2），使

都沒有定義。

6、初等函數(shù)

⑴、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三

角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下：函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點

b):當(dāng)a＞1時,在區(qū)間(0,1)的值為負；在區(qū)間(-,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.

a):不論x為何值,y總為正數(shù);b):當(dāng)x=0時,y=1.

函數(shù)的記號

函數(shù)的圖形

函數(shù)的性質(zhì)

對數(shù)函數(shù)

令a=m/n

冪函數(shù)

這里只畫出部分函數(shù)圖形的一

部分。

三角函數(shù)

(正弦函數(shù))

這里只寫出了正弦函數(shù)

a為任意實數(shù)

a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時,y是偶函

數(shù);

b):

當(dāng)m,n都是奇數(shù)時,y是奇函數(shù);c):當(dāng)

m

奇n偶時,y在(-∞,0)無意

義.

a):正弦函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)

b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且

反三角數(shù)

⑵、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).

例題：

7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)

⑴、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述)函數(shù)的名稱

函數(shù)的表達式

函數(shù)的圖形

函數(shù)的性質(zhì)

是初等函數(shù)。

(反正弦函數(shù))

函這里只寫出了反正弦函數(shù)

a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在[-π/2,π/2]上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值.

雙曲正弦

a)：其定義域為:(-∞,+∞)；b)：是奇函數(shù)；c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增

雙曲余弦

a)：其定義域為:(-∞,+∞)；b)：是偶函數(shù)；c)：其圖像過點(0,1)；

a)：其定義域為:(-∞,+∞)；

雙曲正切

b)：是奇函數(shù)；

c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1

之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；

我們再來看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別：

雙曲函數(shù)的性質(zhì)

三角函數(shù)的性質(zhì)

shx與thx

是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx

是偶函數(shù)

它們都不是周期函數(shù)

雙曲函數(shù)也有和差公式：

都是周期函數(shù)

⑵、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).a)：反雙曲正弦函數(shù)b)：反雙曲余弦函數(shù)

其定義域為：(-∞,+∞)；其定義域為：[1,+∞)；

c)：反雙曲正切函數(shù)8、數(shù)列的極限

我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。

其定義域為：(-1,+1)；

⑴、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個數(shù)a1，第二個數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個正整數(shù)n對應(yīng)著一個確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，…，an，…為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項。第n項an叫做數(shù)列的一般項或通項.

注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=⑵、極限：極限的概念是求實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。

，它的定義域是全體正整數(shù)

例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。

設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；依次循下去(一般把內(nèi)接正6×2邊形的面積記為An)可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A1，A2，A3，…，An，…，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，An也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列A1，A2，A3，…，An，…當(dāng)n→∞(讀作n趨近于無窮大)的極限。

注：上面這個例子就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元三世紀)的割圓術(shù)。⑶、數(shù)列的極限：一般地，對于數(shù)列

來說，若存在任意給定的正數(shù)ε(不論其多么

n-1

小)，總存在正整數(shù)N，使得對于n＞N時的一切的極限，或者稱數(shù)列

收斂于a.

不等式都成立，那末就稱常數(shù)a

是數(shù)列

記作：或

才能表達出

與a無限接近的意思。且定

注：此定義中的正數(shù)ε只有任意給定，不等式

義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)ε是有關(guān)的，它是隨著ε的給定而選定的。

⑷、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列

極限為a的一個幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列

在數(shù)軸上用它

們的對應(yīng)點表示出來，再在數(shù)軸上作點a

的ε鄰域即開區(qū)間(a-ε，a+ε)，如下圖所示：

因不等式與不等式等價，故當(dāng)n＞N時，所有的點都落在開區(qū)

間(a-ε，a+ε)內(nèi)，而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外。

注：至于如何求數(shù)列的極限，我們在以后會學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。⑸、數(shù)列的有界性：

對于數(shù)列列

，若存在著正數(shù)

M，使得一切

是無界的。

都滿足不等式│

│≤M，則稱數(shù)

是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列定理：若數(shù)列

收斂，那末數(shù)列

一定有界。

1，

注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列-1，1，-1，…，(-1)，…

9、函數(shù)的極限

n+1

是有界的，但它是發(fā)散的。

前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取1→∞內(nèi)的正整數(shù)，

若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.

函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點x0，如果在這時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢?

下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念!⑴、函數(shù)的極限(分兩種情況)a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)

，若對于任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對于適

合不等式的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值

都滿足不等式

那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)x→∞時的極限

，記作：

b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限。我們先來看一個例子.

例：函數(shù)，當(dāng)x→1時函數(shù)值的變化趨勢如何？函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對實數(shù)

來講，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個點，為此我們把x→1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出,如下圖:

從中我們可以看出x→1

時，→2.而且只要x與1

有多接近，就與2有多接近.或說：只

要數(shù)

與2只差一個微量ε，就一定可以找到一個δ，當(dāng)＜δ時滿足＜δ定義：設(shè)函

在某點x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對任意給定的ε(不論其多么小)，總存在

正數(shù)δ，當(dāng)0＜＜δ時，＜ε則稱函數(shù)當(dāng)x→x0時存在極限，且極限為

A，記：

。

注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因為我們只討論x→x0的過程，與x=x0出的情況無關(guān)。此定義的核心問題是：對給出的ε，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。

有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為A，其證明方法是怎樣的呢？

a):先任取ε＞0；b):寫出不等式

＜ε；

＜δ，若能；

＜δ時，

＜ε

成立，因此

c):解不等式能否得出去心鄰域0＜

d):則對于任給的ε＞0，總能找出δ，當(dāng)

0＜

10、函數(shù)極限的運算規(guī)則

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運算規(guī)則與數(shù)列極限的運算規(guī)則相似。

⑴、函數(shù)極限的運算規(guī)則若已知x→x0(或x→∞)時，

.

則：

推論：

在求函數(shù)的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復(fù)雜的函數(shù)化為若干個簡單的函數(shù)來求極限。

例題：

求

解答：

例題：

求

此題如果像上題那樣求解，則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。

解答：

注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。

函數(shù)極限的存在準則

學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。我們先來看一個例子：

例：符號函數(shù)為

對于這個分段函數(shù),x從左趨于0和從右趨于0時函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。

定義：如果x僅從左側(cè)(x＜x0)趨近x0時，函數(shù)

與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)

當(dāng)

時的左極限

.記：

如果x僅從右側(cè)(x＞x0)趨近x0時，函數(shù)

與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)

當(dāng)

時

的右極限

.記：

注：只有當(dāng)x→x0時，函數(shù)函數(shù)極限的存在準則

的左、右極限存在且相等，方稱

在x→x0時有極限

準則一：對于點x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點本身可以除外(或絕對值大于某一正數(shù)的一切x)有≤那末

≤

，且存在，且等于A

，

注：此準則也就是夾逼準則.準則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個重要的極限

一：

注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=2.718281828459045

...

二：

注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明.

注：我們要牢記這兩個重要極限，在今后的解題中會經(jīng)常用到它們.

例題：

求

解答：令，則x=-2t，因為x→∞，故t→∞，

則

注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時，若用t代換1/x，則t→0.無窮大量和無窮小量無窮大量

我們先來看一個例子：

已知函數(shù)，當(dāng)x→0

時，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為

此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當(dāng)

時，

，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大

成立，則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大量。

記為：（表示為無窮大量，實際它是沒有極限的）

無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)

y=

，當(dāng)x充分大時有定義，

同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時，

對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)時，成立，則稱函

數(shù)當(dāng)x→∞時是無窮大量，記為：

無窮小量

以零為極限的變量稱為無窮小量。定義：設(shè)有函數(shù)

，對于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M)，使得對于

適合不等式

當(dāng)

(或)的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)

(或x→∞)時為無窮小量.

記作：(或)

注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.

關(guān)于無窮小量的兩個定理定理一：如果函數(shù)

在

(或x→∞)時有極限A，則差

是當(dāng)

(或

x→∞)時的無窮小量，反之亦成立。

定理二：無窮小量的有利運算定理

a)：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；b)：有限個無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.

無窮小量的比較

通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小.那么兩個無窮小量的商會是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學(xué)的兩個無窮小量的比較。

定義：設(shè)α，β都是

時的無窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，

a)：如果b)：如果

，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮??；

，則稱α和β是同階無窮小；

c)：如果，則稱α和β是等價無窮小，記作：α∽β(α與β等價)

例：因為，所以當(dāng)x→0時，x與3x是同階無窮小；

2

因為因為

，所以當(dāng)x→0時，x是3x的高階無窮小；，所以當(dāng)x→0時，sinx與x是等價無窮小。

等價無窮小的性質(zhì)

設(shè)，且

存在，則.

注：這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。

例題：

1.求

解答：當(dāng)x→0時，sinax∽ax，tanbx∽bx

，故：

例題：2.求

解答：

注：

注：從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子。函數(shù)的一重要性質(zhì)——連續(xù)性

在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性

在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個概念——增量

設(shè)變量x從它的一個初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：△x即：

△x=x2-x1增量△x可正可負.

我們再來看一個例子：函數(shù)

在點x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x

時，函數(shù)y相應(yīng)地從變到，其對應(yīng)的增量為：

這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖：

現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)△x趨向于零時，函數(shù)y對應(yīng)的增量△y也趨向于零，即：

，那末就稱函數(shù)

函數(shù)連續(xù)性的定義：

設(shè)函數(shù)

在點x0

的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有

的連續(xù)點.

在區(qū)間(a,b]

稱函數(shù)

在點

在點x0處連續(xù)。

x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的

下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)

內(nèi)有定義，如果左極限在點b左連續(xù)

.設(shè)函數(shù)

=

存在且等于，即：=，

那末我們就稱函數(shù)存在且等于

，即：

在區(qū)間[a,b)內(nèi)有定義，如果右極限

在點a右連續(xù).

，那末我們就稱函數(shù)

一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。

注：一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。

通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個問題：函數(shù)的間斷點

函數(shù)的間斷點

定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點稱之為間斷點.

它包括三種情形：

a)：

在x0無定義；

b)：在x→x0時無極限；

c)：

下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點的類型：

在x→x0時有極限但不等于；

例1：正切函數(shù)在處沒有定義，所以點是函數(shù)的間斷點，因

，我們就稱為函數(shù)的無窮間斷點；

例2：函數(shù)在點x=0處沒有定義；故當(dāng)x→0時，函數(shù)值在-1與+1之間變動無限多次，我

們就稱點x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點；

例3：函數(shù)當(dāng)x→0時，左極限，右極限，從

這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點x=0時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾

何圖形表示出來如下:

間斷點的分類

我們通常把間斷點分成兩類：如果x0是函數(shù)函數(shù)

的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為

的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.可去間斷點若x0是函數(shù)

的間斷點，但極限

不存在或者是存在但

存在，那末x0是函數(shù)

≠

。我們令

的第一類間斷點。此時函

，則

數(shù)不連續(xù)原因是：

可使函數(shù)

在點x0處連續(xù)，故這種間斷點x0稱為可去間斷點。

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性

我們通過函數(shù)在某點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則，可得出以下結(jié)論：a)：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；b)：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；

c)：兩個在某點連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點連續(xù)的函數(shù)(分母在該點不為零)；反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)

在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)

也在對應(yīng)的區(qū)間

上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù)

例：函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)在閉區(qū)間[-1,1]

上也是單調(diào)增且連續(xù)的。

復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

設(shè)函數(shù)連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)

當(dāng)x→x0時的極限存在且等于a，即：

當(dāng)x→x0時的極限也存在且等于

.而函數(shù).即：

在點u=a

例題：

求

解答：

注：函數(shù)

連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。

設(shè)函數(shù)

可看作與復(fù)合而成，且函數(shù)在點u=e

在點x=x0連續(xù)，且

在點x=x0也是連續(xù)的

，而函數(shù)在點u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)

初等函數(shù)的連續(xù)性

通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù).對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：

最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。(在此不作證明)

例：函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間[0，2π]上連續(xù)，則在點x=π/2處，它的函數(shù)值為1，且大于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點出的函數(shù)值；則在點x=3π/2處，它的函數(shù)值為-1，且小于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點出

的函數(shù)值。

介值定理

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點的函數(shù)值間的任何值。即：

，μ在α、β之間，則在[a，b]間一定有一個ξ，使

推論：

二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念

在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運動的瞬時速度的問題。例：設(shè)一質(zhì)點沿x軸運動時，其位置x是時間t的函數(shù)，

，求質(zhì)點在t0的瞬時速度？我們知道時間從t0有增

在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。

量△t時，質(zhì)點的位置有增量，這就是質(zhì)點在時間段△t的位移。因此，在此

段時間內(nèi)質(zhì)點的平均速度為：.若質(zhì)點是勻速運動的則這就是在t0的瞬時速度，若質(zhì)

點是非勻速直線運動，則這還不是質(zhì)點在t0時的瞬時速度。我們認為當(dāng)時間段△t無限地接近于0時，此平均速度會無限地接近于質(zhì)點t0時的瞬時速度，即：質(zhì)點在t0時的瞬時速度

=

導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)

為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下：

在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x(x+△x也

在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若△y與△x之比當(dāng)△x→0時極限存

在，則稱這個極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。記為：還可記為：

，

函數(shù)在點x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)

內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個確

的

定的x值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)導(dǎo)函數(shù)。

注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)

前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限

存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。若極限存在，我們就稱它為

函數(shù)

注：函數(shù)

在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。

在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)

在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件

函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則

法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫為：

。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。

例題：已知，求

解答：

例題：

已知，求

解答：

函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則

法則：在求一個常數(shù)與一個可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號外面去。用公式可

寫成：

例題：已知解答：

函數(shù)的積的求導(dǎo)法則

，求

法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子

的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成：

例題：已知

，求

解答：

注：若是三個函數(shù)相乘，則先把其中的兩個看成一項。

函數(shù)的商的求導(dǎo)法則

法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在

除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成：

例題：已知解答：

，求

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個例子!例題：求解答：由于

=?

，故

這個解答正確嗎?

這個解答是錯誤的，正確的解答

應(yīng)該如下：

我們發(fā)生錯誤的原因是是對自變量x求導(dǎo)，而不是對2x求導(dǎo)。

下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則

規(guī)則：兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：

，其中u為中間變量

例題：已知

，求

解答：設(shè),則可分解為,

因此

注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。

例題：已知

，求

解答：反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)

為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)

,它也是單調(diào)連續(xù)的.

為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下(我們以定理的形式給出)：

定理：

若

是單調(diào)連續(xù)的，且

，則它的反函數(shù)

在點x

可導(dǎo)，且有：

注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。注：這里的反函數(shù)

是以y為自變量的，我們沒有對它作記號變換。

即：例題：求

是對y求導(dǎo)，

的導(dǎo)數(shù).

，故

則：

是對x求導(dǎo)

解答：此函數(shù)的反函數(shù)為

例題：求的導(dǎo)數(shù).

，故

則：

解答：此函數(shù)的反函數(shù)為

高階導(dǎo)數(shù)

我們知道，在物理學(xué)上變速直線運動的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即：，

而加速度a又是速度v對時間t的變化率，即速度v對時間t的導(dǎo)數(shù)：，或。

這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

定義

：函數(shù)

叫做s對t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義：的導(dǎo)數(shù)

仍然是x

的函數(shù).我們把

的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)

的二階導(dǎo)數(shù)，記作

的導(dǎo)數(shù)

叫做函數(shù)

或，即：或.相應(yīng)地，

把

的一階導(dǎo)數(shù).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)

的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).

分別記作：，，…，或，，…，

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時可運用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。

例題：已知

例題：求對數(shù)函數(shù)

，求

解答：因為的n階導(dǎo)數(shù)。

=a，故

=0

解答：，，，，

一般地，可得隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則

我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù).

一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時該如何呢？下面讓我們來解決這個問題！

隱函數(shù)的求導(dǎo)

若已知F(x,y)=0，求時，一般按下列步驟進行求解：

a)：若方程

F(x,y)=0，能化為b)：若方程F(x,y)=0，不能化為數(shù)

，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行。

的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進行求導(dǎo)；

的形式，則是方程兩邊對x進行求導(dǎo)，并把y看成x的函

例題：已知，求

解答：此方程不易顯化，故運用隱函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊對x進行求導(dǎo)，

，，故

=

注：我們對隱函數(shù)兩邊對x進行求導(dǎo)時，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)。

例題：求隱函數(shù)

，在x=0處的導(dǎo)數(shù)

解答：兩邊對x求

導(dǎo)，

故，當(dāng)x=0時，y=0.故

。

有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時，若對其直接求導(dǎo)有時很不方便，像對某些冪函數(shù)進行求導(dǎo)時，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們再來學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對數(shù)求導(dǎo)法

對數(shù)求導(dǎo)法

對數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù)，然后在求導(dǎo)。注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。

例題：

已知

x＞0，求

此題若對其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進行求導(dǎo)，就比較簡便些。如下

解答：先兩邊取對數(shù)：

，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)

因為，所以

例題：已知，求

此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對數(shù)求導(dǎo)法進行求導(dǎo)

解答：先兩邊取對

數(shù)再兩邊求

導(dǎo)

因

為，所

以

函數(shù)的微分

學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前，我們先來分析一個具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時，其邊長由x0變到了x0+△x，則此薄片的面積改變了多少？

解答：設(shè)此薄片的邊長為x，面積為A，則A是x

的函數(shù)：

薄片受溫度變化的影響面積的改

變量，可以看成是當(dāng)自變量x從x0取的增量△x時，函數(shù)A相應(yīng)的增量△A，即：

。從上式我們可以看出，△A分成兩部分，第一部分

是△x的線性函數(shù)，即下圖中紅色部分；第二部分即圖中的黑色部分，

當(dāng)△x→0時，它是△x的高階無窮小，表示為：

由此我們可以發(fā)現(xiàn)，如果邊長變化的很小時，面積的改變量可以近似的用地一部分來代替。下面我們給出微分的數(shù)學(xué)定義：

函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為

，其中A是不依賴于△x的常數(shù)，

在點x0可微的。

叫做函數(shù)

是△x的高階無窮小，則稱函數(shù)

=

。

在點x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即：是自變量改變量△x的線性函數(shù)，dy與△y的差

通過上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是關(guān)于△x

的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。于是我們又得出：當(dāng)△x→0時，△y≈dy.導(dǎo)數(shù)的記號為：

，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號，而且還可以表示兩個微分的比值(把△x看成

dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為：

由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。

微分形式不變性

什么是微分形式不邊形呢？設(shè)

，則復(fù)合函數(shù)

的微分為：

，

由于

，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成

由此可見，不論u是自變量還是中間變量，我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。例題：已知

，求dy

的微分dy總可以用與du的乘積來表示，

解答：把2x+1看成中間變量

u，根據(jù)微分形式不變性，則

通過上面的學(xué)習(xí)，我們知道微分與導(dǎo)數(shù)有著不可分割的聯(lián)系，前面我們知道基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)

的運算法則，那么基本初等函數(shù)的微分公式和微分運算法則是怎樣的呢？

下面我們來學(xué)習(xí)———基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則

基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則

基本初等函數(shù)的微分公式由于函數(shù)微分的表達式為：

，于是我們通過基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的

公式，下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對比一下：(部分公式)

導(dǎo)數(shù)公式

微分公式

微分運算法則

由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推出相應(yīng)的微分法則.為了便于理解，下面我們用表格來把微分的運算法則

與導(dǎo)數(shù)的運算法則對照一下：

函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則

函數(shù)和、差、積、商的微分法則

復(fù)合函數(shù)的微分法則就是前面我們學(xué)到的微分形式不變性，在此不再詳述。

例題：設(shè)

解答：根據(jù)微分形式的不變性

，求

對x的導(dǎo)數(shù)

3

微分的應(yīng)用

微分是表示函數(shù)增量的線性主部.計算函數(shù)的增量，有時比較困難，但計算微分則比較簡單，為此我們用函數(shù)的微分來近似的代替函數(shù)的增量，這就是微分在近似計算中的應(yīng)用.

例題：求

的近似值。

解答：我們發(fā)現(xiàn)用計算的方法特別麻煩，為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問題

故其近似值為1.025(精確值為1.024695)三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

微分學(xué)中值定理

在給出微分學(xué)中值定理的數(shù)學(xué)定義之前，我們先從幾何的角度看一個問題，如下：

設(shè)有連續(xù)函數(shù)，a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(a＜b)，假定此函數(shù)在(a,b)處處

可導(dǎo)，也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到，

差商就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動，

那么至少有一次機會達到離割線最遠的一點P(x=c)處成為曲線的切線，而曲線的斜率為由于切線與割線是平行的，因此

，

成立。

注：這個結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理，也稱為拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理

如果函數(shù)一點c，使

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有

成

立。

這個定理的特殊情形，即：若

的情形，稱為羅爾定理。描述如下：

，那末在(a,b)

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且

成立。

內(nèi)至少有一點c，使

注：這個定理是羅爾在17世紀初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。注：在此我們對這兩個定理不加以證明，若有什么疑問，請參考相關(guān)書籍

下面我們在學(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理——柯西中值定理柯西中值定理

如果函數(shù)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且≠0，

那末在(a，b)內(nèi)至少有一點c，使成立。

例題：證明方程在0與1之間至少有一個實根

證明：不難發(fā)現(xiàn)方程左端是函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)：

函數(shù)

，由羅爾定理

在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且

可知，在0與1之間至少有一點c，使也就是：方程

，即

在0與1之間至少有一個實根

未定式問題

問題：什么樣的式子稱作未定式呢？

答案：對于函數(shù)或無窮大

,來說，當(dāng)x→a(或x→∞)時，函數(shù),都趨于零

則極限可能存在，也可能不存在，我們就把式子稱為未定式。

分別記為型

我們?nèi)菀字?，對于未定式的極限求法，是不能應(yīng)用

下面我們來學(xué)習(xí)羅彼塔(L'Hospital)法則，它就是這個問題的答案注：它是根據(jù)柯西中值定理推出來的。

羅彼塔(L'Hospital)法則

當(dāng)x→a(或x→∞)時，函數(shù),都趨于零或無窮大，在點a的某個去心鄰域內(nèi)(或

當(dāng)│x│＞N)時，與都存在，≠0，且存在

則：

=

這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則

注：它是以前求極限的法則的補充，以前利用法則不好求的極限，可利用此法則求解。

例題：求

解答：容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的，因為它是未定式中的題，因此我們就可以利用上面所學(xué)的法則了。

型求解問

例題：求

解答：此題為未定式中的

型求解問題，利用羅彼塔法則來求解

另外，若遇到利用法則求解。

、

、

、

、

等型，通常是轉(zhuǎn)化為

型后，在

例題：

求

解答：此題利用以前所學(xué)的法則是不好求解的，它為型后在求解，

型，

故可先將其轉(zhuǎn)化為

注：羅彼塔法則只是說明：對未定式來說，當(dāng)存在，則存在且

二者的極限相同；而并不是不存在時，也不存在，此時只是說明了羅

彼塔法則存在的條件破列。

函數(shù)單調(diào)性的判定法

函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性，怎樣才能判斷函數(shù)的增減性呢？

我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減)，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正(或負),也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負值).因此我們可通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負來判定函數(shù)的增減性.

判定方法：

設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

＞0，那末函數(shù)＜0，那末函數(shù)

在[a,b]上單調(diào)增加；在[a,b]上單調(diào)減少.

a)：如果在(a,b)內(nèi)b)：如果在(a,b)內(nèi)

例題：確定函數(shù)的增減區(qū)間.

解答：容易確定此函數(shù)的定義域為(－∞,＋∞)

其導(dǎo)數(shù)為：當(dāng)x＞0時，當(dāng)x＜0時，

，因此可以判出：

＞0，故它的單調(diào)增區(qū)間為(0,＋∞)；＜0，故它的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)；

注：此判定方法若反過來講，則是不正確的。

函數(shù)的極值及其求法

在學(xué)習(xí)函數(shù)的極值之前，我們先來看一例子：

設(shè)有函數(shù)，容易知道點x=1及x=2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分

界點，又可知在點x=1左側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)增加的，在點x=1右側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)減小的.因此存在著點x=1的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi),任何點x(x=1除外)，點x=2也有類似的情況(在此不多說),為什么這些點有這些性質(zhì)呢？

事實上，這就是我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——函數(shù)的極值，函數(shù)極值的定義

設(shè)函數(shù)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)一點.

＜

均成立，

若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外)，＜均成立，

則說是函數(shù)的一個極大值；

＞

均成立，

若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外)，

則說是函數(shù)的一個極小值.

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。我們知道了函數(shù)極值的定義了，怎樣求函數(shù)的極值呢？學(xué)習(xí)這個問題之前，我們再來學(xué)習(xí)一個概念——駐點凡是使

的x點，稱為函數(shù)

的駐點。

判斷極值點存在的方法有兩種：如下方法一：

設(shè)函數(shù)

在x0

點的鄰域可導(dǎo)，且

.

＞0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時，

＜0，

情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時，

則函數(shù)

在x0點取極大值。

＜0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時，

＞0，

情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時，

則函數(shù)

在x0點取極小值。

注：此判定方法也適用于導(dǎo)數(shù)在x0點不存在的情況。用方法一求極值的一般步驟是：

a)：求；

b)：求c)：判斷

的全部的解——駐點；

在駐點兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。

例題：求解答：

先求導(dǎo)數(shù)

極值點

再求出駐點：當(dāng)

判定函數(shù)的極值，如下圖所示

時，x=-2、1、-4/5

方法二：

設(shè)函數(shù)則：a)：當(dāng)

在x0

點具有二階導(dǎo)數(shù)，且

＜0，函數(shù)

＞0，函數(shù)

時

在x0點取極大值；

在x0點取極小值；

.

b)：當(dāng)c)：當(dāng)

=0，其情形不一定，可由方法一來判定.

例題：我們?nèi)砸岳?為例，以比較這兩種方法的區(qū)別。

解答：

上面我們已求出了此函數(shù)的駐點，下面我們再來求它的二階導(dǎo)數(shù)。

，故此時的情形不確定，我們可由方法一來判定；

＜0，故此點為極大值點；

＞0，故此點為極小值點。

函數(shù)的最大值、最小值及其應(yīng)用

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實驗中，常會遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使

這類問題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值、最小值的問題。

怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢？前面我們已經(jīng)知道了，函數(shù)的極值是局部的。要求在[a,b]上的最大值、最小值時，可求出開區(qū)間(a,b)內(nèi)全部的極值點，加上端點值，從中取得最大值、最小值即為所求。

的

例題：求函數(shù)解答：

在此區(qū)間處處可導(dǎo)，

，在區(qū)間[-3，3/2]的最大值、最小值。

先來求函數(shù)的極值，故x=±1，

再來比較端點與極值點的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。

因為，

，，

故函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為。

例題：圓柱形罐頭，高度H與半徑R應(yīng)怎樣配，使同樣容積下材料最??？

解答：由題意可知：為一常數(shù)，

面積

故在V不變的條件下，改變R使S

取最小值。

故：時，用料最省。

曲線的凹向與拐點

通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道由一階導(dǎo)數(shù)的正負，可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，但是還不能進一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解曲線的凹性。定義：

對區(qū)間I的曲線作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間I下凹，

如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I上凹。

曲線凹向的判定定理

定理一：設(shè)函數(shù)條件是：

在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，它對應(yīng)曲線是向上凹(或向下凹)的充分必要

導(dǎo)數(shù)

定理二：設(shè)函數(shù)

在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。

在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；那末：

若在(a,b)內(nèi)，＞0，

則在[a,b]對應(yīng)的曲線是下凹的；

若在(a,b)內(nèi)，＜0，

則在[a,b]對應(yīng)的曲線是上凹的；

例題：判斷函數(shù)的凹向

解答：我們根據(jù)定理二來判定。

因為，所以在函數(shù)

的定義域(0,+∞)內(nèi)，＜0，

故函數(shù)所對應(yīng)的曲線時下凹的。

拐點的定義

連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點。

拐定的判定方法

如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定的拐點。

(1)：求(2)：令

；

=0，解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實根；

在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號，若

(3)：對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查

符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點。

例題：求曲線的拐點。

解答：由

令

=0，得x=0，2/3

，

判斷

四、不定積分

在0，2/3左、右兩側(cè)鄰近的符號，可知此兩點皆是曲線的拐點。

不定積分的概念

原函數(shù)的概念

已知函數(shù)f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點都有

dF'(x)=f(x)dx，

則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。例：sinx是cosx的原函數(shù)。關(guān)于原函數(shù)的問題

函數(shù)f(x)滿足什么條件是，才保證其原函數(shù)一定存在呢？這個問題我們以后來解決。若其存在原函數(shù)，那末原函數(shù)一共有多少個呢？

我們可以明顯的看出來：若函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)，

即：F

則函數(shù)族F(x)+C(C為任一個常數(shù)）中的任一個函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù)，故：若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那末其原函數(shù)為無窮多個.不定積分的概念

函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分，

記作

。

就是函數(shù)族

由上面的定義我們可以知道：如果函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，那末f(x)的不定積分

F(x)+C.即:

例題：求：

.

=F(x)+C

解答：由于不定積分的性質(zhì)

，故

=

1、函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和；

即：

2、求不定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，

即：

求不定積分的方法

換元法

換元法（一）：設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u)，u=g(x)可導(dǎo)，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函數(shù).

即有換元公式:

例題：求

解答：這個積分在基本積分表中是查不到的，故我們要利用換元法。

設(shè)u=2x，那末

cos2x=cosu，du=2dx，因此：

換元法（二）：設(shè)x=g(t)是單調(diào)的，可導(dǎo)的函數(shù)，并且g'(t)≠0，又設(shè)f[g(t)]g'(t)具有原函數(shù)φ(t)，

則φ[g(x)]是f(x)的原函數(shù).(其中g(shù)(x)是x=g(t)的反函數(shù)）

即有換元公式:

例題：求

解答：這個積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來換元.

設(shè)x=asint(-π/2

，dx=acostdt,于是有：

關(guān)于換元法的問題

不定積分的換元法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上得來的，我們應(yīng)根據(jù)具體實例來選擇所用的方法，求不定積分不象求導(dǎo)那樣有規(guī)則可依，因此要想熟練的求出某函數(shù)的不定積分，只有作大量的練習(xí)。

分部積分法

這種方法是利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則得來的。

設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).我們知道，兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式為：

(uv)'=u'v+uv'，移項，得

uv'=(uv)'-u'v，對其兩邊求不定積分得：

，

這就是分部積分公式例題：

求

解答：這個積分用換元法不易得出結(jié)果，我們來利用分部積分法。

設(shè)u=x，dv=cosxdx，那末

du=dx，v=sinx，代入分部積分公式得：

關(guān)于分部積分法的問題

在使用分部積分法時，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x取u和dv，否則就會南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點：

(1)v要容易求得；

(2)

容易積出。

幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例

有理函數(shù)的積分舉例

有理函數(shù)是指兩個多項式的商所表示的函數(shù)，當(dāng)分子的最高項的次數(shù)大于分母最高項的次數(shù)時稱之為假分式，反之為真分式。

在求有理函數(shù)的不定積分時，若有理函數(shù)為假分式應(yīng)先利用多項式的除法，把一個假分式化成一個多項式和一個真分式之和的形式，然后再求之。

例題：求

解答：

關(guān)于有理函數(shù)積分的問題

有理函數(shù)積分的具體方法請大家參照有關(guān)書籍，請諒。三角函數(shù)的有理式的積分舉例

三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù)。

例題：求

解答：

關(guān)于三角函數(shù)的有理式的積分的問題

任何三角函數(shù)都可用正弦與余弦函數(shù)表出，故變量代換u=tan(x/2)對三角函數(shù)的有理式的積分應(yīng)用，在此我們不再舉例。簡單無理函數(shù)的積分舉例

例題：求解答：設(shè)

，于是x=u+1，dx=2udu，從而所求積分為：

2

五、定積分及其應(yīng)用

定積分的概念

我們先來看一個實際問題———求曲邊梯形的面積。

設(shè)曲邊梯形是有連續(xù)曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b

所圍成。如下圖所示：

現(xiàn)在計算它的面積A.我們知道矩形面積的求法，但是此圖形有一邊是一條曲線，該如何求呢？我們知道曲邊梯形在底邊上各點處的高f(x)在區(qū)間[a,b]上變動，而且它的高是連續(xù)變化的，因此在很小的一段區(qū)間的變化很小，近似于不變，并且當(dāng)區(qū)間的長度無限縮小時，高的變化也無限減小。因此，如果把區(qū)間[a,b]分成許多小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，用其中某一點的高來近似代替同一個小區(qū)間上的窄曲變梯形的變高，我們再根據(jù)矩形的面積公式，即可求出相應(yīng)窄曲邊梯形面積的近似值，從而求出整個曲邊梯形的近似值。

顯然：把區(qū)間[a,b]分的越細，所求出的面積值越接近于精確值。為此我們產(chǎn)生了定積分的概念。定積分的概念

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點

a=x0

把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間

[x0，x1]，[xn-1,xn],

在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函數(shù)值f(ξi)與小區(qū)間長度的乘積f(ξi)△xi，

并作出和

總趨于確定的極限I，

這時我們稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，

記作

。

，

......

如果不論對[a,b]怎樣分法，也不論在小區(qū)間上的點ξi怎樣取法，只要當(dāng)區(qū)間的長度趨于零時，和S

即：

關(guān)于定積分的問題

我們有了定積分的概念了，那么函數(shù)f(x)滿足什么條件時才可積？定理（1）：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

（2）：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

定積分的性質(zhì)

性質(zhì)(1)：函數(shù)的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差）.

即：

性質(zhì)(2)：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面.

即：

性質(zhì)(3)：如果在區(qū)間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則

≤

（a

≤M(b-a)

性質(zhì)(4)：設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則m(b-a)≤

性質(zhì)(5)：如果f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點ξ，使下式成立：

=f(ξ)(b-a)

注：此性質(zhì)就是定積分中值定理。

微積分積分公式

積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且設(shè)x為[a,b]上的一點.現(xiàn)在我們來考察f(x)在部分區(qū)間[a,x]上的定積分

,我們知道f(x)在[a,x]上仍舊連續(xù)，因此此定積分存在。

如果上限x在區(qū)間[a,b]上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個對應(yīng)值，所以它在[a,b]上定義了一個函數(shù)

，記作φ(x):

注意：為了明確起見，我們改換了積分變量（定積分與積分變量的記法無關(guān)）定理(1)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù)，

并且它的導(dǎo)數(shù)是

(2)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)

原函數(shù)。

（a≤x≤b)

就是f(x)在[a,b]上的一個

注意：定理（2）即肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。

牛頓--萊布尼茲公式

定理(3)：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則

注意：此公式被稱為牛頓-萊布尼茲公式，它進一步揭示了定積分與原函數(shù)(不定積分）之間的聯(lián)系。

它表明：一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任一個原函數(shù)再去見[a,b]上的增

量。因此它就

給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法。

例題：求

解答：

我們由牛頓-萊布尼茲公式得：

注意：通常也把牛頓--萊布尼茲公式稱作微積分基本公式。

定積分的換元法與分部積分法

定積分的換元法

我們知道求定積分可以轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的增量，在前面我們又知道用換元法可以求出一些函數(shù)的原函數(shù)。因此，在一定條件下，可以用換元法來計算定積分。

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；函數(shù)g(t)在區(qū)間[m,n]上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng)t在區(qū)間[m,n]上變化時，x=g(t)的值在[a,b]上變化，且g(m)=a,g(n)=b；則有

定積分的換元公式:

例題:

計算

解答:設(shè)x=asint,則dx=acostdt,且當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=a

時，t=π/2.于是：

注意：在使用定積分的換元法時，當(dāng)積分變量變換時，積分的上下限也要作相應(yīng)的變換。定積分的分部積分法

計算不定積分有分部積分法，相應(yīng)地，計算定積分也有分部積分法。

設(shè)u(x)、v(x)在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u'(x)、v'(x)，則有(uv)'=u'v+uv',分別求此等式兩端在[a,b]

上的定積分，并移向得：

上式即為定積分的分部積分公式。

例題：計算解答：設(shè)

，且當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=1

時，t=1.由前面的換元公式得：

再用分部積分公式計算上式的右端的積分。設(shè)u=t,dv=edt,則du=dt,v=e.于是：

tt

故：

廣義積分

在一些實際問題中，我們常遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有無窮間斷點的積分，它們已不屬于前面我們所學(xué)習(xí)的定積分了。為此我們對定積分加以推廣，也就是———廣義積分。一：積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+∞)上連續(xù)，取

b>a.如果極限

存在，

則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,+∞）上的廣義積分，

記作：，

即：

此時也就是說廣義積分

=.

發(fā)散，此

收斂。如果上述即先不存在，則說廣義積分

時雖然用同樣的記號，但它已不表示數(shù)值了。

類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，b]上連續(xù)，取

a

存在，

則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-∞，b]上的廣義積分，

記作：，

即：

此時也就是說廣義積分如果廣義積分(-∞,+∞)上的廣義積分，

和

=.發(fā)散。

收斂。如果上述極限不存在，就說廣義積分

都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間

記作：，

即：

=

上述廣義積分統(tǒng)稱積分區(qū)間為無窮的廣義積分。

例題：計算廣義積分

解答：

設(shè)函數(shù)

f(x)在(a,b]上連續(xù)，而.取ε>0，如果極限

存在，則極限叫做函

數(shù)f(x)在(a,b]上的廣義積分，

仍然記作：.

即：

這時也說廣義積分

=

發(fā)散。

，

收斂.如果上述極限不存在，就說廣義積分

.取ε>0，如果極限

類似地，設(shè)f(x)在[a,b)上連續(xù)，而

存在，

則定義

否則就說廣義積分

發(fā)散。

.如果兩個廣義積分

和

=

；

又，設(shè)f(x)在[a,b]上除點c(a

都收斂，

則定義：

否則就說廣義積分

發(fā)散。

=+.

例題：計算廣義積分(a>0)

解答：因為可得：

，所以x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點，于是我們有上面所學(xué)得公式

六、空間解析幾何

空間直角坐標系

空間點的直角坐標系

為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們需要建立空間的點與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，為此我們通過引進空間直角坐標系來實現(xiàn)。

過定點O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點且一般具有相同的長度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統(tǒng)稱坐標軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以π/2角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，點O叫做坐標原點

。（如下圖所示）

三條坐標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱坐標面。取定了空間直角坐標系后，就可以建立起空間的點與有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系。例：設(shè)點M為空間一已知點.我們過點M作三個平面分別垂直于x軸、y軸、z軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點依次為P、Q、R，這三點在x軸、y軸、z軸的坐標依次為x、y、z.于是空間的一點M就唯一的確定了一個有序數(shù)組x,y,z.這組數(shù)x,y,z就叫做點M的坐標，并依次稱x,y和z為點M

的橫坐標，縱坐標和豎坐標。(如下圖所示）

坐標為x,y,z的點M通常記為M(x,y,z).

這樣，通過空間直角坐標系，我們就建立了空間的點M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對應(yīng)關(guān)系。

注意：坐標面上和坐標軸上的點，其坐標各有一定的特征.

例：如果點M在yOz平面上，則x=0；同樣，zOx面上的點，y=0；如果點M在x軸上，則y=z=0；如果M是原點，則x=y=z=0，等?？臻g兩點間的距離

設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點，為了用兩點的坐標來表達它們間的距離d我們有

公式：

例題：證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點的三角形△ABC是一等腰三角形.解答：由兩點間距離公式得：

由于，所以△ABC是一等腰三角形方向余弦與方向數(shù)

解析幾何中除了兩點間的距離外，還有一個最基本的問題就是如何確定有向線段的或有向直線的方向。方向角與方向余弦

設(shè)有空間兩點

，若以P1為始點，另一點P2為終點的線段稱為

有向線段.記作.通過原點作一與其平行且同向的有向線段.將與Ox,Oy,Oz三個的方向角.其中

坐標軸正向夾角分別記作α,β,γ.這三個角α,β,γ稱為有向線段0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π.

關(guān)于方向角的問題

若有向線段的方向確定了，則其方向角也是唯一確定的。

方向角的余弦

設(shè)有空間兩點

稱為有向線段或相應(yīng)的有向線段的方向余弦。

，則其方向余弦可表示為：

從上面的公式我們可以得到方向余弦之間的一個基本關(guān)系式：

注意：從原點出發(fā)的任一單位的有向線段的方向余弦就是其端點坐標。方向數(shù)

方向余弦可以用來確定空間有向直線的方向，但是，如果只需要確定一條空間直線的方位(一條直線的兩個方向均確定著同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道與方向余弦成比例的三個數(shù)就可以了。這三個與方向余弦成比例且不全為零的數(shù)A，B，C稱為空間直線的方向數(shù)

，記作：{A，B，C}.即：

據(jù)此我們可得到方向余弦與方向數(shù)的轉(zhuǎn)換公式：

，

，

其中：根式取正負號分別得到兩組方向余弦，它們代表兩個相反的方向。關(guān)于方向數(shù)的問題

空間任意兩點坐標之差就是聯(lián)結(jié)此兩點直線的一組方向數(shù)。兩直線的夾角

設(shè)L1與L2是空間的任意兩條直線，它們可能相交，也可能不相交.通過原點O作平行與

兩條直線的線段

.則線段

的夾角稱為此兩直線L1與L2的夾角.

若知道L1與L2的方向余弦則有公式為：