1.數(shù)列極限　　

       定義：設(shè)|Xn|為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。偞嬖谡麛?shù) N，   使     得當(dāng)n>N時(shí)，

　　|Xn - a|<ε

　　都成立，那么就稱(chēng)常數(shù)a是數(shù)列|Xn|的極限，或稱(chēng)數(shù)列|Xn|收斂于a。記為

　　lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）

        2 確界原理

        任一有上界的非空實(shí)數(shù)集必有上確界(為實(shí)數(shù))。對(duì)偶地，任一有下界的非空實(shí)數(shù)集必有下確界(為實(shí)數(shù))。在擴(kuò)張的實(shí)數(shù)系R中，認(rèn)為沒(méi)有上(下)界的非空實(shí)數(shù)集的上(下)確界為+∞(-∞)。這樣，在R中任何非空集都有上、下確界。

        3 柯西收斂準(zhǔn)則

　　定理敘述：

數(shù)列{xn}有極限的充要條件是：對(duì)任意給定的ε>0，有一正整數(shù)N，當(dāng)m,n>N時(shí)，有|xn-xm|<ε成立。

　　將柯西收斂原理推廣到函數(shù)極限中則有：

　　函數(shù)f(x)在無(wú)窮遠(yuǎn)處有極限的充要條件是：對(duì)任意給定的ε>0，有Z屬于實(shí)數(shù)，當(dāng)x,y>Z時(shí)，有|f(x)-f(y)|<ε成立。

        4 函數(shù)的連續(xù)性

        如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處及其附近有定義，而且函數(shù)在x=a處的極限值和f(a)相等，就說(shuō)函數(shù) f(x)在x=a處連續(xù)。
函數(shù)若在區(qū)間(m,n)內(nèi)所有點(diǎn)上都連續(xù)，就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間(m,n)內(nèi)連續(xù)。
        函數(shù)若在區(qū)間(m,n)內(nèi)所有點(diǎn)上都連續(xù)，而且在x=m點(diǎn)上右極限等于f(m)，在x=n點(diǎn)上左極限等于f(n)，就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間[m,n]內(nèi)連續(xù)。

        5 導(dǎo)數(shù)的定義

        一般地，假設(shè)一元函數(shù) y＝f(x )在 x0點(diǎn)的附近(x0－a ，x0 ＋a)內(nèi)有定義;

　　當(dāng)自變量的增量Δx＝ x－x0→0時(shí)函數(shù)增量Δy＝f（x）－ f（x0）與自變量增量之比的極限存在且有限,就說(shuō)函數(shù)f在x0點(diǎn)可導(dǎo)，稱(chēng)之為f在x0點(diǎn)的（或變化率).

  

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

若函數(shù)f在區(qū)間I 的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，便得到一個(gè)以I為定義域的新函數(shù)，記作 f(x)' 或y'，稱(chēng)之為f的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)。

　　函數(shù)y＝f（x）在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f'（x0）的幾何意義：表示函數(shù)曲線在P0［x0，f（x0）］ 點(diǎn)的切線斜率

         6 微分的定義

         設(shè)函數(shù)y = f(x)在x的領(lǐng)域內(nèi)有定義，x0及x0 + Δx在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴(lài)于Δx的常數(shù)），而o(Δx0)是比Δx高階的無(wú)窮小，那么稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0是可微的，且AΔx稱(chēng)作函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。函數(shù)的微分是函數(shù)增量的主要部分，且是Δx的線性函數(shù)，故說(shuō)函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性主部（△X→０）        （其實(shí)我覺(jué)得導(dǎo)數(shù)和微分就是一個(gè)東西，不用太區(qū)分開(kāi)了的）

         7 拉格朗日中值定理

         如果函數(shù)f(x)在（a，b）上可導(dǎo)，[a,b]上連續(xù)，則必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)

  

示意圖

令f(x)為y，所以該公式可寫(xiě)成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)

         8 泰勒公式 

         若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，可以展開(kāi)為一個(gè)關(guān)于（x-x.)多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和：

　　f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn

　　其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),這里ξ在x和x.之間

        9 不定積分

        設(shè)F（x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x) C（C為任意常數(shù)）叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作，即∫f(x)dx=F(x) C。

  

不定積分

其中∫叫做積分號(hào)，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過(guò)程叫做對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。

　　由定義可知：

　　求函數(shù)f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)f(x)的不定積分。

        10 實(shí)數(shù)的完備性

         （1）確界原理      （上面有）

         （2）單調(diào)有界定理           若數(shù)列{an}遞增（遞減）有上界（下界），則數(shù)列{an}收斂，即單調(diào)有界函數(shù)必有極限。

         （3）區(qū)間套定理               有無(wú)窮個(gè)閉區(qū)間，第二個(gè)閉區(qū)間被包含在第一個(gè)區(qū)間內(nèi)部，第三個(gè)被包含在第二個(gè)內(nèi)部，以此類(lèi)推（后一個(gè)線段會(huì)被包含在前一個(gè)線段里面），這些區(qū)間的長(zhǎng)度組成一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，如果數(shù)列的極限趨近于0（即這些線段的長(zhǎng)度最終會(huì)趨近于0），則這些區(qū)間的左端點(diǎn)最終會(huì)趨近于右端點(diǎn)，即左右端點(diǎn)收斂于數(shù)軸上唯一一點(diǎn)，而且這個(gè)點(diǎn)是此這些區(qū)間的唯一公共點(diǎn)。（開(kāi)區(qū)間同理）

         （4）有限覆蓋定理           設(shè)H為閉區(qū)間[a,b]的一個(gè)（無(wú)限）開(kāi)覆蓋，則從H中可選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋[a,b].開(kāi)覆蓋的定義：設(shè)S為數(shù)軸上的點(diǎn)集，H為開(kāi)區(qū)間的集合，（即H中每一個(gè)元素都是形如(a,b)的開(kāi)區(qū)間).若S中的任何一點(diǎn)都含在至少一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)，則稱(chēng)H為S的一個(gè)開(kāi)覆蓋，或簡(jiǎn)稱(chēng)H覆蓋S.

　　若H中的開(kāi)區(qū)間的個(gè)數(shù)是有限（無(wú)限）的，那么就稱(chēng)H為S的一個(gè)有限（無(wú)限）覆蓋.

         （5）聚點(diǎn)定理                    聚點(diǎn)定理(也稱(chēng)為維爾斯特拉斯聚點(diǎn)定理)經(jīng)典形式:實(shí)軸上的任一有界無(wú)限點(diǎn)集S至少有一個(gè)聚點(diǎn).       （聚點(diǎn)：設(shè)S為數(shù)軸上的點(diǎn)集,e為定點(diǎn)(它可以屬于S,也可以不屬于S),若e的任何ε鄰域內(nèi)都含有S中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),則稱(chēng)e為點(diǎn)集S的一個(gè)聚點(diǎn). ）

         （6）柯西收斂定理    （上面有）