第二章　　導(dǎo)數(shù)與微分

教學(xué)目的與要求             22學(xué)時                                                   

1、              理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系。

2、              熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

3、              了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

4、              會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

5、會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

第一節(jié)  導(dǎo)數(shù)的概念

　　一、導(dǎo)數(shù)的定義

　　我們先看下面兩個例子:

1.      求變速直線運(yùn)動的瞬時速度

設(shè)物體沿直線做變速運(yùn)動，其規(guī)律為. 其中s 表示位移，t表示時間，是連續(xù)函數(shù). 求物體在某時刻運(yùn)動的瞬時速度.

當(dāng)在取得增量時,則在到的時段內(nèi)，位移的增量為.

稱為到這個時間段內(nèi)的平均速度.容易看出，當(dāng)越小時，平均速度將越接近于瞬時速度，當(dāng)無限趨近于零時，平均速度將無限趨近于瞬時速度. 為此，瞬時速度定義為平均速度當(dāng)時的極限。即

平均速度稱為位移s在到時間段內(nèi)的平均變化率，而瞬時速度, 則稱為位移s在時間的

（瞬時）變化率。

　　2. 曲線上的切線斜率                                                          

當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線C無限接近于點(diǎn)P時，就相當(dāng)于Dx?0，此時割線PQ也隨著變動而趨向一個極限位置----直線PT，我們稱直線PT為曲線上點(diǎn)P處的切線，同時割線PQ的傾斜角趨向于切線PT的傾斜角a，因此切線PT的斜率為

由以上兩個例子我們看到了用極限的方法處理非均勻變化量的優(yōu)越性.盡管它們的實際意義不同，但從數(shù)學(xué)關(guān)系來看，它們有著共同的特點(diǎn)：都是求出函數(shù)的增量與自變量增量之比，當(dāng)自變量增量趨于零時的極限. 在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，還有許多要加以研究的量都可以歸納為上述形式的極限，這就得到微積分學(xué)的一個重要概念——導(dǎo)數(shù).

    定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x₀的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)的增量Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀)與自變量的增量Dx的比值

當(dāng)Dx0時有極限，則這個極限值就叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x₀處的導(dǎo)數(shù)，記為，即

也可以記為.

    如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x₀處有導(dǎo)數(shù)，就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x₀處可導(dǎo). 如果上式極限不存在，就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x₀處不可導(dǎo). 如果不可導(dǎo)的原因是當(dāng)Dx0時，為方便起見，也說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為無窮大.

    如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就說函數(shù)在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo). 此時，對于區(qū)間(a, b)內(nèi)的每一個確定的x值，都有唯一確定的導(dǎo)數(shù)值與之對應(yīng)，這就構(gòu)成了一個新函數(shù)，這個函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)（習(xí)慣稱為導(dǎo)數(shù)），記作

即            

    顯然，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x₀處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，即

    由導(dǎo)數(shù)定義可知：

    (1) 變速直線運(yùn)動的速度v(t)是路程s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即                  .

    (2) 曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x₀ ,y₀)處的切線斜率為

                     .

    二、幾個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

    由導(dǎo)數(shù)的定義知，求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)可以分為以下三個步驟：

    第一步 求增量：Dy=f(x+Dx)-f(x)

    第二步 算比值：

    第三步 取極限: =

    應(yīng)用上述三個步驟，我們來求幾個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出的結(jié)果以后可作為公式使用.

    例1 求函數(shù)=C(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)

    解 求增量：因為無論x取什么值，y的值恒為常數(shù)C，所以有Dy=f(x+Dx)-f(x)=C-C=0

    算比值：

    取極限：

即：                                             

這就是說，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零.

    例2  求冪函數(shù)()的導(dǎo)數(shù)

    解 求增量：

    算比值：

    取極限：

即     

    一般地，對于冪函數(shù)y=x^a（a是任意實數(shù)）有導(dǎo)數(shù)公式

    例3  利用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

    (1) ;                   (2) .

解  (1)   

    (2)

  例4  求的導(dǎo)數(shù)

解  求增量:

     算比值:

取極限:

=

所以 

請讀者用同樣的方法推出= -.

例5            求的導(dǎo)數(shù)

解 求增量：,令,則,

當(dāng)時,于是

        算比值：

取極限：

=

=

即              

特別地有         

類似地, 可以求出對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 特別地有

    三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

    由本節(jié)曲線上的切線斜率的例子可知導(dǎo)數(shù)的幾何意義是: 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x₀ ,f(x₀))處的切線的斜率.

    由此可知，曲線y=f(x)上的點(diǎn)(x₀ ,f(x₀))處的切線的斜率為

切線方程是：                    

    過點(diǎn)(x₀ ,f(x₀))且與切線垂直的直線叫做曲線y=f(x)在該點(diǎn)處的法線，其方程是：

    例6  求曲線在點(diǎn)P(-1,-1)處的切線方程和法線方程.

    解  由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點(diǎn)P(-1,-1)處的切線斜率為

所以，所求切線方程為   y+1=3(x+1)

即                     3x-y+2=0

法線方程為              y+1=(x+1)

即                      x-3y-2=0

    例7  曲線上哪一點(diǎn)處的切線與直線y=3x-1平行？

    解  已知直線y=3x-1的斜率k=3

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線的切線的斜率為

根據(jù)兩直線平行的條件，有

解此方程，得x=4

當(dāng)x=4時y=8，所以曲線在點(diǎn)(4,8)處的切線與直線y=3x-1平行.

四、函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理2.1 如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo), 則在點(diǎn)處連續(xù)

證明 因為在點(diǎn)處可導(dǎo),所以有

于是         

即函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).

反之，從下面例子中我們可知函數(shù) y=f(x)在處連續(xù)時，y=f(x)在點(diǎn)處不一定可導(dǎo).

例8 討論函數(shù)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.

解  因為                y

                                    

所以不存在, 即點(diǎn)x=0處不可導(dǎo).

這在圖形中的表現(xiàn)為點(diǎn)x=0處沒有切線(如圖2-2所示)

例8中出現(xiàn)的極限稱為函數(shù)在x=0點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù),記為, 極限稱為函數(shù)在x=0點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù),記為.

一般地, 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某鄰域內(nèi)有定義,如果存在,則稱之為在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù),記為; 如果存在,則稱之為在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù),記為.

顯然,當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在某一點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等時，函數(shù)在該點(diǎn)才是可導(dǎo)的.