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世界著名數(shù)學(xué)家、菲爾茨獎獲得者、哈佛大學(xué)終身教授丘成桐先生說過：

很多中學(xué)都不教微積分，其實(shí)中世紀(jì)科學(xué)革命的基礎(chǔ)在于微積分的建立，而我們的孩子不懂得微積分，等于是回復(fù)到中世紀(jì)前的黑暗時代，實(shí)在可惜。

本人深以為然！

遂決定為那些對微積分感興趣的中二以上的少年們寫幾篇微積分小文章，這是其中的第一篇。

本文盡量用通俗、淺顯和形象的語言來講述，做到條理清晰、提綱挈領(lǐng)。對于那些剛開始學(xué)微積分的大一新生同樣具有一定的借鑒作用。當(dāng)然，對那些已系統(tǒng)的學(xué)完高數(shù)的人來說，本文也有一定的復(fù)習(xí)和參考作用。

導(dǎo)數(shù)和微分是微積分的基礎(chǔ)，而微積分是自然科學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這無疑說明，導(dǎo)數(shù)和微分是非常非常重要的。因此，我們就從這部分開始吧。

先來看什么是導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)

考慮函數(shù) $y=f(x)$ ，自變量 $x$ 由 $x$ 變到 $x+\Delta x$ ，函數(shù)值相應(yīng)由 $y$ 變?yōu)? $y+\Delta y$ ，如果我問你，函數(shù)值隨自變量的變化率是多少，你應(yīng)該會給出以下計算

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 很顯然，這個變化率與 $x$ 及 $\Delta x$ 有關(guān)。例如，在下圖中，我們看到，當(dāng)保持 $x$ 不變時，隨著 $\Delta x$ 減小， $\Delta y$ 減小的更慢一些，因此變化率越來越小。表現(xiàn)為那條紅線的傾角越來越小。

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如果函數(shù) $y$ 與 $x$ 之間是一次函數(shù)的關(guān)系，畫出來就是一條直線。那么 $y$ 隨 $x$ 的變化率是恒定的，它就是直線的斜率值。

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相反，如果換一個更復(fù)雜的函數(shù)，隨著 $\Delta x$ 的減小，它的變化率會經(jīng)歷復(fù)雜的變化，相應(yīng)的，那條紅線的傾角也不是單純的增加或減少。

但無論如何，你會發(fā)現(xiàn)，當(dāng) $\Delta x$ 無限減小時，這個紅線會歸于一條經(jīng)過 $(x,y)$ 的切線。這個變化率的極限等于該切線的斜率。它是函數(shù)在點(diǎn) $(x,y)$ 處 $y$ 隨 $x$ 的變化率。

也就是說，這個特殊的變化率不是通過一個有限大小的自變量變化來獲得，而是當(dāng)自變量的變化趨于零時取得的。

這個特殊的變化率就是函數(shù)在點(diǎn) $(x,y)$ 的導(dǎo)數(shù)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為 $y$ 函數(shù)變量 $y$ 上面帶一撇就代表它的導(dǎo)數(shù)，也可寫為 $f$ 或 $f$ 。

導(dǎo)數(shù)只與函數(shù)形式以及點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，因此它也是一個 $x$ 的函數(shù)。這個新的函數(shù)給出被求導(dǎo)的函數(shù)在所有點(diǎn)的切線的斜率，也被稱作導(dǎo)函數(shù)。

作為一個導(dǎo)數(shù)的例子，瞬時速度就是在平均速度的基礎(chǔ)上，通過不斷減小時間長度直到無限小時得到的一個極限值，因此瞬時速度就是位置 $x$ 對時間 $t$ 的導(dǎo)數(shù)。

那么，是不是任何函數(shù)在任何位置都存在導(dǎo)數(shù)呢？

當(dāng)然不是！

根據(jù)上面提到的，導(dǎo)數(shù)本質(zhì)就是函數(shù)在各處的切線的斜率，所以，若在某處這個切線不存在，那就自然沒有斜率，也就沒有導(dǎo)數(shù)了，我們稱函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo)。

例如下面這些函數(shù)，在某些位置是不可導(dǎo)的。

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具體說來， $y=|x|$ 在 $x=0$ 處不存在導(dǎo)數(shù)，因為從左邊或者右邊無限趨近這一點(diǎn)，函數(shù)的變化率存在兩個不同的值，這說明極限不存在，因此在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在。

對 $y=\sqrt{x}$ ，在 $x=0$ 處，切線的斜率是無限大，因此導(dǎo)數(shù)無限大，我們?nèi)艘舱J(rèn)為在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在。

對 $y=1/x$ ，由于函數(shù)在 $x=0$ 處不連續(xù)，切線不存在，因此在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)也不存在。

對最后那個函數(shù)，同樣因為在 $x_0$ 處不連續(xù)，因此函數(shù)在該處不可導(dǎo)。

總結(jié)起來就是：在不連續(xù)的位置，函數(shù)必定在該處也不可導(dǎo)，若有點(diǎn)沒有切線或切線斜率取值無窮大，那么函數(shù)在該處也不可導(dǎo)。

如果你對得到的導(dǎo)函數(shù)繼續(xù)求導(dǎo)，那將得到高階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)然，能這么做的前提是函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)都存在。

那么，如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？

基本出發(fā)點(diǎn)就是上述導(dǎo)數(shù)的定義！下面舉例說明。

例1. 設(shè)函數(shù) $y=2x^2$ ，求 $y$ 并求在坐標(biāo) $x=1$ 處的導(dǎo)數(shù)值。

解：根據(jù)上述定義 $y$ 將右邊待求極限的式中的完全平方式展開，結(jié)果為 $\frac{2x^2+4x\Delta x+2(\Delta x)^2-2x^2}{\Delta x}$ 即為 $4x+2\Delta x$ ，顯然當(dāng) $\Delta x\to 0$ 時，它的值為 $4x$ ，故得 $y$ 代入坐標(biāo)值 $x=1$ 到 $y$ 中，得導(dǎo)數(shù)值為 $y$ 。

再來看一個稍復(fù)雜的例子。

例2. 求函數(shù) $y=a^x$ 的導(dǎo)數(shù)，其中 $a>0$ 且 $a\neq1$ 。

解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義， $\begin{align*} y$ 做到這里，遇到了一個較難的問題，被求極限的分式的分子分母都是無窮?。∮腥苏J(rèn)為它們的比應(yīng)該是1，其實(shí)這是錯誤的！

兩個無窮小的關(guān)系可以有三種可能，具體解釋見如下淺色字體部分，不感興趣可以跳過。

例如

2x^2

與

x^2

在

x\to0

時，都是無窮小，但并不相等，而是成倍數(shù)關(guān)系，我們稱之為同階無窮??；再例如

2x^2

與

2x

在

x\to0

時的比值為

x

，仍然是無窮小，因此

2x^2

是比

2x

更高階的無窮??；當(dāng)然也有特殊的情況，兩個無窮小相等，例如

x

和

\sin x

在

x\to0

時相等。

其實(shí)上述極限歸于一個數(shù)學(xué)推論：

\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a

讀者可自行證明，因此得到上面的極限為

a^x\ln a

。當(dāng)

a=e

時就得到高數(shù)中最神奇的那個導(dǎo)數(shù)：

(e^x)

是不是覺得求導(dǎo)挺復(fù)雜？其實(shí)比起后面的積分來說，求導(dǎo)根本不算什么難事！

前人已經(jīng)將常見的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都求出來了。例如三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等等，一般的高等數(shù)學(xué)書的附錄中都列出了。你也可根據(jù)上述方法再求一遍。不過我建議，對這些常見的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以直接記憶它們的導(dǎo)數(shù)，以提高效率。

此外，求導(dǎo)還有一些定理和推論也很重要，其中最典型的有如下四個。

(1) 函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)：兩個函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)等于它們的導(dǎo)數(shù)之和，即 $(u+v)$

(2) 函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)：兩個函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)等于每一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與另一個函數(shù)的乘積之和，即 $(uv)$ (3) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)有函數(shù) $y=f(x)$ 以及 $x=\phi(t)$ ，則 $y$ 是 $t$ 的復(fù)合函數(shù) $y=h(t)$ ，那么 $y$ 對 $t$ 的導(dǎo)數(shù)為 $h$ (4) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)，設(shè) $y=f(x)$ 的反函數(shù)為 $x=\phi(y)$ ，則

$\phi$ 記住：求導(dǎo)多了，記得多了，就熟能生巧了，不要一開始就想什么都會。

下面再看什么是微分。

微分

在上面講導(dǎo)數(shù)的時候，我們提到，導(dǎo)數(shù)是在自變量值和函數(shù)值的增量都取無限小時，函數(shù)的變化率。換句話說，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率的極限。

為了簡便，我們可用專門的符號來表示這里的無限小量，即無限小的自變量增量 $\Delta x$ 和函數(shù)增量 $\Delta y$ ，分別表示為 ${\rm d}x$ 和 ${\rm d}y$ ，即

$\left\{ \begin{align*} &\Delta x\to {\rm d}x\\ &\Delta y\to {\rm d}y \end{align*} \right.$ 這種符號是德國偉大的數(shù)學(xué)家萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)發(fā)明的。它們所表示的量無限趨近于零，但卻不等于零，我們稱之為微分。

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請務(wù)必仔細(xì)體會并抓住微分的這一極限思想！當(dāng)年萊布尼茲就是根據(jù)這一思想定義切線的：讓曲線上那個動的點(diǎn)無限靠近那個不動的點(diǎn)，但兩點(diǎn)始終不會重合。你想想，只有兩個點(diǎn)才能確定一條直線，如果重合了就沒法確定直線了！

所以，不得不佩服，萊布尼茲想法何其美哉！

對函數(shù) $y=f(x)$ ， ${\rm d}x$ 是自變量的微分，而 ${\rm d}f$ 與 ${\rm d}y$ 都可以等價的表示函數(shù)的微分。

數(shù)學(xué)里有個習(xí)慣，變量一般用斜體表示。既然這里的 ${\rm d}$ 只是一個符號，嚴(yán)格講不應(yīng)該用斜體。不過即使用斜體，問題也不大。

除 $y$ 和 $f$ 之外， $y=f(x)$ 的導(dǎo)數(shù)也可表示為 $\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}或\frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}$ 據(jù)此符號，導(dǎo)數(shù)中很多規(guī)律可以寫的更加簡潔。例如，由 $y=f(x)$ 和 $x=\phi(t)$ 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù) $y=h(t)$ 的導(dǎo)數(shù)為 $\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}$ 下面再來看函數(shù)的微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

對函數(shù) $y=f(x)$ 來說，在某個坐標(biāo) $x$ 附近，函數(shù)增量 $\Delta y$ 隨著自變量增量 $\Delta x$ 變化。如果 $\Delta x$ 不是太小，這兩個增量之間的比例關(guān)系是不確定的。

但當(dāng) $\Delta x$ 越來越小時，它們之間的比例就越來越接近所在點(diǎn)的切線的斜率，表述出來就是

這里的 $\alpha$ 代表一個隨 $\Delta x$ 變化的小量。在上式兩邊乘以 $\Delta x$ 得 $\Delta y=\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\Delta x+\alpha\Delta x$ 一般習(xí)慣用符號 $o(\Delta x)$ 代替 $\alpha\Delta x$ ，表示一個高階小量，因此上式即為 $\Delta y=\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\Delta x+o(\Delta x)$

所謂高階小量，你可以理解為是小量的高次冪，例如2次方以上。相對小量，它的高次冪更小，當(dāng)小量趨于零時，高階小量就變成高階無窮小了。因此，當(dāng)自變量的增量無限小時，就可以忽略這個高階小量了。

隨著自變量的增量無限減小，這個等式右邊的 $o(\Delta x)$ 以更快的速度趨于零，直到過渡到微分式：

${\rm d}y=f$ 這個關(guān)系告訴我們，當(dāng)自變量的增量無限小時，函數(shù)的增量與自變量的增量之間只差一個系數(shù)—— $f$ 在該處的取值。換句話說，這兩個增量之間是一個簡單的比例關(guān)系——也稱線性關(guān)系。

微分一詞在此處看起來是一個名詞，但隨著我們后面學(xué)習(xí)積分，微分也表示將整體分割成微小的單元的意思，那時它也就成為一個動詞了。

上述導(dǎo)數(shù)和微分只是針對一元函數(shù)而言，若函數(shù)為多元函數(shù)，情況又是怎樣的呢？

偏導(dǎo)

設(shè)有二元函數(shù) $z=f(x,y)$ 。若變量 $x$ 變?yōu)? $x+\Delta x$ ，造成 $z$ → $z+\Delta z$ ，這可表示為

$\Delta z= f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ 類似于一元函數(shù)，當(dāng) $\Delta x$ 趨于零時， $\Delta z$ 與 $\Delta x$ 的比值也表示函數(shù)在點(diǎn)( $x$ , $y$ )的變化率。只是這個變化率純粹由 $x$ 的變化導(dǎo)致，它也是一種導(dǎo)數(shù)，稱之為偏導(dǎo)，表示為 $\frac{{\rm \partial} z}{{\rm \partial} x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta z}{\Delta x}$ 上式左邊就是偏導(dǎo)的符號表示——一個整體的符號。相對導(dǎo)數(shù)符號，用 $\partial$ 代替了 ${\rm d}$ 。它們都表示無窮小量，表示 $\Delta\to0$ 時的增量。

偏導(dǎo)有時也用帶有自變量下標(biāo)的函數(shù)符號表示，例如 $f_x$ 表示函數(shù)對 $x$ 的偏導(dǎo)。

既然偏導(dǎo)也是函數(shù)，那么與導(dǎo)數(shù)一樣，你可以對偏導(dǎo)繼續(xù)求某個自變量的偏導(dǎo)，只要它存在偏導(dǎo)數(shù)。例如，你可對 $f_x$ 再求 $y$ 的偏導(dǎo)，得到 $f_{xy}$ 。

如何求偏導(dǎo)？只需按照偏導(dǎo)的定義計算即可。下面舉個求偏導(dǎo)的例子。

考慮如下函數(shù) $z=f(x,y)$

$z=-x^2-\frac{1}{2}y^2+xy+10$ 根據(jù)偏導(dǎo)定義，與第1節(jié)求導(dǎo)的例子類似，很容易得到，它的兩個偏導(dǎo)分別為 $\left\{ \begin{align*} &\frac{\partial z}{\partial x}=y-2x\\ &\frac{\partial z}{\partial y}=x-y \end{align*} \right.$ 可見，求偏導(dǎo)時，你只要把其他的變量都當(dāng)作常數(shù)即可，因此偏導(dǎo)其實(shí)與導(dǎo)數(shù)沒什么太大的區(qū)別。

與導(dǎo)數(shù)類似，如果你關(guān)注偏導(dǎo)在某個特定的點(diǎn) $(x_0,y_0)$ 的取值，那么它就是曲面上對應(yīng)該點(diǎn)的一條切線的斜率，即一個數(shù)。如果不限制，也就是考慮所有點(diǎn)的情況，那么偏導(dǎo)依舊是一個函數(shù)。

為了更清楚的理解偏導(dǎo)的意義，將上述函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)畫在下圖中，帶格子的曲面由滿足該函數(shù)的所有坐標(biāo)點(diǎn)構(gòu)成。


$f_x=y-2x$	$f_y=x-y$

假想你在這個曲面上沿著平行于 $x$ 軸方向移動，你將在曲面上走出一條曲線，這條曲線就是函數(shù)對 $x$ 的偏導(dǎo)所描繪的曲線；如果你沿著平行于 $y$ 軸運(yùn)動，當(dāng)然就走出函數(shù)對 $y$ 偏導(dǎo)所描繪的那條曲線。它們就是上圖中那兩條藍(lán)色的曲線。

并且，在這兩條曲線上，不同位置的切線的斜率就是該處函數(shù)偏導(dǎo)的值。例如，上圖中兩條紅色直線的斜率就分別代表位于點(diǎn) $(2,1)$ 處的兩個偏導(dǎo)值，它們的值分別為 $\left\{ \begin{align*} &f_x(2,1)=-3\\ &f_y(2,1)=1 \end{align*} \right.$ 可見，在點(diǎn) $(2,1)$ 處，當(dāng)沿著 $x$ 方向走時，路途更艱險，因為斜率更大——坡度更大。

從曲面上任一點(diǎn)出發(fā)，沿不同方向走，有不同的坡度，分別對應(yīng)不同的切線的斜率，它們就是曲面函數(shù)在該點(diǎn)的各個方向?qū)?shù)，而偏導(dǎo)不過是其中兩個最特殊的方向?qū)?shù)。

關(guān)于方向?qū)?shù)，以后再與梯度一起講。

全微分

設(shè)有函數(shù) $z=f(x,y)$ ，根據(jù)偏導(dǎo)的定義式 $\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$ 若將其中的極限符號去掉，這個等式不再成立，等號兩邊之間相差一個與 $\Delta x$ 相關(guān)的小量 $\alpha$ ，即

這個 $\alpha$ 在當(dāng) $\Delta x\to0$ 時為無窮小。現(xiàn)將兩邊同時乘以 $\Delta x$ ，并用高階小量 $o(\Delta x)$ 表示 $\alpha\Delta x$ ，上式變?yōu)?

$\Delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)$ 類似的，如果是 $y$ 發(fā)生變化，即 $\Delta z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ 則也相應(yīng)的有 $\Delta z=\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y+o(\Delta y)$

你大概也看到了，這兩個 $\Delta z$ 的式子與前面講微分部分關(guān)于高階小量的式子是類似的。

不過，上述 $\Delta z$ 都是不完整的，它們都只是某一個自變量的增量導(dǎo)致的函數(shù)增量。若 $x$ 和 $y$ 都發(fā)生變化，則函數(shù)增量應(yīng)該是

$\Delta z= f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ 我們可以將這個變化分兩步完成，即 $\begin{align*} \Delta z&=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)\\ &\quad+f(x,y+\Delta y)-f(x,y)\\ &=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x +o(\Delta x)\\ &\quad+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y+o(\Delta y) \end{align*}$ 注意，上式中 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 取值點(diǎn)是 $(x,y+\Delta y)$ ，而 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 取值點(diǎn)是 $(x,y)$ 。但當(dāng) $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 都趨于零時，這兩個點(diǎn)無限靠近，兩個偏導(dǎo)也都在兩個無限靠近的兩點(diǎn)處取值。而此時后面的高階小量也趨于零，遂用 ${\rm d}$ 代替 $\Delta$ ，因此得到 ${\rm d}z=\frac{\partial z}{\partial x}{\rm d}x+\frac{\partial z}{\partial y}{\rm d}y$ 這說明，當(dāng)自變量的變化都趨于無窮小時，只要將自變量的增量與對應(yīng)偏導(dǎo)的乘積加起來，就是函數(shù)的增量，這就是函數(shù) $z=f(x,y)$ 的全微分。

類似的，擁有超過2個自變量的函數(shù)的全微分也可以照此寫出，例如函數(shù) $p=f(r,\theta,\phi)$ 的全微分是 ${\rm d}p=\frac{\partial p}{\partial r}{\rm d}r+\frac{\partial p}{\partial\theta}{\rm d}\theta+\frac{\partial p}{\partial\phi}{\rm d}\phi$ 你大概悟出了一個規(guī)律：函數(shù)在任意坐標(biāo)處的全微分，等于它在此處的自變量的微分的線性組合，其組合系數(shù)分別就是對應(yīng)的偏導(dǎo)值。若對任意點(diǎn)求全微分，則只要將這些偏導(dǎo)值推廣為偏導(dǎo)函數(shù)即可。

并且你還發(fā)現(xiàn)，偏導(dǎo)可看作是導(dǎo)數(shù)的特例，而微分不過也是全微分的特例罷了。

到此，本文主要內(nèi)容已講完了。下面是多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分，可根據(jù)興趣選讀。

多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

設(shè)有一個二元函數(shù) $z=f(x,y)$ ，它的自變量 $x$ 和 $y$ 又是 $t$ 的函數(shù)，如何求 $z$ 對 $t$ 的導(dǎo)數(shù)呢？

利用上節(jié)得到的那個 $\Delta z$ 表達(dá)式 $\Delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x +\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)$ 兩邊同時除以 $\Delta t$ 得 $\frac{\Delta z}{\Delta t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\Delta x}{\Delta t} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\Delta y}{\Delta t}+\frac{o(\Delta x)}{\Delta t} +\frac{o(\Delta y)}{\Delta t}$ 由于 $o(\Delta x)$ 和 $o(\Delta y)$ 都是高階小量，除以小量 $\Delta t$ 之后仍然是小量，它們在 $\Delta t\to 0$ 時都趨于零。故對上式兩邊取 $\Delta t\to 0$ 即為 $\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}$ 這就是多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也稱全導(dǎo)數(shù)。

很容易想到，如果是超過兩個自變量的函數(shù)，只要加上新的變量的偏導(dǎo)與它對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘積即可。例如函數(shù)

$u=f(x(t),y(t),z(t))$ 的全導(dǎo)數(shù)為 $\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} +\frac{\partial u}{\partial y}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}+ \frac{\partial u}{\partial z}\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t}$ 為了便于記憶，你可以將全導(dǎo)數(shù)看成是在全微分的基礎(chǔ)上除以求導(dǎo)變量的微分所得的結(jié)果。

如果函數(shù)的中間變量也是多元的，那么就沒有全導(dǎo)數(shù)，只有偏導(dǎo)數(shù)。此時，只要把涉及的導(dǎo)數(shù)用偏導(dǎo)代替即可，例如函數(shù)

$z=f(x(u,v),y(u,v))$ 的兩個偏導(dǎo)數(shù)為 $\left\{ \begin{align*} &\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\\ &\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} \end{align*} \right.$ 按照上節(jié)全微分內(nèi)容可知 ${\rm d}z=\frac{\partial z}{\partial x}{\rm d}x+\frac{\partial z}{\partial y}{\rm d}y$ 如果再寫出 $x$ 和 $y$ 的全微分，代入上式，就會得到用 $u$ 和 $v$ 的微分表示的函數(shù) $z$ 的全微分： ${\rm d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}{ \rm d}u+\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}{\rm d}v+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}{\rm d}u+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}{\rm d}v$ 這些規(guī)則看起來挺繁瑣，但背后的規(guī)律很簡單。只要摸清規(guī)律，就可以輕松寫出來。

end

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適合高中生和大一新生的通俗微積分：導(dǎo)數(shù)、微分、偏導(dǎo)和全微分

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