4.1  導(dǎo)數(shù)的概念

4.1.1 導(dǎo)數(shù)的定義

    定義4.1.1  設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，自變量在的增量，相應(yīng)有函數(shù)的增量

    若極限        

存在，則稱函數(shù)在可導(dǎo)，此極限稱為函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)(或微商)，記為

或

    若極限         

不存在，則稱在不可導(dǎo)．

    設(shè)，則(1)式還可以表示為：

    導(dǎo)數(shù)的幾何意義：光滑曲線c上一點的切線斜率等于它的方程在的導(dǎo)數(shù)．

4.1.2 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

    1. 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)

    由定義4.1.1及定理2.2.1，我們有如下定理：

    定理4.1.1  函數(shù)在可導(dǎo)的充要條件是：

與

都存在并且它們相等．

    由此可有如下定義：

    定義4.1.2  設(shè)函數(shù)在的右(左)半個鄰域內(nèi)有定義，如果

()

存在，則稱該極限值為函數(shù)在右(左)導(dǎo)數(shù)．記為()．

    于是，我們得定理4.1.1的另一種說法：

    定理4.1.1*  函數(shù)在可導(dǎo)的充要條件是它在處左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)都存在并且它們相等

    2. 連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系

我們知道：在=0處是連續(xù)的，但它在=0處不可導(dǎo)．由此可知，連續(xù)未必可導(dǎo)．反之，可導(dǎo)是否連續(xù)呢？回答是肯定的．

    定理4.1.2  若函數(shù)在可導(dǎo)，則在連續(xù)．

    證：因為

所以           

所以                     

即, 在處連續(xù)．

    定義4.1.3  若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點可導(dǎo)，則稱在開區(qū)間可導(dǎo)；若在開區(qū)間可導(dǎo)，且在左端點有右導(dǎo)數(shù)，右端點有左導(dǎo)數(shù)，則稱在閉區(qū)間可導(dǎo)．

4.1.3  無窮導(dǎo)數(shù)

    定義4.1.4  設(shè)在連續(xù)，若，則稱在有無窮導(dǎo)數(shù)．

    實際上，函數(shù)在有無窮大導(dǎo)數(shù)，在幾何上表現(xiàn)為曲線在點處有鉛直的切線．但是，我們必須注意：函數(shù)在一點可導(dǎo)是指：函數(shù)在有有限導(dǎo)數(shù)．如果在點函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為無窮大，則我們將總認(rèn)為函數(shù)在不可導(dǎo)，盡管函數(shù)的曲線在有切線．

4.1.4 幾何應(yīng)用

    根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以得到曲線在點P處的切線方程和法線方程．

    ⑴  若存在且不等于0，則曲線在點P處的切線斜率為，法線斜率為

，因而曲線在點P處的切線方程為：

在點P處的法線方程為：

    ⑵  若，則曲線在點P處的切線平行于軸，法線垂直于軸，因而曲線在P處的切線方程為：

在點P處的法線方程為：

    ⑶  若，則曲線在點P處的切線垂直于軸，法線平行于軸，因而曲線在點P處的切線方程為

在點P處的法線方程為          

典型例題：

    例4.1.1  試求函數(shù)（常數(shù)）在的導(dǎo)數(shù)．

    解：在處任給增量，.則相應(yīng)有函數(shù)增量：

則                     

故有求導(dǎo)公式：                .

例4.1.2  在處是否可導(dǎo)？

    解：因為

且     

所以,　. 故,  在處不可導(dǎo)．

    從例4.1.2 知:函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)就是的曲線在點處切線的斜率．因此，在處不可導(dǎo)，實際上就是表明了曲線在=0處沒有切線．

例4.1.3  試證：在處有無窮導(dǎo)數(shù)．

    證：因為

所以，在處有無導(dǎo)數(shù)．　　　　　

    例4.1.4  試證：在處有右無窮導(dǎo)數(shù)和左無窮導(dǎo)數(shù)．

    證：

故,  在處有右無窮大導(dǎo)數(shù)和左無窮大導(dǎo)數(shù)．

即, 函數(shù)在處有無窮大導(dǎo)數(shù)．

例4.1.5  求曲線在點處的切線方程和法線方程

    解：因為，所以曲線在點P處的切線方程為：

即                           

法線方程為：                 ,

即,                    .

例4.1.6  求曲線在點處的切線方程和法線方程．

解 由例4.13可知：，因而曲線在P點處的切線垂直于軸，其切線方程為：. 其法線方程為：.