§8.6 微分法在幾何上的應(yīng)用
一、空間曲線的切線與法平面
1、曲線由參數(shù)方程給出的情形
設(shè)空間曲線 的參數(shù)方程為
(1)
假定(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo)。
考慮 上對(duì)應(yīng)于 的一點(diǎn) 及對(duì)應(yīng)于 的鄰近一點(diǎn) ,其割線 的方程為
對(duì)等式同除以 得
當(dāng) 時(shí), ,曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為
(2)
這里自然假定了 不能都為零。
切線的方向向量稱為曲線的切向量,向量
就是曲線 在點(diǎn) 處的一個(gè)切向量。
過點(diǎn) 與切線垂直的平面稱為曲線 在點(diǎn) 處的法平面,它是過點(diǎn) ,以 為法向量的平面,此法平面方程為
(3)
2、曲線由特殊參數(shù)方程給出的情形
此方程可看作
若 在 處可導(dǎo),則 ,曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為
(4)
曲線 在點(diǎn) 處的法平面方程為
(5)
3、曲線由一般方程給出的情形
是曲線上的一點(diǎn),此函數(shù)方程組可確定 是 的隱函數(shù),即曲線可用(隱式)方程 來表示。
由第2部分的討論,現(xiàn)在的關(guān)鍵是求 。
將 看作 的隱函數(shù)，方程兩邊分別對(duì) 求導(dǎo)數(shù),可得
ð
ð
ð
ð ð
類似地,有
曲線在點(diǎn) 處的切向量本來為 ,但也可取向量
即
曲線的切線方程為
(6)
曲線的法平面方程為
(7)
當(dāng)然,上述推導(dǎo)需要一些條件, 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且
中至少有一個(gè)不為零。
【例1】求曲線
在點(diǎn) 處的切線方程與法平面方程。
解:
曲線的切線方程為
曲線的法平面方程為
二、曲面的切平面與法線
1、曲面方程由 給出的情形
設(shè)曲面 由方程
(9)
給出, 是 上的一點(diǎn),假設(shè)函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零。
在 上,過點(diǎn) 任意引一條曲線 ,設(shè)它的參數(shù)方程為
對(duì)應(yīng)于參數(shù) ,且 不全為零。
則曲線 在點(diǎn) 的切線方程為
下證事實(shí):
上過點(diǎn) 且具有切線的任何曲線 ,它們?cè)邳c(diǎn) 處的切線均位于同一平面。
因?yàn)榍€ 在曲面 上,故有
據(jù)假設(shè)有 ，即
(10)
引入向量
(10)式表明： 。
因?yàn)?span lang=EN-US> 是過 點(diǎn)且在 上的任意一條曲線,它們?cè)邳c(diǎn) 的切線均垂直于同一非零向量 ,所以, 上過點(diǎn) 的一切曲線在 點(diǎn)的切線都位于同一個(gè)平面上。
這個(gè)平面稱為曲面 在點(diǎn) 的切平面,其切平面方程為
(11)
過點(diǎn) 而垂直于切平面(11)的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線,其法線方程為:
(12)
曲面在一點(diǎn)的切平面之法向量稱為曲面在該點(diǎn)的法向量,因此,向量
便是曲面 在點(diǎn) 處的一個(gè)法向量。
2、曲面方程由 給出的情形
若曲面 由方程
給出,令
則
當(dāng)偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)時(shí),曲面在點(diǎn) 的切平面方程為
(14)
曲面的法向量有兩個(gè)
對(duì)于第一式,法向量的方向余弦為
由 ,法向量與 軸正向的夾角應(yīng)為銳角,故此法向量的指向是朝上的。自然地,另一個(gè)法向量的指向是朝下的。
(13)式具有鮮明的幾何意義
方程的右端恰好是函數(shù)在點(diǎn) 處的全微分；
方程的左端是切平面上點(diǎn) 的豎坐標(biāo)的增量。
特別地,當(dāng) 時(shí)
曲面在點(diǎn) 處的切平面為 ,此切平面平行于 坐標(biāo)面,即曲面在點(diǎn) 處具有水平的切平面。
【例2】求球面 在點(diǎn) 處的切平面及法線方程。
解:
切平面方程為
法線方程為
因?yàn)辄c(diǎn) 在法線上,可見法線通過球心。
