文章主要講解在正多邊形與圓中探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，方法是通過(guò)構(gòu)造基本圖形并利用基本圖形中邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系（等邊三角形、等腰直角三角形，30°的等腰三角形）猜想復(fù)雜圖形之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明。通過(guò)構(gòu)造等腰三角形，利用全等三角形實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移，從而建立起線段之間的數(shù)量關(guān)系。

特殊等腰三角形底邊與腰長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系

 例1 如圖，△ABC是圓O內(nèi)的正三角形，點(diǎn)P是弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？并說(shuō)明理由？

【分析】：截長(zhǎng)法。在較長(zhǎng)的線段PA上截取PE=PB,然后證明△ABE≌△CBP(SAS)，得到PC=AE。

【分析】：補(bǔ)短法。延長(zhǎng)BP到點(diǎn)E，使得PE=PC，然后證明△ACP≌△BCE(SAS)，從而得到BE=PA。

【分析】：旋轉(zhuǎn)法。以A為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,點(diǎn)P落在點(diǎn)P'處.則△ABP≌△ACP'。易得∴△APP'是等邊三角形，從而PP'=PA。由P,C,P'三點(diǎn)共線，得到PP'=PC+CP'=PC+PB，從而得證。

【歸納總結(jié)】：（1）截長(zhǎng)法。有不同的截取方式，①在PA上截取PE=PB；②在PA上取一點(diǎn)E，使得BE=BP（以B為圓心，以BP為半徑畫(huà)弧，交PA于點(diǎn)E）.無(wú)論是①還是②，都可以使得△BPE是等邊三角形。（2）補(bǔ)短法?？梢栽贐P的延長(zhǎng)線上截取PE=PC，或者在BP的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得CP=CE。（3）旋轉(zhuǎn)法。之所以能旋轉(zhuǎn)，是由AB=AC，A，B，P，C四點(diǎn)共圓決定的。AB=AC保證了點(diǎn)B可以與點(diǎn)C重合，A，B，P，C四點(diǎn)共圓保證了旋轉(zhuǎn)后P,C,P'三點(diǎn)共線。

  例2 如圖，四邊形ABCD是圓O內(nèi)的正方形，點(diǎn)P是弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，猜想線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【分析】：此題只能用截長(zhǎng)法。截取的方式：在PA上取一點(diǎn)E，使得BE=BP（以B為圓心，以BP為半徑畫(huà)弧，交PA于點(diǎn)E），此時(shí)得到△BEP是等腰直角三角形，得到PE=根號(hào)2倍的BP，然后證明△ABE≌△CBP(SAS)，得到PC=AE。

     例3 如圖，六邊形ABCDEF是圓O內(nèi)的正六邊形，點(diǎn)P是弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，猜想線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【分析】：此題只能用截長(zhǎng)法。截取的方式：在PA上取一點(diǎn)G，使得BG=BP（以B為圓心，以BP為半徑畫(huà)弧，交PA于點(diǎn)E），此時(shí)得到△BEP是等腰三角形（頂角120°），得到PE=根號(hào)3倍的BP，然后證明△ABG≌△CBP(SAS)，得到PC=AG。