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數(shù)學(xué)：中考第一輪復(fù)習(xí)—三角形 復(fù)習(xí)七：三角形 1. 三角形的有關(guān)概念，三角形的角平分線、中線、高線、中位線的性質(zhì)． 2. 等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的有關(guān)性質(zhì)和判定方法． 3. 全等三角形的性質(zhì)和判定方法． 二、知識要點： 1. 三角形的有關(guān)概念 （1）三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形，三角形具有穩(wěn)定性． （2）三角形中的三條重要線段：角平分線、中線、高．如下圖所示．
（3）三角形三條邊的關(guān)系：三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊． （4）三角形內(nèi)、外角的關(guān)系： 三角形的內(nèi)角和等于180°，外角和等于360°． 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和． 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角． （5）三角形的中位線：經(jīng)過三角形兩邊中點的線段平行于第三邊并且等于第三邊的一半． （6）三角形的分類：
按角分類：三角形 2. 全等三角形 （1）能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形． （2）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊（角）相等；全等三角形的對應(yīng)線段（角平分線、中線、高）相等，周長相等，面積相等． （3）兩個三角形全等的條件： 一般三角形有：SAS、ASA、AAS、SSS． 直角三角形有：SAS、ASA、AAS、HL． 3. 等腰三角形 （1）等腰三角形的性質(zhì)： 兩底角相等； 頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合； 等邊三角形的各角都相等，并且都等于60°． （2）判定等腰三角形的條件： 等角對等邊； 三個角都相等的三角形是等邊三角形； 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形． 4. 直角三角形 （1）直角三角形的性質(zhì)： 直角三角形兩個銳角互余； 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半； 在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半； （2）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2＋b2＝c2． 逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有以下關(guān)系：a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形． 三、重、難點： 本講重點是三角形的有關(guān)概念、特殊三角形的有關(guān)性質(zhì)和判定方法．難點是等腰三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形和四邊形的綜合問題． 四、考點分析： 縱觀近幾年全國各地的中考試題，三角形常出現(xiàn)的知識點有三角形的性質(zhì)和概念，三角形內(nèi)角和與外角和，三角形的三邊關(guān)系，以及三角形全等的性質(zhì)與判定．今后的命題趨勢仍以考查以上知識點為主，以填空題和選擇題為主要考查形式，并將三角形的全等融入平行四邊形的證明和計算之中． 【典型例題】 例1. 選擇題 （1）現(xiàn)有兩根木棒，它們的長分別是 A． C． 解析：這類試題只需根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”就可解決，即設(shè)第三根木棒長為xcm．依題意有30－20＜x＜30＋20，即10＜x＜50，滿足10＜x＜50的只有B選項． （2）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分別為AC、AB的中點，連DE、CE，則下列結(jié)論中不一定正確的是（ ） A．ED∥BC B．ED⊥AC C．∠ACE＝∠BCE D．AE＝CE
解析：易知DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，∴ED⊥AC，又∵AD＝CD，∴AE＝CE，故選C． 例2. 填空題 （1）如圖所示，已知∠1＝100°，∠2＝140°，那么∠3＝__________．
解析：本題可先由兩個外角求出兩個內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和來求得∠3的度數(shù)．∠3＝60°．
例3. 如圖所示，一根長 （1）請判斷木棍滑動的過程中，點P到點O的距離是否變化，并簡述理由； （2）在木棍滑動的過程中，當(dāng)滑動到什么位置時，△AOB的面積最大？簡述理由，并求出面積的最大值．
評析：本題考查直角三角形斜邊上的中線與面積兩個知識點，能夠熟練掌握直角三角形的性質(zhì)并構(gòu)建直角三角形模型是解題的關(guān)鍵；問題（1）考慮不到斜 邊上的中線為斜邊的一半，易認為變化．問題（2）容易想到當(dāng)OA＝OB時面積最大，但說理時易錯，不知道運用當(dāng)（x－y）2≥0時，可以看作x2＋y2≥2xy，
例4. 已知：如圖所示，延長△ABC的各邊，使BF＝AC，AE＝CD＝AB，順次連接D、E、F，得到△DEF為等邊三角形． 求證：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC為等邊三角形．
證明：（1）∵BF＝AC，AB＝AE，∴FA＝EC． ∵△DEF是等邊三角形，∴EF＝DE． 又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE． （2）由（1）知△AEF≌△CDE，∴∠FEA＝∠EDC． ∵∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF，△DEF是等邊三角形， ∴∠DEF＝60°，∴∠BCA＝60°． 同理可證∠BAC＝60°．∴△ABC是等邊三角形． 評析：解答此類題目一定要結(jié)合圖形認真分析題意，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行證明． 例5. 已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點， （1）如圖所示，E、F分別是AB、AC上的點，且BE＝AF，求證：△DEF為等腰直角三角形． （2）若E、F分別為AB、AC延長線上的點，仍有BE＝AF，其他條件不變，那么，△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論． 分析：要證明△DEF為等腰直角三角形，需要證DE＝DF，連接AD，利用全等可得這一結(jié)論．至于在延長線上，可利用同樣的方法．
證明：（1）如圖所示，連接AD． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC的中點， ∴AD⊥BC，BD＝AD．∴∠B＝∠DAC＝45°． 又BE＝AF，∴△BDE≌△ADF（SAS）． ∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF， ∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°． ∴△DEF為等腰直角三角形．
（2）若E、F分別是AB、CA延長線上的點，如圖所示，連接AD． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC的中點， ∴AD＝BD，AD⊥BC． ∴∠DAC＝∠ABD＝45°．∴∠DAF＝∠DBE＝135°． 又AF＝BE，∴△DAF≌△DBE（SAS）． ∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB， ∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°． ∴△DEF仍為等腰直角三角形． 評析：構(gòu)造全等三角形證明線段相等，是本題的突破口，而AD則是本題的生命線．大家可以觀察圖形具有的特點和輔助線，理解之所以這樣做的原因才能提高解題能力． 例6. 某小區(qū)現(xiàn)有一塊等腰直角三角形形狀的綠地，腰長為 小區(qū)物業(yè)管委會準備把它分割成面積相等的兩塊，有如下的分割方法： 方法一：在底邊BC上找一點D，連接AD作為分割線； 方法二：在腰AC上找一點D，連接BD作為分割線； 方法三：在腰AB上找一點D，作DE∥BC，交AC于點E，DE作為分割線； 方法四：以頂點A為圓心，AD為半徑作弧，交AB于點D，交AC于點E，弧DE作為分割線． 這些分割方法中分割線最短的是哪一個？
評析：在求圖中分割線的長度時，主要的已知條件就是分割成的兩部分的面積相等，也就是得到的一個規(guī)則圖形的面積是原等腰直角三角形的面積的一半，求解分割線的長度時，應(yīng)結(jié)合圖形用較簡便的方法求值． 【方法總結(jié)】 1. 在利用三角形三邊關(guān)系判斷線段能否構(gòu)成三角形時，只需驗證兩條最短邊之和是否大于最長的邊即可． 2. 有角平分線或中點時，常用到的輔助線 （1）在角的兩邊截相等的線段，構(gòu)成全等三角形； （2）過角平分線上一點向角的兩邊作垂線； （3）若有和角平分線垂直的線段時，常把它延長與角的兩邊相交構(gòu)造等腰三角形； （4）有中線或有以線段的中點為端點的線段時，常給它們乘以整數(shù)倍，構(gòu)造全等三角形． |
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