作者丨吳朝陽

南京大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授

“張益唐攻克蘭道-西格爾零點(diǎn)猜想，距離解決黎曼猜想更近一步”的消息持續(xù)發(fā)酵。盡管公眾大都不明所以，但這一原本極為小眾的話題依然引起無數(shù)國人的關(guān)注。

“蘭道-西格爾零點(diǎn)猜想”究竟是什么？它又有什么重要性？要準(zhǔn)確理解這兩個(gè)問題的答案，我們需要跨過足夠高的專業(yè)門檻。對普通公眾而言，了解這一領(lǐng)域的大致脈絡(luò)，也許是更為現(xiàn)實(shí)的選擇。

張益唐是如何一舉成名的？

公元前五世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，這個(gè)觀點(diǎn)得到幾乎所有古希臘學(xué)者的認(rèn)同。于是，古希臘人認(rèn)為，對“數(shù)”的探索是了解和理解大千世界的關(guān)鍵，對“數(shù)”的研究成為古希臘學(xué)者最熱衷的事情之一。

最基礎(chǔ)、最“自然”的“數(shù)”是正整數(shù)。數(shù)的四則運(yùn)算中，加減法相對簡單，古希臘的學(xué)者們更關(guān)心的是關(guān)于正整數(shù)乘法的性質(zhì)。正如30=2x3x5，正整數(shù)大都可以寫成若干個(gè)小于自己而大于1的正整數(shù)的乘積。如果以乘法為構(gòu)建手段，則大于1但不能寫成這樣的乘積的正整數(shù)就是正整數(shù)關(guān)于乘積的基本構(gòu)件，它們被稱為“素?cái)?shù)”，中文也稱為“質(zhì)數(shù)”（與之相對的、可被乘法分解的正整數(shù)被稱為“合數(shù)”）。

既然是正整數(shù)的基本構(gòu)件，數(shù)學(xué)家們對素?cái)?shù)自然就抱有極大的興趣。大約在公元前四世紀(jì)，《幾何原本》的作者歐幾里得，就用精彩的反證法證明：存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)。此外，古希臘人還發(fā)現(xiàn)，隨著考察范圍的增大，素?cái)?shù)變得越來越稀少；與此同時(shí)，古希臘人也發(fā)現(xiàn)，盡管素?cái)?shù)在大的正整數(shù)中相當(dāng)稀有，但似乎總是存在相差很小的素?cái)?shù)對，他們因此猜測：存在無窮多個(gè)差為2的素?cái)?shù)對。

這就是著名的“孿生素?cái)?shù)猜想”。張益唐當(dāng)年一舉成名，就是在證明這個(gè)猜想的道路上邁出了重要一步：2013年4月17日，張益唐在《數(shù)學(xué)年刊》發(fā)表《質(zhì)數(shù)間的有界間隔》，在孿生素?cái)?shù)猜想這個(gè)此前沒有數(shù)學(xué)家能實(shí)質(zhì)推動(dòng)的著名問題道路上邁出了革命性的一大步。

|《質(zhì)數(shù)間的有界距離》摘要

研究數(shù)的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支稱為“數(shù)論”。大家熟悉的費(fèi)馬大定律、哥德巴赫猜想都屬于這個(gè)分支領(lǐng)域。

數(shù)論專家們很早就發(fā)現(xiàn)一重要現(xiàn)象：素?cái)?shù)的分布相當(dāng)不均勻。那么，這無窮多個(gè)素?cái)?shù)是如何分布的呢？在漫長的中世紀(jì)結(jié)束之后，尋找素?cái)?shù)分布的規(guī)律，成為數(shù)論專家們極為重視的一個(gè)問題。

黎曼猜想的新聞為何能帶來轟動(dòng)？

18世紀(jì)中葉，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉以一個(gè)在數(shù)學(xué)家看來極為簡潔的乘積公式，把素?cái)?shù)與復(fù)指數(shù)的無窮級數(shù)聯(lián)系到了一起。19世紀(jì)50年代，德國數(shù)學(xué)家黎曼在歐拉及其后幾代數(shù)學(xué)家工作的基礎(chǔ)上，構(gòu)造出大名鼎鼎的“黎曼ζ函數(shù)”。黎曼證明，黎曼ζ函數(shù)零點(diǎn)的分布與素?cái)?shù)的分布規(guī)律關(guān)系緊密，一旦弄清楚黎曼ζ函數(shù)零點(diǎn)的分布，精確的素?cái)?shù)分布規(guī)律便將大白于天下。

基于此，黎曼在1859年給出了一個(gè)猜測：黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面的直線上。這就是名動(dòng)天下的黎曼猜想。

這個(gè)猜想，是一個(gè)極難攻克的問題——黎曼在給出這個(gè)猜想的時(shí)候，就明確表示自己證明不了。后來，有人問大數(shù)學(xué)家希爾伯特（他曾經(jīng)在數(shù)學(xué)上比愛因斯坦更早發(fā)現(xiàn)廣義相對論）：如果你離開地球五百年之后再返回地球，你的第一個(gè)問題將會(huì)是什么？希爾伯特回答說，我會(huì)問：黎曼猜想解決了沒有？

事實(shí)證明，希爾伯特的判斷是正確的。誕生160多年之后，黎曼猜想仍然懸而未決。

與黎曼幾乎同時(shí)，另一位德國數(shù)學(xué)家狄利克雷引入“狄利克雷L函數(shù)”，這個(gè)函數(shù)是黎曼ζ函數(shù)的推廣。于是，數(shù)論中出現(xiàn)了“廣義黎曼猜想”。

廣義黎曼猜想比黎曼猜想“威力”更大，它的成立與否，決定著孿生素?cái)?shù)猜想等重大數(shù)論命題的命運(yùn)。事實(shí)上，目前已經(jīng)有2000多個(gè)數(shù)學(xué)命題依賴于廣義黎曼猜想的解決，可見它在數(shù)論中有著無可比擬的重要性。

20世紀(jì)初，幾位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，狄利克雷L函數(shù)可能存在所謂的“異常零點(diǎn)”，因而引出了“蘭道-西格爾零點(diǎn)猜想”。這個(gè)猜想說，狄利克雷L函數(shù)不存在異常零點(diǎn)。這種異常零點(diǎn)的存在與否，和廣義黎曼猜想的正誤緊密相關(guān)：如果狄利克雷L函數(shù)存在異常零點(diǎn)，則廣義黎曼猜想不成立。

然而，多年的研究顯示，蘭道-西格爾零點(diǎn)猜想是一個(gè)非常難于解決的問題，有些數(shù)學(xué)家甚至認(rèn)為，它比廣義黎曼猜想更難被攻克！

如果張益唐真的攻克了“猜想”……

至此，我們知道：素?cái)?shù)是自然數(shù)的基本構(gòu)件，素?cái)?shù)的分布問題是關(guān)于自然數(shù)的學(xué)問（數(shù)論）中極為重要的問題，包括孿生素?cái)?shù)猜想在內(nèi)的許多素?cái)?shù)分布問題的解決，都依賴于廣義黎曼猜想，而蘭道-西格爾零點(diǎn)猜想與廣義黎曼猜想緊密相關(guān)。因此，毫無疑問地，蘭道-西格爾零點(diǎn)猜想是數(shù)學(xué)中一個(gè)關(guān)系重大的猜想，它的攻克理所當(dāng)然是數(shù)論界的重大事件。

如果張益唐證明蘭道-西格爾零點(diǎn)猜想不成立，那么他就投出了一顆威力無比的重磅炸彈：廣義黎曼猜想不成立，而2000多個(gè)相關(guān)命題也將隨之壽終正寢。如果張益唐證明蘭道-西格爾零點(diǎn)猜想成立，那么廣義黎曼猜想依舊巋然不動(dòng)，但其證明仍然非常重要。因?yàn)椋厝粸閿?shù)論研究提供了全新的數(shù)學(xué)工具，同時(shí)證明了人類智慧的高超，并為廣義黎曼猜想的成立提供了旁證。

| 2019年，張益唐教授在未來科學(xué)大獎(jiǎng)科學(xué)峰會(huì)上，分享了Landau-Siegel零點(diǎn)問題

作為外行的公眾，不妨如此理解這一問題：廣義黎曼猜想如同是一根支柱，諸多數(shù)學(xué)家傍依著這根支柱添砌磚頭建了一面墻；現(xiàn)在，張益唐可能在這根支柱上鉆了一個(gè)孔，可以初步窺視這根支柱的成色——如果鉆孔處顯示它只是一根爛木頭（蘭道-西格爾零點(diǎn)猜想不成立），那么這堵墻將轟然倒塌，所有磚頭將拋灑一地；如果鉆孔處顯示是鋼筋（蘭道-西格爾零點(diǎn)猜想成立），那么這根支柱的整體質(zhì)量將等待進(jìn)一步的檢驗(yàn)來證實(shí)。

順便說一下，列名于上述猜想的蘭道（Edmund Landau，1877 - 1938）和西格爾（Carl Ludwig Siegel，1896 - 1981）都是德國一流的數(shù)學(xué)家。在納粹上臺(tái)之后，蘭道很快就被迫退休，西格爾則因?yàn)榉锤屑{粹政權(quán)而在數(shù)年后遠(yuǎn)走美國。毫不夸張地說，納粹政權(quán)在數(shù)年間就使數(shù)學(xué)界首屈一指的哥廷根學(xué)派分崩離析，使德國數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)失去舊日的輝煌。