|
10月中旬，張益唐攻克朗道-西格爾（Landau-Siegel）零點(diǎn)猜想的消息在數(shù)學(xué)界引發(fā)轟動，也引來大眾關(guān)注。11月5日，張益唐的論文已經(jīng)在網(wǎng)上流傳開來。 張益唐因在孿生素?cái)?shù)猜想上取得突破而一舉成名，但朗道-西格爾零點(diǎn)猜想其實(shí)是他關(guān)注更久的大問題。這篇論文是否真的能夠解決這一猜想，《知識分子》將會持續(xù)關(guān)注。11月5日上午，一份長達(dá)111頁的數(shù)學(xué)論文開始在網(wǎng)上流傳，作者是美籍華裔數(shù)學(xué)家、美國加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校數(shù)學(xué)系教授張益唐，文章題目為《離散平均數(shù)估計(jì)和朗道-西格爾零點(diǎn)》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero）。 
張益唐的數(shù)學(xué)論文
張益唐的夫人孫雅玲告訴《知識分子》，張益唐已于美西時間的周五上午向預(yù)印本網(wǎng)站arxiv提交了論文。不過，作者發(fā)現(xiàn)，人們尚無法在官網(wǎng)直接找到這篇文章的鏈接，但論文實(shí)際上已經(jīng)在業(yè)內(nèi)流傳開來。對于這篇文章討論的問題，今年67歲的張益唐已經(jīng)為之傾注了二十多年的心血。早在半個月多前的美東時間10月14日，張益唐在北京大學(xué)大紐約地區(qū)校友會一場分享數(shù)學(xué)經(jīng)歷的活動上，就按捺不住自己內(nèi)心的喜悅，在正式演講之前笑著宣布說：自己本質(zhì)上已經(jīng)解決了朗道-西格爾（Landau-Siegel）零點(diǎn)猜想，盡管是以弱一點(diǎn)的形式，相關(guān)論文將于11月初在預(yù)印本網(wǎng)站arxiv上發(fā)表。這條消息當(dāng)即就引起了廣泛的關(guān)注。在今天論文發(fā)到網(wǎng)上后，張益唐迅速開始了一連串的學(xué)術(shù)報(bào)告。作為山東大學(xué)潘承洞數(shù)學(xué)研究所的兼職首席學(xué)術(shù)帶頭人，11月5日，張益唐已在該校做了題為《關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想》的講座。11月8日上午，張益唐繼續(xù)將在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院作同題學(xué)術(shù)報(bào)告。2013年4月，時年58歲的張益唐在《數(shù)學(xué)年刊》（Annals of Mathematics）發(fā)了論文《素?cái)?shù)間的有界距離》（'Bounded Gaps Between Primes’）。這篇論文證明了存在無窮多對素?cái)?shù)對（p, q），其中每一對素?cái)?shù)之差不超過7000萬。這個結(jié)果使得孿生素?cái)?shù)猜想研究前進(jìn)了一大步，也令張益唐一舉成名。在北京大學(xué)大紐約地區(qū)校友會活動上，張益唐表示，朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的解決可能比解決孿生素?cái)?shù)猜想意義更大。他當(dāng)時說，解決朗道-西格爾零點(diǎn)猜想和解決黎曼假設(shè)相似，一旦成功，大量猜想都會成為定理。但從1837年狄利克雷研究這個問題開始，到現(xiàn)在將近200年始終沒有突破，被人認(rèn)為是整個數(shù)論研究中的瓶頸。現(xiàn)在，張益唐相信自己已經(jīng)突破了這個難題，“我敢肯定地說我已經(jīng)做出來，我知道我做的是對的。” 他說。朗道-西格爾零點(diǎn)猜想與張益唐此前研究的孿生素?cái)?shù)猜想都是數(shù)學(xué)界的重要問題。張益唐在加州大學(xué)圣芭芭拉分校的同事、解析數(shù)論專家 Jeffrey Stopple 曾表示，考慮到過去張益唐在孿生素?cái)?shù)研究中的成就，如果張益唐能解決朗道-西格爾零點(diǎn)猜想，“相當(dāng)于一個人被雷電擊中了兩次?！?nbsp;2013年取得孿生素?cái)?shù)猜想證明上的重大突破后，張益唐收獲了大量的贊譽(yù)和肯定，但仍然有一些數(shù)學(xué)家不服氣。因?yàn)樵趶堃嫣频奈恼掳l(fā)布后半年左右，當(dāng)時還在做博士后的英國數(shù)學(xué)家、2022年菲爾茨獎得主詹姆斯·梅納德 （James Maynard）提出了獨(dú)立的解決方法，把張益唐證出的7000萬推進(jìn)到600。這不僅是數(shù)字上的推進(jìn)，張益唐也承認(rèn)自己的論文中提出了兩個定理，詹姆斯·梅納德的研究對第一個定理的改進(jìn)非常多。在部分不服氣的數(shù)學(xué)家眼里，詹姆斯·梅納德做出了更優(yōu)秀的成果，張益唐的研究不再是最好的了。張益唐在前述校友會的分享中坦言，雖然沒有告訴其他人，但當(dāng)時自己心里也有點(diǎn)不平衡?！拔揖筒恍盼也荒茉僮龀龊玫臇|西了?！?張益唐決心要做出好的研究成果，而從那時起從到現(xiàn)在，差不多已經(jīng)過了8年。在張益唐看來，做朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的過程要比研究孿生素?cái)?shù)猜想更艱苦、更難。有人評價孿生素?cái)?shù)猜想的破解是大海撈針，但張益唐認(rèn)為相比之下朗道-西格爾零點(diǎn)問題才是真的大海撈針。張益唐進(jìn)行了無數(shù)的計(jì)算和嘗試，但在很長一段時間里仍然離取得突破隔了一層紙。按照張益唐的說法，他每天思考數(shù)學(xué)的時間至少在12小時以上，在朗道-西格爾零點(diǎn)問題研究接近完成的時候，甚至?xí)刻熳鱿嚓P(guān)的噩夢。“我就是大海撈針，要費(fèi)很大勁得到這根針，有了這根針，我就能夠把朗道-西格爾零點(diǎn)的困難給突破了。但是我始終也沒有找到針，而且我估計(jì)針可能根本不存在。” 張益唐在那場分享中說。但在大量嘗試的基礎(chǔ)上，張益唐轉(zhuǎn)變了思路，現(xiàn)在得出了自己有信心的結(jié)果?！霸谡裔樀倪^程中，我可以說是把海底的情況都給摸清楚了。后來我發(fā)現(xiàn)不用針也能把它給做出來，就這么一回事?！?/span>張益唐在前述分享會上還提到，做學(xué)問要有一種匠人精神，他用鐘表匠來形容做研究的自己?！昂荛L時間里就像一個鐘表匠，一步一步堅(jiān)定地做。別人可能已經(jīng)都做過了，但你能不能把它做到極致？我覺得我把它做到了極致，在這個基礎(chǔ)上我才能夠發(fā)現(xiàn)新的東西?！?張益唐說。張益唐關(guān)注朗道-西格爾零點(diǎn)猜想并不是偶然，在學(xué)問上，他一直是一個有野心的人。他曾經(jīng)在采訪中表示，“我有這個野心。黎曼猜想在數(shù)學(xué)界是公認(rèn)的，不管是哥德巴赫猜想還是孿生素?cái)?shù)都沒法跟它相比，它是最重要和最著名的問題?！?/span>因?yàn)閷Υ髥栴}的追求和完美主義，張益唐發(fā)表文章的數(shù)量非常之少。在數(shù)十年的學(xué)術(shù)生涯里，他正式發(fā)表的只有3篇論文。在接受《人物》訪談時，張益唐曾表示，他手上有很多隨時出成果的研究，但不甘心拿出來?！盀槭裁次也荒馨阉耆鐾辏客耆鐾曛竽贸鰜淼臇|西就是大東西了。”當(dāng)被問到，“這個問題上如果你做了十幾年，卻沒能成功，甚至世界上沒有幾個人知道你在做這個工作，那怎么辦？”張益唐的回答卻是，“那才好呢，這樣我就可以安靜下來了。”張益唐在學(xué)術(shù)生涯上的不順或許和這樣的高追求有關(guān)。他于1978年考入北京大學(xué)數(shù)學(xué)系，在北大度過了本科與碩士階段，攻讀博士時去了美國普渡大學(xué)。但在讀博期間，他發(fā)現(xiàn)自己論文中引用的導(dǎo)師的一個引理不夠可靠，因此堅(jiān)決不肯發(fā)表論文。1992年，拿到博士學(xué)位后，因沒有發(fā)表文章和缺少導(dǎo)師的推薦信，張益唐在很長一段時間內(nèi)都沒有在學(xué)術(shù)界找到工作。這樣的日子持續(xù)了六七年，在這期間他打了很多零工，遠(yuǎn)離了學(xué)術(shù)界。直到1999年才找到了一份講師的工作。而等他終于站在聚光燈下，要等到2013年發(fā)表《素?cái)?shù)間的有界距離》。成名后，張益唐曾用 “庾信平生最蕭瑟，暮年詩賦動江關(guān)” 來形容自己的心情。當(dāng)時，他跟媒體說，“其實(shí)杜甫寫此詩，除了對前人的追念外，同時也是一種自比，我的確也是享受這種暮年詩賦動江關(guān)的感受的，我多少也是有一點(diǎn)凡人的虛榮心的?！?/span>然而，讓張益唐成名的孿生素?cái)?shù)猜想只是他思考的大問題之一。在一次訪談中張益唐表示，“孿生素?cái)?shù)這個問題我做了三、四年。但希望大家不要誤會，這個問題我是想了三、四年，但不是說我所有時間都在做它?！?/span>而朗道-西格爾零點(diǎn)猜想是他從年輕時就關(guān)注的問題，正式研究這個問題也有20多年，遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于對孿生素?cái)?shù)問題的研究。早在2007年，張益唐就在arxiv上提交了一篇名為《論郎道-西格爾零點(diǎn)猜想》（'On the Landau-Siegel Zeros Conjecture’）的論文，遺憾的是這篇論文論證存在問題。在不同的場合，他也多次提到過朗道-西格爾零點(diǎn)問題的進(jìn)展。2013年一次訪談中，他提到了2007年那篇朗道-西格爾零點(diǎn)問題論文的后續(xù)，“目前我還不敢說我完全做成，但是的確有很大進(jìn)展?！?/span>在完成對孿生素?cái)?shù)猜想的研究后，張益唐的主要精力就放在了朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的研究上。2019年他再接受采訪時就表示，已經(jīng)沒有什么大的阻礙，剩下的都是一些技術(shù)性的問題。在這一年的未來科學(xué)大獎科學(xué)峰會上，他向公眾介紹了朗道-西格爾零點(diǎn)猜想及他自己的研究進(jìn)展。2020年，他又在港中大（深圳）大師講堂上介紹了自己進(jìn)一步的研究成果。朗道-西格爾零點(diǎn)猜想是廣義黎曼假設(shè)的一個重要的特殊情況，雖然廣義黎曼假設(shè)和黎曼假設(shè)（猜想）名字很像，但并不是一回事。對于這種誤解，張益唐曾經(jīng)對媒體澄清，朗道-西格爾零點(diǎn)猜想和黎曼猜想沒有直接關(guān)系。在未來科學(xué)大獎科學(xué)峰會上，張益唐解釋說，“如果朗道-西格爾零點(diǎn)真存在的話，廣義黎曼假設(shè)就錯了，所以事實(shí)上，我們說的朗道-西格爾零點(diǎn)問題就是證明這樣一個零點(diǎn)不存在。”現(xiàn)在還不知道這樣的零點(diǎn)是否存在，不過如果設(shè)想這樣的零點(diǎn)存在，那就會得出很多非常強(qiáng)的推論，甚至強(qiáng)得過頭了。美國德州大學(xué)奧斯汀分校理論物理博士張?zhí)烊卦诳催^張益唐今天的論文后解釋說，從其論文導(dǎo)論來看，證明方式是假設(shè)如果西格爾零點(diǎn)存在，最后便能夠得出一個不等式。然后再證明這個不等式是錯誤的，于是由此就得到了矛盾。這篇論文的證明是否正確，還要等待時間給出答案。張?zhí)烊乇硎?，“論文剛發(fā)表，正確與否？他的證明能否得到同行的接受？還需要一段時間來驗(yàn)證。但按照張益唐的個性，沒有一定把握，他是不會輕易公布的，讓我們拭目以待?！?/span> 參考文獻(xiàn)：1.https://mp.weixin.qq.com/s/7cCpCAwqjIYUsARWSQZrlw 2.https://www.sohu.com/a/256146555_176400 3.http://www./hqhr/2018/11-26/209270.shtml 4.http:///depth/character/7742.html 最近，美籍華裔數(shù)學(xué)家張益唐宣稱，已經(jīng)攻克了與黎曼猜想相關(guān)的朗道－西格爾零點(diǎn)猜想。此文結(jié)合朗道-西格爾猜想，簡要總結(jié)一下黎曼猜想、哥德巴赫猜想，以及張益唐對孿生素?cái)?shù)猜想，這幾個 “數(shù)論” 猜想的來龍去脈以及它們之間的關(guān)系。素?cái)?shù)是數(shù)論的研究對象，指的是只能被1和它自身整除的大于1的自然數(shù)。素?cái)?shù)有無限多嗎？分布情況如何？這些貌似簡單的素?cái)?shù)問題對數(shù)學(xué)家而言卻魅力無窮。并且，這些簡單問題牽涉甚廣，素?cái)?shù)分布問題的研究涉及到許多領(lǐng)域，推進(jìn)了數(shù)學(xué)研究多方面的發(fā)展。有關(guān)素?cái)?shù)的第一個猜想應(yīng)該是兩千三百多年前的歐幾里得提出的，稱之為“素?cái)?shù)無限多”的命題。歐幾里得還給出了最簡單的證明，用的是反證法。此外，古希臘還有一個在n不大的情況下實(shí)用的埃氏篩法，可以簡單地把不大于根號n的所有素?cái)?shù)的倍數(shù)剔除，從而 “篩出” 自然數(shù)n以內(nèi)的全部素?cái)?shù)，見下圖。
圖1 a）證明“素?cái)?shù)無窮多”的反證法；b）埃氏篩法（n=18） 歐幾里得之后差不多過了兩千年，偉大的數(shù)學(xué)家歐拉（1707～1783）對素?cái)?shù)問題作了很多工作，包括證明素?cái)?shù)無限多，研究與素?cái)?shù)分布相關(guān)的種種問題。例如，歐拉曾經(jīng)研究如下的無窮級數(shù)：
這個級數(shù)實(shí)際上是s的函數(shù)，后來被稱為ζ函數(shù)。歐拉一開始自然先考慮s為正整數(shù)的情況：當(dāng)s=1時，得到的是我們熟悉的不收斂的調(diào)和級數(shù)；如s>1，級數(shù)收斂，比如：s=2，是歐拉解決的巴塞爾級數(shù)，無限項(xiàng)求和結(jié)果是e2/6。天才的歐拉將調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性與“素?cái)?shù)無限多”的問題聯(lián)系起來，得到一個驚人的結(jié)論：所有素?cái)?shù)的倒數(shù)之和，類似于調(diào)和級數(shù)一樣地發(fā)散：
證明了上面的結(jié)果，也就間接證明了 “素?cái)?shù)無限多”，因?yàn)橛邢薜男蛄兄筒豢赡馨l(fā)散。歐拉由此開始，通過研究ζ函數(shù)來研究質(zhì)數(shù)，居然得到兩者的神奇關(guān)系：ζ函數(shù)等于一個與所有質(zhì)數(shù)相關(guān)的乘積！他得到下面這個看起來有點(diǎn)奇怪的“歐拉乘積公式”：
等式左邊的符號是與自然數(shù)n的冪次倒數(shù)有關(guān)的無窮求和，而右邊的符號是遍歷所有素?cái)?shù)p的一個無窮乘積。這個公式通過復(fù)數(shù)s，將自然數(shù)n（n=1，2，3，4，5等）與素?cái)?shù)p（p=2，3，5，7，11等）聯(lián)系起來。從歐拉乘積公式，可以間接地證明存在無窮多個素?cái)?shù)。如上所述，已有多種方法證明素?cái)?shù)有無窮多個。但是，素?cái)?shù)的出現(xiàn)規(guī)律卻一直困惑著數(shù)學(xué)家。一個個地看，素?cái)?shù)在正整數(shù)中的出現(xiàn)沒有什么規(guī)律；可是總體地看，素?cái)?shù)的個數(shù)竟然有規(guī)可循。我們對付素?cái)?shù)最笨的辦法就是把它們從小到大一個一個列出來，如上圖所示，列出了比100小的所有素?cái)?shù)，的確看不出什么規(guī)律。然后，我們又想出一個笨主意：計(jì)數(shù)！數(shù)數(shù)看小于某一個數(shù)的素?cái)?shù)有多少個？例如：小于10的素?cái)?shù)有4個；小于20的素?cái)?shù)有8個；小于50的素?cái)?shù)有15個……于是，數(shù)學(xué)家為此定義了一個函數(shù)，叫做素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)，記作π(x)，也就是說：π(10)=4；π(20)=8等等，可以一直估算下去。更進(jìn)一步，可以把函數(shù)的圖像畫出來：
圖2 素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù) 從π(x)的函數(shù)圖，倒是研究出了一些素?cái)?shù)個數(shù)增長的整體規(guī)律，稱為“素?cái)?shù)定理”：
（4） 上式是素?cái)?shù)定理的粗略表達(dá)式，其中 ln x 為 x 的自然對數(shù)。公式的意思是，當(dāng)x趨近無限，π(x)與x/ln x的比值趨近 1，但這不表示它們的數(shù)值隨著x增大而接近。素?cái)?shù)分布的lnx倒數(shù)形式首先由歐拉猜想，勒讓德最后得到素?cái)?shù)定理。50年后，高斯在一封信中說他在少年時代就猜出了這個結(jié)果，所以素?cái)?shù)定理也叫勒讓德-高斯定理。高斯比歐拉要晚生70年，黎曼（1826－1866）是高斯的學(xué)生，可惜早逝于39歲。他思想深刻成果累累。據(jù)說當(dāng)年高斯想試試?yán)杪降子卸嗦斆?，讓他從分析轉(zhuǎn)做幾何，沒想到黎曼一上手便出人意料地創(chuàng)立了黎曼幾何。之后，黎曼又繼續(xù)歐拉沒有完成的ζ函數(shù)研究素?cái)?shù)問題。黎曼首先將歐拉的ζ函數(shù)（1）解析延拓到幾乎整個復(fù)平面（除了s=1）。解析延拓的意思是將函數(shù)的定義域解析地?cái)U(kuò)大到原來不能應(yīng)用的數(shù)域，即對所有的復(fù)數(shù)s，ζ函數(shù)都有定義，在S等于1的地方有一個不解析的、留數(shù)等于1的簡單極點(diǎn)。解析延拓后的ζ函數(shù)叫做 “黎曼ζ函數(shù)”。黎曼ζ函數(shù)與素?cái)?shù)有直接聯(lián)系，根據(jù)歐拉乘積公式（3），當(dāng)實(shí)部大于1時，它是一系列自然數(shù)冪次的倒數(shù)和，同時又是與所有素?cái)?shù)有關(guān)的某種乘積。因此，通過對黎曼ζ函數(shù)的研究會得到很多素?cái)?shù)方面的信息，例如素?cái)?shù)定理（4），就是在1986年通過對黎曼ζ函數(shù)的研究而第一次被證明的。關(guān)于素?cái)?shù)更精確的信息在于進(jìn)一步對黎曼ζ函數(shù)零點(diǎn)的研究。黎曼發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)出現(xiàn)的頻率與黎曼ζ函數(shù)的零點(diǎn)分布緊密相關(guān)。因此，黎曼研究ζ函數(shù)的零點(diǎn)分布。1859年黎曼當(dāng)選為柏林科學(xué)院通訊院士，他提交了八頁紙論文《論小于某值的素?cái)?shù)個數(shù)》。在文章中，他提出了黎曼猜想。這個猜想是數(shù)論中與素?cái)?shù)相關(guān)至今未解的重要難題。
圖3 黎曼ζ函數(shù)，將歐拉ζ函數(shù)解析延拓到整個復(fù)數(shù)平面 黎曼注意到，ζ函數(shù)的零點(diǎn)有兩種。當(dāng)s=-2、-4、-6、-8…（負(fù)偶數(shù)）時，是平凡零點(diǎn)，黎曼稱其他零點(diǎn)為非平凡零點(diǎn)，素?cái)?shù)頻率與非平凡零點(diǎn)有關(guān)。非平凡零點(diǎn)到底在哪里呢？這個問題如此復(fù)雜，黎曼也沒有準(zhǔn)確的結(jié)論，因此他提出如下的“黎曼猜想”卻沒有證明——所有的這些非平凡零點(diǎn)都在實(shí)部等于二分之一的那條垂直線上。這一貌似輕松平淡的一個猜想，卻令無數(shù)數(shù)學(xué)家們努力到如今，已經(jīng)163年過去仍未解決，但也有所進(jìn)展。從進(jìn)展過程能看出這個問題的重要性、黎曼的深厚功夫和超凡的能力。黎曼論文有三個命題：非平凡零點(diǎn)實(shí)部大于0但小于1；所有非平凡零點(diǎn)幾乎都位于實(shí)部為1/2的直線上；黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于實(shí)部為1/2的直線上。數(shù)學(xué)家46年后才對黎曼認(rèn)為顯而易見的第一命題給出證明；黎曼表示自己證明了第二命題，但沒有簡化到可以發(fā)表，然而迄今為止，第二第三命題都沒有被證明出來；人們也試圖尋找具體的非平凡零點(diǎn)，仍然十分困難。猜想公布44年后，數(shù)學(xué)家第一次算出了前15個非平凡零點(diǎn)，又過了20年，算出了前138個零點(diǎn)，數(shù)學(xué)家西格爾在黎曼手稿中發(fā)現(xiàn)了73年前黎曼計(jì)算非平凡零點(diǎn)的一個公式（黎曼-西格爾公式）。西格爾找到這個公式后，4年內(nèi)算出了1000多個非平凡零點(diǎn)?，F(xiàn)在，數(shù)學(xué)家用這公式及計(jì)算機(jī)，驗(yàn)證了超過前200億個非平凡零點(diǎn)。迄今找到的所有零點(diǎn)，實(shí)部全部都是0.5，無一例外。張益唐最近宣稱的進(jìn)展，便與上述的黎曼猜想相關(guān)。在介紹他在黎曼猜想的工作之前，先介紹他幾年前有所突破的另一個素?cái)?shù)問題：孿生素?cái)?shù)猜想。什么叫孿生素?cái)?shù)？就是兩個素?cái)?shù)相差2，例如3和5；5和7等等。兩千年前的歐幾里得就證明了素?cái)?shù)的個數(shù)是無窮多，同時，歐幾里得也思考：孿生素?cái)?shù)是否也有無窮多呢？歐幾里得猜想是無窮多，但他沒有給出證明，這就是孿生素?cái)?shù)猜想——“有無窮個素?cái)?shù)對(p1, p2)，滿足p1-p2=2”
圖4 孿生素?cái)?shù)猜想 不過，張益唐并沒有完全解決孿生素?cái)?shù)猜想，他證明了什么呢？為了理解張益唐的結(jié)果，首先，可以把孿生素?cái)?shù)猜想寫成：“存在無窮多個差值等于2的素?cái)?shù)對”；而張益唐證明的是：“存在無窮多個差值小于7000萬的素?cái)?shù)對”。也就是說，張益唐證明的是比原來猜想更 “弱”一點(diǎn)的命題。原來命題中的差距是2，但這個差距可以放寬，比如將間隔放寬到4，或者100、1000。張益唐的工作意味著：如果將間隔放寬到7000萬，他就證明出來了。然后呢？然后可以再減小間隔縮小包圍圈，如果能一直縮到2，就證明了原來的猜想！以上是這種方法的思路。不過，比較一下這兩個結(jié)論，你可能感到吃驚：7000萬vs2，還差十萬八千里呢！的確如此，但在張益唐這個結(jié)論之前，這個問題還沒有上限，即上限是無限大。而張益唐將無限大用有限數(shù)7000萬 代替，是里程碑式的進(jìn)步。后來，陶哲軒等將此上限不斷降低，張益唐提交證明之后，上限已降至246。除了研究自然數(shù)中的素?cái)?shù)分布之外，也有數(shù)學(xué)家研究算術(shù)（等差）級數(shù)中包含的素?cái)?shù)。因?yàn)榇笥?2 的素?cái)?shù)都是奇數(shù)，所以，等差數(shù)列 {1+2k，k=1, 2, 3…} 中包括了除了2之外的所有素?cái)?shù)，換言之，上面等差數(shù)列中包含了無窮多個素?cái)?shù)。德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（1805—1859）的 “狄利克雷定理”，說的就是關(guān)于算術(shù)級數(shù)中的素?cái)?shù)問題。狄利克雷最早將解析的方法用于解決數(shù)論問題，稱為解析數(shù)論。狄利克雷等在解析數(shù)論領(lǐng)域發(fā)展了一整套工具去研究某些函數(shù)的零點(diǎn)問題，應(yīng)用于哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想等，也用于關(guān)于素?cái)?shù)分布等問題上。為了證明“狄利克雷定理”，狄利克雷1837年引進(jìn)了狄利克雷L函數(shù)。狄利克雷L函數(shù)可以看作是黎曼ζ函數(shù)的推廣：
比較黎曼ζ函數(shù)而言，狄利克雷L函數(shù)將求和中的每一項(xiàng)都乘了一個χ(n)，稱為狄利克雷特征。·存在正整數(shù)k使得對于任意n都有χ(n) = χ(n+k)；·對于任意m,n，χ(mn) = χ(m) χ(n)第一條說明χ(n)是以k為周期循環(huán)的；第二條說明它是積性函數(shù)；第三條給出的χ(1)=1時，狄利克雷L函數(shù)成為黎曼ζ函數(shù)，保證了L函數(shù)的確是ζ函數(shù)的推廣。用更為通俗的話來說：滿足這三條性質(zhì)的狄利克雷特征是一組函數(shù)χ(n)，函數(shù)的定義域是自然數(shù)，值域可以被限制在只有三種可能：0, 1和-1。因此，狄利克雷L函數(shù)與黎曼ζ函數(shù)不同的是，后者是一個函數(shù)，前者是一組（可以有無窮多個）函數(shù)，其中的一個特殊情況：狄利克雷特征全為1時，便簡化為黎曼ζ函數(shù)。黎曼函數(shù)是狄利克雷L函數(shù)的特殊情況，也是最簡單的一個情況。狄利克雷L函數(shù)與黎曼ζ函數(shù)許多方面相似，可以互相對應(yīng)。比如，狄利克雷L函數(shù)的零點(diǎn)也有平凡與非平凡之分，非平凡零點(diǎn)也全都位于0＜Re（s）＜1的帶狀區(qū)域（即臨界帶）內(nèi)。對應(yīng)于黎曼ζ函數(shù)的黎曼猜想，對應(yīng)地便有狄利克雷L函數(shù)的廣義黎曼猜想。由于狄利克雷L函數(shù)是黎曼ζ函數(shù)的推廣，因此廣義黎曼猜想顯然是黎曼猜想的推廣。黎曼猜想為黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面上Re(s) = ?的直線上；廣義黎曼猜想為狄利克雷L函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面上Re(s) = ?的直線上。如果證明了廣義黎曼猜想，也就證明了黎曼猜想，反過來不成立。
對狄利克雷L函數(shù)，應(yīng)該寫成：
（5） 研究狄利克雷L函數(shù)的零點(diǎn)分布，不僅對于破解廣義黎曼猜想和黎曼猜想有用，也可能對解決哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)猜想等都有所幫助。朗道-西格爾零點(diǎn)問題黎曼猜想和廣義黎曼猜想都尚未被證明，但大多數(shù)的數(shù)論學(xué)家都認(rèn)為猜想是成立的，即ζ函數(shù)或L函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面上實(shí)部等于 ?的直線上。朗道（1877-1938）和西格爾（1896-1981），是兩位德國數(shù)學(xué)家，朗道是西格爾的導(dǎo)師。他們對狄利克雷L函數(shù)的非平凡零點(diǎn)進(jìn)行了深入的研究，發(fā)現(xiàn)滿足特殊性質(zhì)時其對應(yīng)的L函數(shù)可能出現(xiàn)位置異常的零點(diǎn)，難以避免。位置異常的意思是說，這種可能的零點(diǎn)不是位于實(shí)部1/2的那條直線上，而是在非?？拷?的地方。這種零點(diǎn)就被稱為朗道-西格爾零點(diǎn)（或西格爾零點(diǎn)）。不過，他們也證明了對于狄利克雷L函數(shù)，這樣的零點(diǎn)頂多只有一個，實(shí)部很接近1。也就是說，“朗道-西格爾零點(diǎn)” 被定義為廣義黎曼猜想的反例，而斷言此類零點(diǎn)不存在的猜測就被稱為朗道-西格爾猜想。如果這個朗道-西格爾零點(diǎn)真存在的話，廣義黎曼假設(shè)就錯了，所以事實(shí)上，數(shù)學(xué)家們努力探索西格爾零點(diǎn)問題，就是企圖證明這樣一個零點(diǎn)不存在。
|
