【新智元導讀】從孿生素數(shù)猜想，到郎道-西格爾零點猜想，這個了不起的男人，他真的「被閃電擊中了兩次」！昨天，著名華裔數(shù)學家張益唐教授在攻克數(shù)學界著名難題之一——郎道-西格爾零點猜想問題的道路上再進一步！目前，解決這個零點猜想問題的111頁的完整版預印本論文「Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero」已經(jīng)可以下載。https://pan.baidu.com/s/1GM61FrLynSfpSn67SoaHow?pwd=1105上個月，張益唐教授在北京大學大紐約地區(qū)校友會舉辦的一次在線學術活動上透露，已解決郎道-西格爾零點猜想（Landau-Siegel zeros conjecture）問題，立即引發(fā)數(shù)學界廣泛關注。昨天，張益唐在山東大學的一次在線報告中簡要介紹了這一成果。另外，他還將于11月8日在北大做《關于朗道-西格爾零點猜想》的在線報告。據(jù)澎湃新聞報道，北京國際數(shù)學研究中心主任、北京大學數(shù)學英才班委員會主任田剛院士證實，張益唐有關朗道-西格爾零點猜想的新論文已完成并已提交至預印本網(wǎng)站Arxiv，預計下周一將正式上線。張益唐教授研究的這個猜想，跟數(shù)學史上的另一個偉大問題——黎曼猜想有關，后者是數(shù)學家波恩哈德·黎曼于1859年提出，關于黎曼ζ函數(shù)ζ(s)的零點分布的猜想，是百年來的一大數(shù)學難題。據(jù)《中國科學報》今年10月的介紹：簡單來講，如果存在朗道-西格爾零點，那么黎曼猜想就是錯的；如果朗道-西格爾零點不存在，則不會和黎曼猜想發(fā)生沖突。張益唐的同事、數(shù)論學家Stopple曾說，如果張益唐能對朗道-西格爾零點作出證明，加上他的上一份成就，在某種意義上，（其概率）就像是「同一個人被閃電劈中兩次」。「即使他從未成名，做出這項工作也會讓他跟上次一樣，被世界矚目?！筍topple說。Stopple說的「上一次成就」，是張益唐2013年在《數(shù)學年刊》發(fā)表《質數(shù)間的有界間隔》，證明了存在無窮多對質數(shù)間隙都小于7000萬，在孿生素數(shù)猜想這一數(shù)論重大難題上取得了里程碑式的突破。在看論文之前，首先咱們來看看，朗道—西格爾零點到底是什么。
朗道-西格爾零點猜想，是黎曼猜想的弱一些的形式。數(shù)學家們?yōu)榱搜芯克財?shù)分布，引入了黎曼猜想。 1859年，德國數(shù)學家黎曼在論文「論小于給定數(shù)值的素數(shù)個數(shù)」中，首次提及這個猜想。 比某個特定數(shù)值要小的質數(shù)有多少個？質數(shù)在整個數(shù)列中的分布情況又是如何？ 黎曼發(fā)現(xiàn)，質數(shù)的分布跟某個函數(shù)有著密切關系： 
這個公式中，s是復數(shù)，可以寫成s=a bi這樣的形式（a是s的實部、b是s的虛部、i則是根號負一）。 當s的實部小于1時，整個級數(shù)和可能會發(fā)散。為了讓函數(shù)適用于更廣的范圍，黎曼把上面的ζ函數(shù)改寫為： 
當s為負偶數(shù)（s= -2, -4, -6…）時，黎曼ζ函數(shù)為零。這些s的值，就稱為平凡零點。 不過，此外還有另一些s的值，能夠讓黎曼ζ函數(shù)為零，它們被稱為非平凡零點。就是這些非平凡零點，對質數(shù)的分布有著決定性影響。 到了這里，黎曼本人也無法證明了。不過他做了一個猜測：黎曼ζ函數(shù)所有非平凡零點的實部都是二分之一，或者說黎曼ζ函數(shù)在1/2<x<1這一區(qū)域內沒有零點。這就是黎曼猜想。 隨后的數(shù)學家們，在前人的基礎上繼續(xù)前進。 數(shù)學家Dirichlet引入了狄利克雷L函數(shù)。 
對于這個函數(shù)，也有一個猜想：狄利克雷L函數(shù)在1/2<x<1這一區(qū)域內沒有零點。這就是廣義黎曼猜想。 可以證明，L函數(shù)在σ=1時沒有零點，因而可以證明等差數(shù)列上的素數(shù)定理。 但數(shù)學家們希望繼續(xù)縮減L函數(shù)的非平凡零點的存在區(qū)域。有人證明出，L函數(shù)的非平凡零點基本上都能落在下面公式中的區(qū)域： 
如果所有非平凡零點都滿足，就可以證明帶余項的等差數(shù)列素數(shù)定理。 但是朗道發(fā)現(xiàn)，當X滿足特殊性質時，其對應的L函數(shù)可能會出現(xiàn)落在上面公式之外的異常零點。 不過朗道縮小了范圍，他證明了L函數(shù)在下面這個區(qū)域中最多只有一個零點，而且這個零點一定是實數(shù)，階數(shù)只能是1。這個零點就被稱為西格爾零點。 
數(shù)學家們希望證明的是，西格爾零點不存在，這就是朗道-西格爾零點猜想。 如果能夠證明朗道-西格爾零點猜想，那么數(shù)論研究中的很多問題就不必再排除西格爾零點。 而張益唐的研究，就在極大范圍內排除了朗道—西格爾零點的存在。
在10月15日北大校友線上會議上，張益唐這樣說：「雖然是一個弱一點的形式，但本質上已經(jīng)是解決了朗道—西格爾零點問題?！?/span>此言一出，就引發(fā)了數(shù)學圈的大地震。如果他證明了朗道-西格爾零點存在，那么黎曼猜想就完全被否定了，這種可能性太小，因此大家當時的猜測是，張益唐要證明的應該是是朗道-西格爾零點不存在。這篇論文結果意義重大，它使得以前的很多結果從假設性結果變成了確定性結果。據(jù)澎湃新聞援引一位數(shù)論學者的解釋，以往的很多論文，要假設朗道-西格爾零點猜想成立（也即假設西格爾零點不存在）。換句話說，這次張益唐的新論文雖然沒有排除掉西格爾零點存在的可能性，但其排除掉的范圍足夠涵蓋很多以往論文所需的范圍。
早在2007年5月，張益唐就曾在預印本網(wǎng)站arxiv提交了一篇標題為《論朗道-西格爾零點猜想》（On the Landau-Siegel Zeros Conjecture）論文，但里面的論證有些地方尚需完善。https:///pdf/0705.4306.pdf這次的新論文，在很大程度上完善和補充了2007版論文的結論和成果。根據(jù)知乎答主「gujurat」的介紹，這次張益唐論文的主要成果，首先是L函數(shù)在1點處的下界估計，下界從D的負方冪改進到log D的負方冪。其次是有關于實軸上非零區(qū)域的直接推論，常數(shù)是effecitive，說明方法上有本質變化。相比于張益唐教授2007年發(fā)布的一版論文，這次可謂對07版的一次修補，論文也從07年版的54頁擴到現(xiàn)在2022年版的111頁。如果要完整證明LS零點不存在，需要Theorem 2里面指數(shù)取到-1，所以現(xiàn)階段還沒有「完整」解決LS零點猜想。在論文最后，張教授也表示Theorem 1里的指數(shù)-2022可能取到更大的負數(shù)值，但很難取到-1。總的來說，完整解決郎道-西格爾零點猜想，無論是證明還是證否，都太過超前。好消息是，從論文成果來看，張教授的最新論文比07年的版本有革命性的改進，至于論文究竟能取得多大的進展，還得等專業(yè)人士審稿之后才能確定。
2019年，在香港中文大學舉辦的「大師講堂」上，張益唐介紹了朗道-西格爾零點問題的歷史和應用，并解釋為何這個問題這么重要，并且難以解決。根據(jù)香港中文大學（深圳）整理的資料，張益唐本人是這樣介紹的：不過，目前很快即將發(fā)表的Arxiv預印本論文，距離正式登上數(shù)學界頂刊發(fā)表，尚待同行評議。
之前分析這篇論文意義的數(shù)論學者認為，這個評議過程可能會持續(xù)幾個月。論文從2007年版的54頁，擴到現(xiàn)在2022年版的111頁，審稿會是一個大工作。像這種論文，即使是頂尖的專業(yè)人士，把論文全部細節(jié)推一遍也得幾個月。11月8日，張益唐將會面向北大師生專門做一場學術報告，B站會有同步直播，感興趣的小伙伴可以關注起來。圖源：北京大學數(shù)學科學學院官網(wǎng) https://www.zhihu.com/question/564799818https:///questions/433949/consequences-resulting-from-yitang-zhangs-latest-claimed-results-on-landau-sieghttps://mp.weixin.qq.com/s/7cbydb_2vYSLzpiQ6Qb2lwhttps://mp.weixin.qq.com/s/OgOsgp2wklSw86LQSnpuAAhttps://www.zhihu.com/question/360965839/answer/2113995432本文多處參考了知乎答主「gujurat」對該論文內容和意義的洞見和分析，在此表示感謝！
|
