本文以?xún)傻篮?5o角的中考試題為載體，分析這類(lèi)問(wèn)題的共同特點(diǎn)和解法，供同學(xué)們參考.

一、試題呈現(xiàn)

上面的兩道中考填空題，雖然形式上不太一樣，但是有著一個(gè)共同的特點(diǎn)，都存在一個(gè)45o的特殊角.因此，如何利用45o角成為了解題的突破口，45o角的兩邊與軸的交點(diǎn)都形成了一個(gè)類(lèi)似的三角形，因此這兩道題有著如下的共同解法.

二、解法展示

1.構(gòu)造 “三角形的高”，回到勾股定理

【分析】遇到直角問(wèn)題，有時(shí)要回歸到勾股定理，利用勾股定理能夠列出方程.尤其在折疊問(wèn)題中，我們經(jīng)常會(huì)利用勾股定理構(gòu)造方程.本題中依靠∠CPA=45°構(gòu)造等腰直角三角形，同時(shí)得到△POA：△CDA ，一箭雙雕.

2.構(gòu)造“四點(diǎn)共圓”，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式

【分析】“四點(diǎn)共圓”是一種常見(jiàn)的基本圖形，它可以運(yùn)用同弧所對(duì)的圓周角相等，半徑相等直徑所對(duì)的圓周角是直角等一系列知識(shí)點(diǎn)，靈活多變.

【分析】 “半角模型”也是一種常見(jiàn)的基本圖形，這類(lèi)問(wèn)題一般利用旋轉(zhuǎn)完成，可以得到全等三角形，進(jìn)而得到線段之間的關(guān)系.

4.構(gòu)造“角平分線”，運(yùn)用內(nèi)角平分線的性質(zhì)

【分析】由于45o是90o的一半，構(gòu)造了角平分線，恰好可以利用三角形內(nèi)角平分線的基本性質(zhì)，45o這一條件，讓人產(chǎn)生了很多遐想，補(bǔ)全直角也是一種常見(jiàn)的手段.

5.構(gòu)造“一線三等角”，利用相似三角形

【分析】 “一線三等角”是一種常見(jiàn)的建立三角形相似的方法.該模型在這兩小題的應(yīng)用中看上去有些異常，一個(gè)只有兩等角，另一個(gè)根本不存在等角，所以我們利用45o的角去構(gòu)造等腰直角三角形，形成“一線三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本性質(zhì)列出方程.

6.構(gòu)造“三垂型”模型，利用全等三角形

【分析】 “三垂型”模型是一個(gè)基本圖形.該模型不僅可以找到全等的三角形，也可以用來(lái)證明勾股定理.看到45o角可以構(gòu)造等腰直角三角形，進(jìn)而形成“三垂型”模型.

解題反思

1.活用解題模型，呈現(xiàn)多樣解法

2.抓住問(wèn)題本質(zhì)，學(xué)會(huì)異中求同

3.明確解題方向，確定解題途徑