例題：在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD互相垂直且相等，若∠BAD=105度，AD=4根號(hào)2，DC=13。請(qǐng)求出AB的長(zhǎng)度。

審題：此題中有兩對(duì)角線互相垂直且相等，此條件的轉(zhuǎn)化應(yīng)該成為我們解題的關(guān)鍵點(diǎn)之一，我們可以通過(guò)平移構(gòu)造出等腰直角三角形；另外105度這個(gè)條件如何使用，是我們解題的關(guān)鍵點(diǎn)之二，我們發(fā)現(xiàn)105度=45度+60度，故需要構(gòu)造出含有這些角度的特殊三角形，也就是含45度的直角三角形和含60度的直角三角形。

思路1：通過(guò)平移AC構(gòu)造等腰直角三角形，然后再構(gòu)造手拉手模型。

解法1：過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC且使DE=AC，連接BE，AE。顯然四邊形ACDE為平行四邊形，⊿DBE為等腰直角三角形。再以AD為一直角邊作等腰直角三角形ADF，其中DA=DF，這樣手拉手模型就構(gòu)造出來(lái)了。顯然有⊿DAE≌⊿DFB。所以FB=AE=DC=13，AF=8，∠BAF=60度。再過(guò)F作FG⊥AB于G，則AG=4，F(xiàn)G=4倍根號(hào)3.于是由勾股定理得BG=11。故AB=4+11=15。

思路2：通過(guò)平移AC構(gòu)造等腰直角三角形，然后再構(gòu)造手拉手模型。

解法2：過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC且使DE=AC，連接BE，AE。顯然四邊形ACDE為平行四邊形，⊿DBE為等腰直角三角形。再以AD為一直角邊作等腰直角三角形ADF，其中DA=DF，這樣手拉手模型就構(gòu)造出來(lái)了。顯然有⊿DEF≌⊿DBA。所以AB=EF，∠DFE=105度。在⊿AEF中，AE=DC=13，AF=8，∠AFE=60度。再過(guò)A作AG⊥EF于G，則FG=4，AG=4倍根號(hào)3.于是由勾股定理得EG=11。則EF=4+11=15，故AB=EF=15。

思路3：通過(guò)平移AC構(gòu)造等腰直角三角形，然后再構(gòu)造手拉手模型。

解法3：過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC且使DE=AC，連接CE，顯然四邊形ACDE為平行四邊形， ⊿DBE為等腰直角三角形。再以AD為一直角邊作等腰直角三角形ADF，其中DA=DF， 這樣手拉手模型就構(gòu)造出來(lái)了，顯然有⊿DEF≌⊿DBA。在⊿DFB與⊿ECD中，易證BD=DE，F(xiàn)D=DA=CE，∠BDF=∠OAD=∠CED，所以⊿DFB≌⊿ECD，則BF=DC=13。在⊿ABF中，BF=13，AF=8，∠BAF=60度。再過(guò)F作FG⊥AB于G，則AG=4，F(xiàn)G=4倍根號(hào)3.于是由勾股定理得BG=11。故AB=11+4=15。

思路4：通過(guò)平移BD構(gòu)造等腰直角三角形，然后再構(gòu)造手拉手模型。

解法4：過(guò)點(diǎn)A作AE∥DB且使AE=DB，連接BE，顯然四邊形AEBD為平行四邊形， ⊿AEC為等腰直角三角形。再以AD為一直角邊作等腰直角三角形ADF，其中AF=AD， 這樣手拉手模型就構(gòu)造出來(lái)了，顯然有⊿AEF≌⊿ACD。在⊿AEB與⊿CAF中，易證EA=AC，EB=DA=AF，∠AEB=∠ADB=∠FAC，所以⊿AEB≌⊿CAF，則CF=AB，∠AFC=∠DAB=105度。在⊿CDF中，CD=13，DF=8，∠DFC=60度。再過(guò)D作DG⊥CF于G，則FG=4，DG=4倍根號(hào)3.于是由勾股定理得CG=11，則FC=11+4=15。故AB=CF=15。

思路5：通過(guò)平移AC構(gòu)造等腰直角三角形，然后再構(gòu)造手拉手模型。

解法5：過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC且使BE=AC，連接CE，顯然四邊形ACEB為平行四邊形， ⊿DBE為等腰直角三角形。再以AD為一直角邊作等腰直角三角形ADF，其中AF=AD， 這樣手拉手模型就構(gòu)造出來(lái)了，顯然有⊿DEF∽⊿DBA，其相似比為根號(hào)2（其本質(zhì)就是⊿DBA繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度，并放大根號(hào)2倍，得到⊿DEF） ，故∠DFE=∠DAB=105度，EF=根號(hào)2倍AB，AB與EF的夾角∠BHE=45度。因?yàn)樗倪呅蜛CEB為平行四邊形，所以CE=AB，則EF就是CE的根號(hào)2倍。由AB∥CE得∠CEF=∠BHE=45度。于是⊿CEF就是等腰直角三角形。所以CF=CE=AB。在⊿CDF中，DC=13，DF=8，∠BAF=60度。過(guò)D作DG⊥CF于G，則FG=4，DG=4倍根號(hào)3.于是由勾股定理得CG=11。故FC=11+4=15。故AB=15。

思路6：通過(guò)平移BD構(gòu)造等腰直角三角形，然后再構(gòu)造手拉手模型。

解法6：過(guò)點(diǎn)C作CE∥DB且使CE=DB，連接BE，顯然四邊形CDBE為平行四邊形， ⊿ACE為等腰直角三角形。再以AD為一直角邊作等腰直角三角形ADF，其中DA=DF， 這樣手拉手模型就構(gòu)造出來(lái)了，顯然有⊿AEF∽⊿ACD，其相似比為根號(hào)2（其本質(zhì)就是⊿ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度，并放大根號(hào)2倍，得到⊿AEF） ，故EF=根號(hào)2倍CD，DC與EF的夾角∠EHC=45度。因?yàn)樗倪呅蜛CEB為平行四邊形，所以CE=AB，則EF就是CE的根號(hào)2倍。由BE∥CD得∠BEF=∠CHE=45度。于是⊿BEF就是等腰直角三角形。所以EF就是BE的根號(hào)2倍，則BF=CD=13。在⊿ABFF中，BF=13，AF=8，∠BAF=60度。過(guò)F作FG⊥AB于G，則AG=4，F(xiàn)G=4倍根號(hào)3.于是由勾股定理得BG=11。故AB=11+4=15。