初中奧數(shù)精講——第23講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

一個大風(fēng)子 2021-08-20

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本講適用于初一、初二、初三，因為我們的奧數(shù)講解主要帶著學(xué)生學(xué)習(xí)有深度、新穎、競賽性的奧數(shù)知識和題目，所以只要有課堂上基本的知識儲備，都可以一起來學(xué)習(xí)，相信對你的奧數(shù)、數(shù)學(xué)思維，解題思路都大有裨益。

抖音號 “數(shù)學(xué)奧數(shù)思維拓展” 1059021292，持續(xù)更新的相關(guān)視頻講解。

一、知識點解析

1. 公約數(shù)與最大公約數(shù)

整數(shù)a和b公有的約數(shù)，叫做a和b的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個叫做最大公約數(shù)，記作d=(a,b).

類似地，若a1，a2，…，an是不全為零的整數(shù)，則它們的最大公約數(shù)記作

d=(a1, a2, …,an)。特別地，如果(a1, a2, …,an)=1，則稱a1，a2，…，an是互質(zhì)的數(shù)，簡稱互質(zhì)或互素。注意互質(zhì)的數(shù)和質(zhì)數(shù)、兩兩互質(zhì)的數(shù)這三個概念的區(qū)別。互質(zhì)的數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，也不一定是兩兩互質(zhì)的數(shù)，但n個質(zhì)數(shù)一定是互質(zhì)的數(shù)，且是兩兩互質(zhì)的數(shù)。

2. 公倍數(shù)和最小公倍數(shù)

整數(shù)a和b公有的倍數(shù)，叫做a和b的公倍數(shù)。其中最小的公倍數(shù)記作

[a,b]=m.

類似地，若a1，a2，…，an均是正整數(shù)，則它們的最小公倍數(shù)記作[a1，a2，…，an]=m.

注意符號(a,b)和[a,b]是用式子表示的一個數(shù)。

3. 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的性質(zhì)

（1）若a，b是正整數(shù)，(a,b)和[a,b]分別表示它們的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，則有(a,b) [a,b]=ab.

（2）若a，b是正整數(shù)，且(a,b)=d, [a,b]=m，則(ka,kb)=kd，[ka,kb]=km.

（3）若a，b是自然數(shù)，且a-b>0，那么(a,b)=(a±b,b).

4. 求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法

（1）將每個數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)的乘積，這些數(shù)中相同因數(shù)的最低次冪的積就是這些數(shù)的最大公約數(shù)。

（2）若有兩個整數(shù)a，b (a≥b)，用b去除a，若不能整除，得余數(shù)r1，再用r1去除b，如仍不能整除，得余數(shù)r2，再用r2去除r1.。。。直到余數(shù)等于零為止，最后一個不為零的余數(shù)就是所求的a，b的最大公約數(shù)。這種方法叫輾轉(zhuǎn)相除法，又叫歐幾里得算法。

（3）將每個數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)的乘積，這些數(shù)中各質(zhì)因數(shù)的最高次冪的乘積就是這些數(shù)的最小公倍數(shù)。

這部分主要考察學(xué)生的對最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的了解及掌握，這部分屬于數(shù)論部分的綜合知識，這部分需要對代數(shù)、因式分解有足夠的知識了解，題型變化多，要夯實基礎(chǔ)，才能保證在最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的學(xué)習(xí)上趕超別人，讓我們在例題和解答中一起學(xué)習(xí)吧。