在公務(wù)員考試中，數(shù)的整除性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在運算里，同時在行程、工程等問題中，很多時候都需要用到整除性質(zhì)。整除問題一般只考兩個方面，考生只需牢牢掌握這兩個方面，便可輕松搞定這類問題。

 
    【核心點撥】

　　1.題型簡介

　　數(shù)的整除性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)運算里。一般情況下題目會給出某個N位數(shù)能被M個數(shù)整除的已知條件，求解這個N位數(shù)。

　　2.核心知識

　　如果a、b、c為整數(shù)，b≠0，且a÷b=c，稱a能被b整除（或者說b能整除a）。

　　數(shù)a除以數(shù)b（b≠0），商是整數(shù)或者有限小數(shù)而沒有余數(shù)，稱a能被b除盡（或者說b能除盡a）。

　　整除是除盡的一種。

　　（1）整除的性質(zhì)

　　A.如果數(shù)a和數(shù)b能同時被數(shù)c整除，那么a±b也能被數(shù)c整除。

　　如：36，54能同時被9整除，則它們的和90、差18也能被9整除。

　　B.如果數(shù)a能同時被數(shù)b和數(shù)c整除，那么數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的最小公倍數(shù)整除。

　　如：63能同時被3、7整除，則63也能被3和7的最小公倍數(shù)21整除。

　　C.如果數(shù)a能被數(shù)b整除，c是任意整數(shù)，那么積ac也能被數(shù)b整除。

　　如：58能被29整除，則58乘以任意整數(shù)的積，例如58×5，也能被29整除。

　　D.平方數(shù)的尾數(shù)只能是0、1、4、5、6、9。

　　E.若一個數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)的積整除，那么這個數(shù)也能分別被這兩個互質(zhì)數(shù)整除。

　　F.若一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。

　　（2）整除特征

表1 常見數(shù)字整除的數(shù)字的特性表

 

　　3.核心知識使用詳解

　?。?）三個連續(xù)的自然數(shù)之和（積）能被3整除。

　　（2）實際生活中很多事物的數(shù)量是以整數(shù)為基礎(chǔ)來計量的，這一點在解題的過程中需要考生自己來發(fā)掘。

　　在公務(wù)員的考試中，公約數(shù)與公倍數(shù)問題考查點只有兩種類型。無論生活場景如何改變，同學(xué)只要牢牢把握這兩種類型，就能輕松搞定公約數(shù)與公倍數(shù)問題。

 
    【核心點撥】

　　1.題型簡介

　　（1）約數(shù)與倍數(shù)

　　若數(shù)a能被b整除，則稱數(shù)a為數(shù)b的倍數(shù)，數(shù)b為數(shù)a的約數(shù)。其中，一個數(shù)的最小約數(shù)是1，最大約數(shù)是它本身。

　　（2）公約數(shù)與最大公約數(shù)

　　幾個自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公約數(shù)。

　　公約數(shù)中最大的一個，稱為這幾個自然數(shù)的最大公約數(shù)。

　　（3）公倍數(shù)與最小公倍數(shù)

　　幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù)。

　　公倍數(shù)中最小的一個，稱為這幾個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。

　　考試題型一般是已知兩個數(shù)，求它們的最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)。

　　2.核心知識

　　（1）兩個數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

　　一般采用短除法，即用共同的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，直到所得的商互質(zhì)為止。

　　A、把共同的質(zhì)因數(shù)連乘起來，就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。

　　B、把共同的質(zhì)因數(shù)和各自獨有的質(zhì)因數(shù)連乘起來，就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。

　　如：求24、36的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。

　　24、36的最大公約數(shù)為其共同質(zhì)因數(shù)的乘積，即：

        2×2×3=12；

　　24、36的最小公倍數(shù)為其共同質(zhì)因數(shù)及獨有質(zhì)因數(shù)的乘積，即：

        （2×2×3）×（2×3）=72。

　　（2）三個數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

　　A.求取三個數(shù)的最大公約數(shù)時，短除至三個數(shù)沒有共同的因數(shù)(除1外)，然后把所有共同的質(zhì)因數(shù)連乘起來。

　　B.求取三個數(shù)的最小公倍數(shù)時，短除到三個數(shù)兩兩互質(zhì)，然后把共同的質(zhì)因數(shù)和各自獨有的質(zhì)因數(shù)連乘起來。

　　如：求24、36、90的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。

　　3.核心知識使用詳解

　 （1）兩個數(shù)如果存在著倍數(shù)關(guān)系，那么較小的數(shù)就是其最大公約數(shù)，較大的數(shù)就是其最小公倍數(shù)。

　 （2）互質(zhì)的兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。

　 （3）利用短除法求取三個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時要注意二者的區(qū)別：求取三個數(shù)的最大公約數(shù)時，只需短除到三個數(shù)沒有共同的因數(shù)（除l外）即可;而求取三個數(shù)的最小公倍數(shù)時，需要短除到三個數(shù)兩兩互質(zhì)為止。

　　公務(wù)員考試中余數(shù)問題一般只有兩種類型，只要理解題目，掌握解題的基本方法，便能輕松搞定這類問題。

 

    【核心點撥】

　　1.題型簡介

　　公務(wù)員考試中常見的題型是給出相關(guān)的已知條件，計算出余數(shù)。

　　2.核心知識

　　被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)（都是正整數(shù)）

　　（1）一個被除數(shù)，多個除數(shù)

　　A.基本形式——中國剩余定理

　　原型：

　　《孫子算經(jīng)》記載：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”

　　基本解法——層層推進(jìn)法：

　　以上題為例，滿足除以3余2的最小數(shù)為2；

　　在2的基礎(chǔ)上每次加3，直到滿足除以5余3，這個最小的數(shù)為8；

　　在8的基礎(chǔ)上每次加3、5的最小公倍數(shù)15，直到滿足除以7余2，這個最小的數(shù)為23。

　　所以滿足條件的最小自然數(shù)為23，而3、5、7的最小公倍數(shù)為105，故滿足條件的數(shù)可表示為105n+ 23（n=0，1，2，…）。

　　B.特殊形式——余同、和同、差同

　　特殊形式的口訣：余同取余，和同加和，差同減差，最小公倍數(shù)為最小周期。

　　（2）多個被除數(shù)，一個除數(shù)

　　A.同余

　　兩個整數(shù)a、b除以自然數(shù)m(m>1)，所得余數(shù)相同，則稱整數(shù)a、b對自然數(shù)m同余，記做

    （cmod m）。例如：23除以5的余數(shù)是3，18除以5的余數(shù)也是3，則稱23與18對于5同余。

　　同余的特殊性質(zhì)：在同余的情況下（a-b）必能被m整除，所得的商為兩數(shù)商之差。例如：
 

 

    那么

 

　　B.不同余

　　兩個整數(shù)a、b除以自然數(shù)m（m>1），所得余數(shù)不相同，則稱整數(shù)a、b對自然數(shù)m不同余。

　　同余和不同余的三個重要的性質(zhì)——可加性，可減性，可乘性。

　　對于同一個除數(shù)m，兩個數(shù)和的余數(shù)等于余數(shù)的和，兩個數(shù)差的余數(shù)等于余數(shù)的差，兩個數(shù)積的余數(shù)等于余數(shù)的積。

　　3.核心知識使用詳解

　 （1）一個數(shù)被2（或5）除得到的余數(shù)，就是其末一位數(shù)字被2（或5）除得到的余數(shù)。

　 （2）一個數(shù)被4（或25）除得到的余數(shù)，就是其末兩位數(shù)字被4（或25）除得到的余數(shù)。

　 （3）一個數(shù)被8（或125）除得到的余數(shù)，就是其末三位數(shù)字被8（或125）除得到的余數(shù)。

　　奇偶性和質(zhì)合性問題在公務(wù)員的考試中，一般只考兩種類型。無論生活場景如何改變，同學(xué)只要牢牢把握這兩種類型的性質(zhì)，就能輕松搞定奇偶性和質(zhì)合性問題。

 
    【核心點撥】

　　1.題型簡介

　　公務(wù)員考試中，利用奇偶性與質(zhì)合性解決問題，一般都是在具體情境中結(jié)合其他知識一起考查的，很少單獨考查，但對于單獨考查的這類問題，考生也不能掉以輕心。

　　2.核心知識

　　（1）奇偶性

　　奇  數(shù)：不能被2整除的整數(shù)。

　　偶  數(shù)：能被2整除的整數(shù)（需特別注意的是：0是偶數(shù)）

　　奇數(shù)和偶數(shù)的運算規(guī)律：

　　奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù);

　　偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù);偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù);

　　奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù);奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。

　　（2）質(zhì)合性

　　質(zhì)  數(shù)：如果一個大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除，那么這個正整

　　數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(質(zhì)數(shù)也稱素數(shù))，如2、3、5、7、11、13……

　　合  數(shù)：一個正整數(shù)除了能被l和它本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除，

　　這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)，如4、6、8、9、10……

　　“1”既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。

　　3.核心知識使用詳解

　 （1）兩個連續(xù)自然數(shù)之和（或差）必為奇數(shù)。

　 （2）兩個連續(xù)自然數(shù)之積必為偶數(shù)。

　 （3）乘方運算后，數(shù)字的奇偶性保持不變。

　　如：a為奇數(shù)（偶數(shù)），則an（n為正整數(shù)）為奇數(shù)（偶數(shù)）。

　?。?）2是唯一一個為偶數(shù)的質(zhì)數(shù)。

　　如果兩個質(zhì)數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，那么其中必有一個數(shù)是2；

　　公務(wù)員考試中數(shù)學(xué)問題一般只有兩種類型，無論情景如何改變，同學(xué)只要牢牢把握這兩種類型，就能輕松搞定數(shù)字問題。

　　【核心點撥】

    1.題型介紹

　　數(shù)字問題是研究有關(guān)數(shù)字的特殊結(jié)構(gòu)、特殊關(guān)系以及數(shù)字運算中變換問題的一類問題，相對來說，難度較大。通常情況下題目會給出某個數(shù)各個位數(shù)關(guān)系，求這個數(shù)為多少。

　　2.核心知識

　　（1）數(shù)字的拆分

　　是將一個數(shù)拆分成幾個因數(shù)相乘或者相加的形式，經(jīng)常需要綜合應(yīng)用整除性質(zhì)、奇偶性質(zhì)、因式分解、同余理論等。

　　（2）數(shù)字的排列與位數(shù)關(guān)系