列舉出本講2個知識難點：1)關(guān)于最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)的應用；2）余數(shù)    

一個整數(shù)的約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和的計算方法,兩數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之間的關(guān)系,分數(shù)的最小公倍數(shù).涉及一個整數(shù)的約數(shù),以及若干整數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的問題,其中分解質(zhì)因數(shù)發(fā)揮著重要作用。

余數(shù)主要是求余數(shù)、剩余定理的應用（強調(diào)迭代解法）。

【例題】

1、數(shù)360的約數(shù)有多少個?這些約數(shù)的和是多少?

    【分析與解】  360分解質(zhì)因數(shù):360=2×2×2×3×3×5=2^3×3^2×5；

    360的約數(shù)可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整數(shù),且a為0～3,6為0～2,c為0～1)．

因為a、b、c的取值是相互獨立的,由計數(shù)問題的乘法原理知,約數(shù)的個數(shù)為(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．

    我們先只改動關(guān)于質(zhì)因數(shù)3的約數(shù),可以是l,3,3^2,它們的和為(1+3+3^2),所以所有360約數(shù)的和為(1+3+3^2)×2y×5w；

    我們再來確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)2的約數(shù),可以是l,2,2^2,2^3,它們的和為(1+2+2^2+2^3)，所以所有360約數(shù)的和為(1+3+3^2)×(1+2+2^2+2^3)×5w；

    最后確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)5的約數(shù),可以是1,5,它們的和為(1+5),所以所有360的約數(shù)的和為(1+3+3^2)×(1+2+2^2+2^3)×(1+5)．

    于是,我們計算出值:13×15×6=1170．

    所以,360所有約數(shù)的和為1170．

    評注:我們在本題中分析了約數(shù)個數(shù)、約數(shù)和的求法.下面我們給出一般結(jié)論：

    I.一個合數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在嚴格分解質(zhì)因數(shù)之后,將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后

所得的乘積.如:1400嚴格分解質(zhì)因數(shù)后為23×52×7,所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個.(包括1和它自身)

   Ⅱ.約數(shù)的和是在嚴格分解質(zhì)因數(shù)后,將M的每個質(zhì)因數(shù)最高次冪的所有約數(shù)的和相乘所得到的積．如：21000=2^3×3×5^3×7,所以21000所有約數(shù)的和為(1+2+2^2+2^3)×(1+3)×(1+5+5^2+5^3)×(1+7)=74880．

2、寫出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)．

   【分析與解】  一個合數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在嚴格分解質(zhì)因數(shù)之后,將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積.如:1400嚴格分解質(zhì)因數(shù)后為2^3×5^2×7,所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個.(包括1和它自身)

    如果某個自然數(shù)有奇數(shù)個約數(shù),那么這個數(shù)的所有質(zhì)因子的個數(shù)均為偶數(shù)個.這樣它們加1后均是奇數(shù),所得的乘積才能是奇數(shù).而所有質(zhì)因數(shù)的個數(shù)均是偶數(shù)個的數(shù)為完全平方數(shù).即完全平方數(shù)(除0外)有奇數(shù)個約數(shù),反過來,有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)一定是完全平方數(shù)．    

    由以上分析知,我們所求的為360～630之間有多少個完全平方數(shù)?

    18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之間的完全平方數(shù)為192,202,212,222,232,242,252．

即360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)為361,400,441,484,529,576,625．

補充：需要記住的是20以內(nèi)的平方運算結(jié)果。 11×11=121,12×12=144,13×13=169,14×14=256，15×15=225,16×16=256,17×17=289,18×18=324，19×19=361。

3、有甲、乙、丙3人,甲每分鐘行走120米,乙每分鐘行走100米,丙每分鐘行走70米.如果3個人同時同向,從同地出發(fā),沿周長是300米的圓形跑道行走,那么多少分鐘之后,3人又可以相聚?

   法一：（設時間，從路程差考慮）設在x分鐘后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了l00x米,丙走了70x米,他們3人之間的路程差均是跑道長度的整數(shù)倍．

    即120x-100x,120x-70x,l00x-70x均是300的倍數(shù),那么300就是20x,50x,30x的公約數(shù)．

    有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=10x,所以x=30．

    即在30分鐘后,3人又可以相聚．

法二：可以直接從時間思考。我們知道甲第一次與乙相遇耗時：300÷（120-100）=15（分鐘），乙第一次與丙相遇耗時：300÷（100-70）=10（分鐘）。既然要求3人相聚，說明只需要求出15與10的最小公倍數(shù)即可，即[10，15]=30（分鐘）。

【變題】：上題三人在同一地點，現(xiàn)三個人不在同一地點出發(fā)。

題目如下：有甲、乙、丙3人,甲每分鐘行走120米,乙每分鐘行走100米,丙每分鐘行走60米.甲乙丙按逆時針方向分布在一環(huán)形跑道的三等分點，3個人同時逆時針行走,圓形跑道周長是300米,那么多少分鐘之后,3人又可以相聚?
      【分析】：

甲第一次追上乙時，耗時：100÷（120-100）=5（分鐘），而后再遇上乙時耗時：300÷（120-100）=15（分鐘），因而甲追上一時時間可以寫成：5+15m分鐘（其中m=0，1，2，……）；

同樣：乙第一次追上丙時，耗時：100÷（100-60）=2.5（分鐘），而后再遇上丙時耗時：300÷（100-60）=7.5（分鐘），因而乙追上丙的時間可以寫成：2.5+7.5n分鐘（其中n=0，1，2，……）；

      現(xiàn)要求三人相遇，即要求：5+15m=2.5+7.5n，變形后：3（n-3m）=1，很顯然我們可以看出，這種情況是不存在的，故三人不可能相聚。

      評注:三人在同一地點出發(fā)，求三人相遇的問題。對于這樣的問題，從時間角度出發(fā)，只要求出兩兩相遇的時間，而后求他們的最小公倍數(shù)即可。而若三人不在同一地點時，就需要對兩兩相遇時間進行單獨分析，找出時間的重合點。若是三人的地理位置或是速度之間沒有整數(shù)解得話，就有可能出現(xiàn)三人不會相遇的情況。

     4、（講義例6，題目省略）
 

所以,6小時后,3人第一次同時回到出發(fā)點.

評注:給出求分數(shù)的最小公倍數(shù)的一般方法。求一組分數(shù)的最小公倍數(shù),先將這些分數(shù)化為最簡分數(shù),將分子的最小公倍數(shù)作為新分數(shù)的分子,將分母的最大公約數(shù)作為新分數(shù)的分母,這樣得到的新分數(shù)即為所求的最小公倍數(shù)；

求一組分數(shù)的最大公約數(shù),先將這些分數(shù)化為最簡分數(shù),將分子的最大公約數(shù)作為新分數(shù)的分子,將分母的最小公倍數(shù)作為新分數(shù)的分母,這樣得到的新分數(shù)即為所求的最大公約數(shù).

5、甲數(shù)和乙數(shù)的最大公約數(shù)是6最小公倍數(shù)是90.如果甲數(shù)是18,那么乙數(shù)是多少？

   【分析與解】  有兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩數(shù)的乘積。即： [a,b]×(a,b)=ab
有它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積為6×90=540，則乙數(shù)為540÷18=30．

6、A,B兩數(shù)都僅含有質(zhì)因數(shù)3和5,它們的最大公約數(shù)是75.已知數(shù)A有12個約數(shù)，數(shù)B有10個約數(shù)，那么A,B兩數(shù)的和等于多少?

  【分析與解】  由題中條件知A、B中有一個數(shù)質(zhì)因數(shù)中出現(xiàn)了兩次5,多于一次3,那么,先假設它出現(xiàn)了N次3,則約數(shù)有:(2+1)×(N+1)=3×(N+1)個.

    12與10其中只有12是3的倍數(shù),所以3(N+1)=12,易知N=3,這個數(shù)是A，即A=3^3×5^2=675．

    那么B的質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)了一次3,多于兩次5,則出現(xiàn)了M次5,則有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．

那么A,B兩數(shù)的和為675+1875=2550．

7、(例5，題目省略)

【分析與解】  設這兩數(shù)為a,b,記a=d·a1,b=d·b1．其中(a,b)=d，（a1,b1）=1.

它們的和為:a+b=d·al+d·b1=d·(a1+b1)=54………①

 它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差為：[a,b]-(a,b)=d·a1·b1-d=d·(a1b1-1)=114………②

     綜合①、②知d是54,114的公約數(shù),而(54，114)=6,所以d可以是1,2,3,6．

    第一種情況:d=1,則(a1+b1)=54,(a1·b1-1)=114,即a1·b1=115=5×23,無滿足條件的a1,b1；

    第二種情況d=2,則(a1+b1)=27,(a1·b1-1)=57,即a1·b1=58=2×29,無滿足條件的a1,b1；   

    第三種情況:d=3,則(a1+b1)=18,(a1·b1-1)=38,即a1·b1=39=3×13,無滿足條件的a1,b1；  

    驗證最后一種情況：d=6,則(a1+b1)=9,(a1·b1-1)=19,即a1·b1=20=2^2×5,最后求得a1=4,b1=5；

    所以,這個兩個自然數(shù)a=d·a1=6×4=24,b=d·b1=6×5=30．

評注:求解關(guān)于兩數(shù)時，若是結(jié)合最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)時，一般要求我們同學學會設（ 設這兩數(shù)為a,b,記a=d·a1,b=d·b1．其中(a,b)=d，（a1,b1）=1.），分別求出這些字母，所有的問題也就迎刃而解了。

8、求解2^2003+143^98除以7的余數(shù)。

【分析與解】 這是一道尋找周期的問題，或者認為是余數(shù)三大定理的應用（加法定理、乘法定理和同余定理）。

先求出2^2003÷7的余數(shù)：2÷7=……2；2^2÷7=……4；2^3÷7=……1；2^4÷7=……2；2^5÷7=……4；2^6÷7=……1;……
可知：每3個數(shù)形成1周期，則：2003÷7=……1,即求出2^2003÷7=……2；

同理解決143^98除以7的余數(shù)，注意的是143與3關(guān)于7同余（即143≡3，mod 7）,先將143^98進行轉(zhuǎn)化為3^98，避免了計算麻煩：3÷7=……3；3^2÷7=……2；3^3÷7=……6；3^4÷7=……4；3^5÷7=……5；3^6÷7=……1;……。每6個數(shù)形成1周期，則：98÷7=……0,即求出143^98÷7=……1

由加法原理：（2^2003+143^98）÷7=……2+0=2.

9、求7^2011÷31的 余數(shù)。

【分析與解】 這道問題尋找周期很麻煩，原因是只有32÷31=……2，而2^5=32。因而可以7^2011往2進行轉(zhuǎn)化。

法一：

7÷31=……7，7^2÷31=……18，7^3÷31=……2；7^2010=7^(3×670)。所以求“7^2011÷31”的余數(shù)轉(zhuǎn)化成“2^670×7÷31”的余數(shù)。

找周期（每5個一周期）：2÷31=……2；2^2÷31=……4；2^3÷31=……8；2^4÷31=……16；2^5÷31=……1。

670÷5=……0，即2^670×7÷31=……1×7=7.

法二：費馬小定理：假如p是質(zhì)數(shù)，且(a,p)=1，那么 a^(p-1)÷p=……1

得知：原來這一道題的周期是30。2011÷30=……1，所以7^2011÷31的余數(shù)就是7.

10、斐波那契數(shù)列第997項除以5的余數(shù)是多少？

【分析與解】 了解斐波那契數(shù)列的性質(zhì)和余數(shù)性質(zhì)。

找周期，除以5余數(shù)為：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，……（每20個1周期）.

997÷20=……17，因而余數(shù)是2.

說明：斐波那契數(shù)列是個很有意思的一組數(shù)列，每一項是個整數(shù)，但是他的通項確是一個含有“√”的東西，具體的表示說明意思，以后再表。