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概要

講師介紹

陳為蓬 清華大學(xué)人文學(xué)院 副教授

課程內(nèi)容

• 第1講 什么是邏輯學(xué)？
• 第2講 邏輯學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展
• 第3講 命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式
• 第4講 復(fù)合命題的推理：有效推理形式的判定
• 第5講 復(fù)合命題的推理：命題聯(lián)結(jié)詞的充足集
• 第6講 命題演算：公理系統(tǒng)
• 第7講 命題演算：公理系統(tǒng)，自然演繹系統(tǒng)
• 第8講 基本命題的構(gòu)成
• 第9講 傳統(tǒng)邏輯中基本命題的推理
• 第10講 基本命題的推理
• 第11講 非經(jīng)典邏輯的初步
• 第12講 余論

第1講 什么是邏輯學(xué)？

1.1 “邏輯和邏輯學(xué)

什么是邏輯？

“邏輯”一詞的多種用法:

• “事物發(fā)展有其內(nèi)在的邏輯?！?/li>
• “這個(gè)人為人處世，有他自己的邏輯?！?/li>
• “按照對(duì)方辯友的邏輯，豈不是說.....？”

帝國主義者的邏輯和人民的邏輯是這樣的不同。搗亂，失敗，再搗亂，再失敗，直至滅亡————這就是帝國主義和世界上一切反動(dòng)派對(duì)待人民事業(yè)的邏輯，他們決不會(huì)違背這個(gè)邏輯的。....斗爭，失敗，再斗爭，再失敗，再斗爭，直至勝利一這就是人民的邏輯，他們也是決不會(huì)違背這個(gè)邏輯的?！?毛澤東:《丟掉幻想準(zhǔn)備斗爭》)

上面的邏輯與邏輯學(xué)中的邏輯相差甚遠(yuǎn)，上面更多的是客觀規(guī)律，行為方式。

“邏輯”一詞的另多種用法:

• “說話、寫文章都要講邏輯?！?/li>
• “這篇論文結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯嚴(yán)密?！?/li>
• “他的發(fā)言顛三倒四，邏輯混亂?！?/li>

上面的邏輯與邏輯學(xué)中的邏輯比較接近，但仍然不是邏輯學(xué)中研究對(duì)象。

邏輯(logic)一詞的語源

• 來自希臘語logos (邏各斯) :
• 世界的可理解的規(guī)律;
• 一般的原理和規(guī)則;
• 語言、命題、說明、解釋、論證;
• 理性、理念、推理、推理能力;
• 尺度、關(guān)系、比例、價(jià)值;

“邏輯”一詞的不同含義:

• 客觀事物的規(guī)律性;
• 某種理論、觀點(diǎn)、行為方式;（比如上面毛主席的話）
• 思維的規(guī)律、規(guī)則;（比如文章復(fù)合邏輯）
• 一門學(xué)科，即邏輯學(xué)。

邏輯學(xué)：以推理形式為主要研究對(duì)象的學(xué)科（要與日常中邏輯區(qū)分開來）

1.2 推理和推理形式

推理：從已知條件(前提)得出結(jié)論的過程

例如，偵破案件步驟:

• 提取材料
• 搜集條件
• 得出結(jié)論

偵破案件是一個(gè)推理過程

又例如，法庭審案根據(jù)案卷（關(guān)于案件的材料、已知條件），作出判罰，這也是推理過程。

又例如，數(shù)學(xué)上證明定理：用公理、定理推出新定理，這也是推理過程。

我們?nèi)粘Ｉ钪校唤?jīng)意都會(huì)推理（例如，父母回到家，摸電視背后，感覺有沒有發(fā)燙，判斷小孩在自己進(jìn)門前是否在觀看電視）

推理形式:推理的結(jié)構(gòu)

同類的不同具體推理具有共同的結(jié)構(gòu)，即推理形式。

• 所有金屬都是導(dǎo)體，銅是金屬 -> 銅是導(dǎo)體
• 所有鳥都是卵生的，企鵝是鳥 -> 企鵝是卵生的
• 所有A都是B，C是A -> C是B（共同的結(jié)構(gòu)）

1.3 有效推理形式

• 所有金屬都是導(dǎo)體，銅是金屬 -> 銅是導(dǎo)體（正確）

• 所有A都是B，C是A -> C是B（有效推理形式）

• 所有金屬都是導(dǎo)體，銅是導(dǎo)體 -> 銅是金屬（不正確）（反例：碳是導(dǎo)體）

• 所有A都是B，C是B -> C是A（無效推理形式）

有效推理形式

• 真前提通過有效推理形式只能得到真結(jié)論。
• 即:通過有效推理形式，從真前提不會(huì)得到假結(jié)論。

邏輯：研究推理、推理形式

1.4 邏輯學(xué)的特點(diǎn)

• 抽象性
• 應(yīng)用性
• 工具性

所有的科學(xué)在某種意義上都是某一方面的抽象

數(shù)理邏輯的公理系統(tǒng)中：符號(hào)只是符號(hào)本身，具有非常高的抽象性（也就是具有廣泛應(yīng)用性）

邏輯是一門高度抽象的學(xué)科，應(yīng)用范圍廣。

歐姆定理 U = IR，通過實(shí)驗(yàn)得出。之后可用數(shù)學(xué)求出，可不再用實(shí)驗(yàn)求其中某一值。

數(shù)學(xué)是物理學(xué)和很多學(xué)科的工具。邏輯學(xué)也一樣。

• 因A=B，故B=A 對(duì)
• 因A>B，故B>A 錯(cuò)
• 因A!=B，故B!=A 對(duì)

顯然它們是正確，但“顯然”不靠譜。在邏輯學(xué)上，若兩對(duì)象關(guān)系是對(duì)稱的，則位置可互換，否則，不行。

• 由A=B和B=C，可得A=C。

顯然這是正確。在邏輯學(xué)上，等于號(hào)=具有傳遞的關(guān)系

1.5 邏輯學(xué)的基本準(zhǔn)則

邏輯學(xué)研究對(duì)象范圍很?。和评硪约芭c推理有關(guān)的問題。

邏輯學(xué)的基本準(zhǔn)則：

• 同一律 A就是A（譬如，跑題）
• （不）矛盾論 不矛盾論就是矛盾律，A不是非A，A和A的否定不能同時(shí)成立
• 排中律：A或A的否定必有一真，也就是沒有中間態(tài)

矛盾論：A和A的否定不能同時(shí)成立，但是日常生活中，常常描述某事物同時(shí)是好是壞，如這事物指下雪。

正確的解讀：

• A：下雪是好事

• A的否定：下雪是壞事

• A1：下雪對(duì)冬小麥?zhǔn)呛檬?/p>

• A2的否定：下雪對(duì)交通是壞事

A與A1是不同的

同一律，（不）矛盾論普遍適用

而排中律的適用范圍是沒有中間狀態(tài)的，而二者互補(bǔ)的

例子：

• 張三是男生，張三是女生，違反矛盾論
• 張三不是男生，張三不是女生，違反排中律

日常生活中，符不符合邏輯，往往就邏輯學(xué)的基本準(zhǔn)則幾方面而言的。

1.6 邏輯學(xué)和其他學(xué)科的關(guān)系

邏輯學(xué)與以下學(xué)科的關(guān)系密切

• 哲學(xué)
• 數(shù)學(xué)
• 語言學(xué)
• 計(jì)算機(jī)科學(xué)

邏輯學(xué)最早是作為哲學(xué)的一部分存在的。

哲學(xué)，狹義理解，主要解決世界本原問題，物質(zhì)的，還是精神的，是主觀的，還是客觀的。

本體論和認(rèn)識(shí)論是哲學(xué)的核心。

廣義理解，包括邏輯學(xué)，倫理學(xué)，美學(xué)

數(shù)理邏輯：用數(shù)學(xué)的方法、數(shù)學(xué)的語言、數(shù)學(xué)的工具研究推理。數(shù)理邏輯的成果為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究服務(wù)。

語言是邏輯的外殼

語文老師會(huì)認(rèn)為“整個(gè)大樓片漆黑，只有那個(gè)窗戶燈火通明。”是不對(duì)的，因?yàn)檫@兩個(gè)子句互為矛盾

同樣，“中國有著世界上任何國家都沒有的萬里長城”也是不對(duì)的。

計(jì)算機(jī)科學(xué) 離散數(shù)學(xué)

最早的邏輯系統(tǒng)：二值，是與不是

推理：演繹和歸納

• 演繹：從一般到個(gè)別
• 歸納：從個(gè)別到一般

計(jì)算機(jī)為未做到歸納，但能做到演繹

歸納邏輯它的一個(gè)任務(wù)是要把我們所做的具體的歸納，要給出歸納的有效推理形式。

1.7 關(guān)于本課程《邏輯學(xué)概論》

傳統(tǒng)邏輯還是數(shù)理邏輯？

• 傳統(tǒng)邏輯：古典邏輯 古希臘亞里士多德為代表。
• 數(shù)理邏輯：現(xiàn)代邏輯 西方以萊布尼茨為創(chuàng)始人。

課程內(nèi)容：數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)部分和傳統(tǒng)邏輯的常用部分。

數(shù)理邏輯：不涉及任何一門高等數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容。

通過具體的推理了解:邏輯的精神、邏輯的方法、邏輯的思路。

第2講 邏輯學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展

2.1 中國古代邏輯思想（上）

邏輯學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展

了解邏輯學(xué)的思路、精神、方法

世界三大邏輯傳統(tǒng)：

1. 中國
2. 印度
3. 希臘

中國先秦時(shí)代的邏輯思想：春秋戰(zhàn)國，百家爭鳴

中國古代邏輯思想不像希臘那樣單純研究推理，而是滲透在，貫穿在對(duì)于其他許多問題的研究與論述當(dāng)中。

孔子為主要代表

子日：觚不觚，觚哉!觚哉!————《論語.雍也篇》（觚：用來喝酒的青銅具）

子日：必也正名乎! ....名不正則言不順，言不順則事不成，事不成則禮樂不興，禮樂不興則刑罰不中，刑罰不中則民無所措手足。故君子名之必可言也，言之必可行也。————《論語.子路篇》（推理）

白馬非馬

日：“馬非馬，可乎?”

日：“可?！?/p>

日：“何哉?”

日: “馬者所以命形也。白者所以命色也。命色者非命形也，故日白馬非馬?！?..

日：“求馬，黃、黑馬皆可致。求白馬，黃、黑馬不可致?！?/p>

————公孫龍子《白馬論》

• 傳統(tǒng)邏輯：日常語言
• 數(shù)理邏輯：人工語言

例如日常語言的“是”有多種含義（“白馬非馬”的例子），需要更精準(zhǔn)語言進(jìn)行描述

2.2 中國古代邏輯思想（中）

莊子與惠子游于濠梁之上。莊子日：“鰷魚出游從容，是魚之樂也?！?/p>

惠子日：“子非魚，安知魚之樂？”（安：哪里？怎么？惠子的“安”是指“怎么”）

莊子日：“子非我，安知我不知魚之樂？”

惠子日：“我非子，固不知子矣;子固非魚也，子之不知魚之樂，全矣?！?/p>

莊子日：“請(qǐng)循其本。子日‘汝安知魚樂’云者，既已知吾知之而問我，我知之濠上也?！保ㄇf子以“安”作為“哪里”進(jìn)行回答，違反邏輯學(xué)的基本準(zhǔn)則的同一律） ————《莊子.外篇.秋水第十七》

楚人有鬻盾與矛者，譽(yù)之日:“吾盾之堅(jiān)，物莫能陷也?！庇肿u(yù)其矛日：“吾矛之利，于物無不陷也?！被蛉?，“以子之矛陷，子之盾何如？”其人弗能應(yīng)也。

不可陷之盾與無不陷之矛，不可同世而立。（說明矛盾律的原理） ————《韓非子.難一》

2.3 中國古代邏輯思想（下）

類比（濠梁之辯），遞推（孔子的正名）作為推理手段

墨家

前期墨家:墨家創(chuàng)始人墨翟(墨子，約公元前476-前390)本人在世時(shí)所組成的學(xué)派。

后期墨家:墨翟去世后由其弟子所組成的學(xué)派。

《墨子》：《墨經(jīng)》(《墨辯》)

《墨經(jīng)》：經(jīng)上、經(jīng)下、經(jīng)說上、經(jīng)說下、大取、小取。

知識(shí)的來源:親知（我直接感受到的），聞知（別人告訴我的），說知（這的“說”是指推理）。

知識(shí)的內(nèi)容:名知（如知道梧桐樹的名字），實(shí)知（如知道梧桐樹的具體事物），合知（如知道梧桐樹的名字和它具體事物），為知（實(shí)踐，如怎么保護(hù)它）。

提出比較完整的邏輯體系，但不是邏輯學(xué)的名著。

夫辯者，將以明是非之分，審治亂之紀(jì)，明同異之處，察名實(shí)之理，處利害，決嫌疑焉。（推理很重要）

以名舉實(shí)，以辭抒意，以說出故。 ————《墨經(jīng).小取》

• 以名舉實(shí)：用不同的名去對(duì)應(yīng)不同的實(shí)（概念）。（命題）
• 以辭抒意：用句子表達(dá)一個(gè)意思。（判斷）
• 以說出故：用推理可以知道事物的原因。（推理）

為什么邏輯學(xué)主要在先秦時(shí)期發(fā)展？百家爭鳴

后秦時(shí)期主要以儒家思想為主（怎么修身齊家治國平天下，也就是社會(huì)科學(xué)和人文科學(xué)方面比較看重），邏輯學(xué)沒有太大的成就。

2.4 印度古代邏輯

古代論辯術(shù)(公元前5世紀(jì)一前3世紀(jì))

正理論

因明

佛教邏輯:因明

• 創(chuàng)始人:龍樹(約2-3世紀(jì)間)
• 陳那(約425-495) :開創(chuàng)新因明，《因明正理門論》、《集量論》
• 商羯羅主(5世紀(jì)):《因明入正理論》
• 宗，因，喻

佛教有五明：

• 聲明
• 醫(yī)方明
• 因明
• 內(nèi)明
• 工巧明

因明的三支論式

• 宗:此山有火
• 因:因有煙故
• 喻:凡有煙均有火，如廚房(同喻)。凡無煙均無火，如湖(反喻)。

古五支論式：宗、因、喻、合、結(jié)

因明的東傳

• 玄奘(約600-664)：
• 提出“唯識(shí)比量，（“直唯識(shí)量”）；
• 翻譯《因明正理門論》、《因明入正理論》。

2.5 古希臘和中世紀(jì)邏輯

代表：蘇格拉底、帕拉圖、亞里士多德

亞里士多德 Aristoteles(公元前384-前322 ) 古希臘邏輯集大成者，邏輯學(xué)之父

《工具論》:范疇篇、解釋篇、前分析篇、后分析篇、論辯篇、辨謬篇

三段論理論等

三段論

如：所有的金屬是導(dǎo)體，銅是金屬 -> 銅是導(dǎo)體

麥加拉——斯多阿學(xué)派邏輯：構(gòu)造了命題邏輯系統(tǒng)、構(gòu)造公理系統(tǒng)

命題邏輯：如果銅是金屬，那么銅是導(dǎo)體

繼承發(fā)展古希臘和阿拉伯的邏輯思想，建立經(jīng)院邏輯體系

2.6 近代西方邏輯

歸納邏輯

培根 Francis Bacon ( 1561-1626 ) :

《新工具》：發(fā)現(xiàn)(歸納)，思想(演繹)，記憶，傳遞（授）

歸納方法:三表法一一出現(xiàn)表(具有表)，不出現(xiàn)表(缺乏表)，程度表(比較表)

三段論：所有人固有一死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底會(huì)死。

有效推理形式：只要前提對(duì)，結(jié)論就一定對(duì)

他認(rèn)為三段論是演繹（從一般到個(gè)別），不能從中得到新東西，但歸納可以。

你怎么知道所有人固有一死，但你得知蘇格拉底、柏拉圖等人都死了，可推出人固有一死，這個(gè)過程稱為歸納。

密爾(穆勒) John Stuart Mill ( 1806-1873 ) : 求因果五法

辯證邏輯

康德 I. Kant ( 1724- - 1804 ) 《純粹理性批判》 先驗(yàn)邏輯

黑格爾G.W.F.Hegel ( 1770-1831 ) 《邏輯學(xué)》 思想范疇的辯證發(fā)展

2.7 數(shù)理邏輯的提出和實(shí)現(xiàn)

萊布尼茨Leibniz ( 1646-1716 ) : 《論組合術(shù)》

• 提出關(guān)于數(shù)理邏輯的思想，設(shè)想建立“普遍的符號(hào)語言”（減少傳統(tǒng)邏輯的多義，歧義所帶來爭論）：
  • 思想的字母
  • 思維的演算

數(shù)理邏輯：數(shù)學(xué)邏輯 mathematical logic（不是數(shù)學(xué)與物理）

布爾G.Boole ( 1815-1864 ) : 《邏輯的數(shù)學(xué)分析》、《思維規(guī)律的研究》 創(chuàng)立邏輯代數(shù)，實(shí)現(xiàn)邏輯演算(命題演算)

布爾代數(shù)無法解決三段論（布爾代數(shù)不含量詞（全部，有些））部分實(shí)現(xiàn)邏輯的演算。

德.摩根 De Morgan ( 1806-1871):

• 《形式邏輯》、《論三段論III和一般邏輯》、《論三段論IV和關(guān)系邏輯》
• 創(chuàng)建關(guān)系邏輯

關(guān)系邏輯：

• 5 > 3, 3 > 2，所以5 > 2
• 上海在北京的南邊，廣州在上海的南邊，所以廣州在北京的南邊

兩個(gè)東西的關(guān)系，用自然語言是說得清的，但兩類東西之間的關(guān)系，加上量詞的話，就可能會(huì)說不清楚。

比如鍋比盆大，是所有鍋比所有盆大，還是有些鍋比所有盆大，還是...

再比如，盆大小在碗和盆的之間，是所有...好累（我笑了）

弗雷格 G.Frege ( 1848-1925 ) :《概念文字》 引入量詞，實(shí)現(xiàn)謂詞演算

羅素B.Russell ( 1872- -1970) :

• 《數(shù)學(xué)原理》(1910-1913) ,合作者:懷特海A.N.Whitehead ( 1861-1947 )
• 建立完備的命題演算和謂詞演算，成為邏輯演算的經(jīng)典系統(tǒng)

2.8 數(shù)理邏輯的發(fā)展

• 邏輯演算(命題演算、謂詞演算)
• 證明論
• 集合論(公理集合論和素樸集合論)
• 遞歸論
• 模型論

希爾伯特Hilbert ( 1862-1943 )、哥德爾Godel ( 1906-1978 )、圖靈Turing ( 1912-1954 )、塔爾斯基Tarski ( 1902-1983 )等人的貢獻(xiàn)

邏輯演算：命題演算，謂詞演算 兩個(gè)演算

四論：證明論、集合論、遞歸論、模型論

數(shù)理邏輯內(nèi)容：兩個(gè)演算，四論

非經(jīng)典邏輯(非標(biāo)準(zhǔn)邏輯)的出現(xiàn)：

經(jīng)典邏輯(標(biāo)準(zhǔn)邏輯)：以羅素、懷特海《數(shù)學(xué)原理》為代表

非經(jīng)典邏輯(非標(biāo)準(zhǔn)邏輯)：多值邏輯（不止有真假值），模糊邏輯，模態(tài)邏輯（一定，不一定），廣義模態(tài)邏輯（有時(shí)，永遠(yuǎn)），弗協(xié)調(diào)邏輯（例外，動(dòng)搖經(jīng)典邏輯，可另建其他系統(tǒng)）

經(jīng)典邏輯的系統(tǒng)是非經(jīng)典邏輯系統(tǒng)的子系統(tǒng)。

第3講 命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式

3.1 推理和命題

推理：從前提(已知條件)得出結(jié)論的過程。

推理的前提和結(jié)論都是命題。

命題：對(duì)事物及其情況(性質(zhì)、關(guān)系)的陳述。

• 如北京是一個(gè)大城市。（性質(zhì)）（什么東西怎么樣）
• 如張三和李四是同班同學(xué)。（關(guān)系）

命題的真值：命題的真假情況。

每一個(gè)命題都有真值，這是命題的基本性質(zhì)

命題是一種陳述，命題是一種句子。句子不一定是命題。命題一定是用句子的形式表達(dá)。

命題：今天這里下雨。命題一定是說，什么東西，怎么樣。

一個(gè)句子，只要客觀上有真假，那么這就是一個(gè)命題。（命題如：火星上有生物）

有效推理形式:真前提通過有效推理形式只能得到真結(jié)論。

即:通過有效推理形式，真前提不會(huì)得到假結(jié)論。

3.2 基本命題和復(fù)合命題

基本命題：本身不再包含其他命題的命題。

復(fù)合命題：由一個(gè)或多個(gè)基本命題加上命題聯(lián)結(jié)詞所構(gòu)成的命題。

基本命題：

• 今天下雨。
• 今天刮風(fēng)。

復(fù)合命題：

• 今天下雨，并且今天刮風(fēng)。

基本命題和復(fù)合命題其真值的確定:

1. 基本命題的真值：邏輯學(xué)本身不能確定其所陳述的孤立的基本命題的真值。
2. 復(fù)合命題的真值：由作為其組成部分的基本命題之真值和相關(guān)的命題聯(lián)結(jié)詞之性質(zhì)所共同決定。
3. 對(duì)某些有特定結(jié)構(gòu)的復(fù)合命題，邏輯學(xué)本身即可確定其真或假。

互相否定的兩個(gè)命題是不能同時(shí)成立的。（矛盾律）

復(fù)合命題的真值判定的例子：

今天下雨。假

今天刮大風(fēng)。真

今天下雨，并且今天刮大風(fēng)。假

邏輯不能確定基本命題的真假。

邏輯參與確定復(fù)合命題的真假。

對(duì)于某些有特定結(jié)構(gòu)的復(fù)合命題，邏輯可以獨(dú)立地確定它的真和假。

邏輯學(xué)研究的不是具體的命題，而是同類的具體俞題所共同具有的命題形式，即命題結(jié)構(gòu)。

命題形式用一定的符號(hào)表示。如：以特定符號(hào)表示不同的命題連接詞，而以p表示基本命題。（命題：proposition )

3.3 常用命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式（1）

這里將給出各命題聯(lián)結(jié)詞的名稱、符號(hào)、真值表、基本推理形式。

真值表：顯示命題形式在各種可能情況下的真值。

在真值表中，通常以P1 ,P2, P3, .. 或p,q,r,..表示基本命題，以T表示真(true) ，以F表示假(false)。

常用命題聯(lián)結(jié)詞：

（1）否定：?

真值表：

基本推理形式：雙重否定式?(?p) -> p

自然語言的否定往往帶有其他感情色彩，而邏輯學(xué)的否定是純粹的，所以，它們不完全對(duì)等。

如：我們不得不學(xué)習(xí)英語。

3.4 常用命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式（2）

（2）合?。骸?/p>

自然語言中的“而且”有遞進(jìn)的意思。我畢了業(yè)，而且考上研究生。若換成，我考上研究生，而且畢了業(yè)。

雖然...但是...也是類似道理，邏輯學(xué)的合取意思純粹。

基本推理形式：

• 構(gòu)成式 p,q -> p∧q。

p：他數(shù)學(xué)成績不錯(cuò)，q：他英語成績也不錯(cuò)。p∧q：他的數(shù)學(xué)和英語不錯(cuò)

• 分解式

p∧q -> p, p∧q -> q

• 異位式

p∧q <-> q∧p

合取的推廣

3.5 常用命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式（3）

（3）析取 ∨

基本推理形式：

• 構(gòu)成式 p -> p∨q。p真，p∨q真
• 異位式 p∨q <-> q∨p
• 否定肯定式 p∨q, ?p -> q

例如，李四和張三同為嫌疑犯，后確定不是李四干的，所以張三是法外狂徒。

析取的推廣

3.6 常用命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式（4）

（4）不相容析取：?

基本推理形式：

• 肯定否定式 p?q, p -> ?q
• 否定肯定式 p?q, ?p -> q

(p?q) 與 (p∨q)∧(?(p∧q))真值相同。

• 不是張三就是李四作案。
• 張三或李四作案 且 張三和李四不會(huì)一同作案

3.7 常用命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式（5）

（5）蘊(yùn)涵：?

• 如果...那么...
• 若...則...
• 一...就...

蘊(yùn)涵相當(dāng)于充分條件，但不等于

例如，如果2+2=4，那么雪是白的。（在自然語言中它們沒有內(nèi)在聯(lián)系，通常是不允許的。而在邏輯學(xué)上可以）

“蘊(yùn)涵怪論”：

• 假命題蘊(yùn)涵任何命題（看上表3、4）
• 任何命題蘊(yùn)涵真命題（看上表1、3）

看起來很怪

舉個(gè)例子：

基本推理形式：

• 肯定前件式 p?q, p -> q（我信用很好，比賽輸了->我請(qǐng)客）
• 否定后件式 p?q, ?q -> ?p（我信用很好，我沒有請(qǐng)客->比賽贏了）
• 異位式 p?q -> (?q)?(?p)（比賽輸了?我請(qǐng)客 -> 我沒請(qǐng)客?比賽贏了）
• 連鎖式
  • p?q, q?r -> p?r
  • p?q, q?r -> (?r)?(?p)
  • p?q, q?r, r?s -> p?r（小孩一考試就緊張，一緊張就考砸，一考砸就被雙親混合雙打 -> 小孩一考試就挨打）
  • p?q, q?r, r?s -> (?s)?(?p)（小孩一考試就緊張，一緊張就考砸，一考砸就被雙親混合雙打 -> 小孩沒挨打，最近沒考試）

3.8 常用命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式（6）

（6）反蘊(yùn)涵 ?

反蘊(yùn)涵在漢語里面常用的說法比較少，典型的只有一個(gè)：只有...才...，表示相當(dāng)于必要條件。

在漢語中，命題連接詞是沒有出現(xiàn)，而且有的看起來是相同的情況，但它所對(duì)應(yīng)的這個(gè)命題連接詞有時(shí)候不一樣的，比如：

• 不吃不喝（合?。?/li>
• 不去不行（蘊(yùn)涵）

• 蘊(yùn)涵：前真 后假 是假的
• 反蘊(yùn)涵：前假 后真 是假的

基本推理形式：

• 肯定后件式 p?q, q -> p（只有天氣好才去爬山，我爬山了 -> 天氣好）
• 否定前件式 p?q, ?p -> ?q（只有天氣好才去爬山，天氣不好 -> 我沒爬山）

（p?q）與（q?p）真值相同。

3.9 常用命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式（7）

（7）等值：?

等值的在日常的說法為當(dāng)且僅當(dāng)，它相當(dāng)于充分必要條件（注意，它們不完全一樣，用可以是一樣）

基本推理形式：

• 構(gòu)成式

  • p?q, p?q -> p?q
  • p?q, p?q -> p?q

• 分解式

  • p?q -> p?q
  • p?q -> p?q

• 異位式

  • p?q -> q?p

p?q

• 肯定前件式
• 肯定后件式
• 否定前件式
• 否定后件式
• 連鎖式 都成立

(p?q)與((p?q)∧(q?p))真值相同

常用命題連接詞的真值表

?, ?,? 可被∧, ∨, ?q取代

與上表可以精簡成為：

第4講 復(fù)合命題的推理：有效推理形式的判定

4.1 重言式、矛盾式和可滿足式

根據(jù)可能的真值情況，命題形式可分為:

• 重言式(tautology)(永真式) 在任何情況下，其真值永遠(yuǎn)為真。
• 矛盾式(contradiction) (永假式)
• 可滿足式(satisfaction)

重言式(tautology)(永真式)(同義反復(fù))在任何情況下，其真值永遠(yuǎn)為真。如：p∨(?q)，p?p

今天下雨或今天不下雨。

可用真值表判定。

矛盾式(contradiction)(永假式)在任何情況下，其真值永遠(yuǎn)為假。

可滿足式(satisfaction)在某些情況下，其真值為真，而在某些情況下，其真值為假。

任何孤立的命題都是可滿足式。

4.2 具體推理轉(zhuǎn)換為推理形式

并非今天不是節(jié)日 -> 今天是節(jié)日

?(?p) -> p

復(fù)合命題推理

1. 若今天星期二則今天有課，今天是星期二 -> 今天有課 | p?q, p -> q
2. 若今天星期二則今天有課，今天是星期二 -> 今天有課
3. 若今天星期二則今天有課，今天不是星期二 -> 今天沒課
4. 若今天星期二則今天有課，今天不是星期二 -> 今天沒課 | p?q, ?p -> ?q

具體推理轉(zhuǎn)換為推理形式:

用邏輯符號(hào)(命題變?cè)椿久}符號(hào)、命題聯(lián)結(jié)詞符號(hào)及括號(hào))把自然語言推理中的前提和結(jié)論寫成命題形式，從而形成推理形式。

4.3 推理形式轉(zhuǎn)換為復(fù)合命題形式

（前提）?(?p) -> （結(jié)論）p

推理形式轉(zhuǎn)換為命題形式：用蘊(yùn)涵、合取符號(hào)及括號(hào)把推理形式轉(zhuǎn)換為復(fù)合命題形式。

4.4 有效推理形式的判定：真值表法

有效推理形式所對(duì)應(yīng)的復(fù)合命題形式當(dāng)且僅當(dāng)是重言式。

因此，對(duì)一個(gè)復(fù)合命題推理形式是否有效的判定，轉(zhuǎn)化為對(duì)一個(gè)復(fù)合命題形式是否為重言式的判定。

推理形式：?(?p) -> p，復(fù)合命題形式：?(?p) ? p，用真值表進(jìn)行判定推理形式有效性。

再比如

推理形式：p?q, ?q -> ?p，復(fù)合命題形式：((p?q)∧(?q))?(?p)

((p?q)∧(?q))?(?p)的真值表：

最后一列全T，所以它是有效推理形式

再比如

推理形式：p?q, ?p -> ?q，復(fù)合命題形式：((p?q)∧(?p))?(?q)

最后一列有一F（反例），所以它不是有效推理形式

真值表法:

1. 列出某一命題形式中命題變?cè)娜空嬷祷蛘嬷到M合;
2. 根據(jù)命題變?cè)恼嬷岛拖嚓P(guān)命題聯(lián)結(jié)詞的性質(zhì)，逐步寫出在命題變?cè)母鞣N真值或真值組合下該命題形式的真值;
3. 若某一命題形式在命題變?cè)娜空嬷祷蛘嬷到M合下其真值均為真，則證明該命題形式為重言式。

有效推理形式所對(duì)應(yīng)的復(fù)合命題形式當(dāng)且僅當(dāng)是重言式。

判定重言式的真值表法是能行的方法，即:用機(jī)械的方法，在有限的步驟內(nèi)，一定可以得到結(jié)果。

4.5 有效推理形式的判定：歸謬賦值法

如果初始命題變?cè)獋€(gè)數(shù)過多，會(huì)造成真值表行數(shù)過多。譬如，有10個(gè)初始命題變?cè)瑒t真值表有2^10=1024行。于是，嘗試尋找更簡便判定方法。

反證

例如，((p?q)∧(?p))?(?q) 為 F（假設(shè)((p?q)∧(?p))?(?q)不是重言式）

則(p?q)∧(?p)為T，?q為F

則(p?q)為T，(?p)為T，q為T

則p為F，q為T, 符合(p?q)為T

故((p?q)∧(?p))?(?q)不是有效的推理形式。

例如，((p?q)∧(?q))?(?p) 為 F（假設(shè)((p?q)∧(?q))?(?p)不是重言式）

則(p?q)∧(?q)為T，?p為F

則a. (p?q)為T，b. q為F, p為T

若b. q為F, p為T，則(p?q)為F，與a. (p?q)為T矛盾

所以((p?q)∧(?q))?(?p)不能不是重言式

歸謬賦值法:

1. 假設(shè)某一命題形式不是重言式，即:該命題形式的命題變?cè)辽俅嬖谝环N真值或真值組合，使得該命題形式的真值為假;
2. 基于上述假設(shè)，對(duì)該命題形式賦值以假;
3. 根據(jù)命題聯(lián)結(jié)詞的性質(zhì)，尋找使得上述賦值成立的命題變?cè)嬷祷蛘嬷到M合。若能找到(即不出現(xiàn)矛盾)，則上述假設(shè)成立，即該命題形式不是重言式;若不可能找到(即不能不出現(xiàn)矛盾)，則上述假設(shè)不成立，從而證明該命題形式是重言式。

例如，((p?q)∧(q?r)∧(r?s))?((?s)?(?p))為F（假設(shè)((p?q)∧(q?r)∧(r?s))?((?s)?(?p))不是重言式）

（日常例子（小孩一考試就緊張，一緊張就考砸，一考砸就被雙親混合雙打 -> 小孩沒挨打，最近沒考試））

則(p?q)∧(q?r)∧(r?s)為T，(?s)?(?p)為F

則p?q為T，q?r為T，a. r?s為T，b. s為F，p為T

則q為T，r為T，s為T，與b互相矛盾

故((p?q)∧(q?r)∧(r?s))?((?s)?(?p))是重言式（有效推理形式）

歸謬賦值法的局限

例如，(p∨q)?(p∧q)為F（假設(shè)(p∨q)?(p∧q)不是重言式）

則p∨q為T（有三種情況），p∧q為F（有三種情況）

假設(shè)p為T，q為F

假設(shè)p為F，q為T

解決：用回真值表法

小技巧：變?cè)獢?shù)量較少，用真值表法；變?cè)獢?shù)量較多，用歸謬賦值法。

有效推理形式的判定:

1. 用邏輯符號(hào)把具體推理中的前提和結(jié)論分別寫成命題形式，從而形成推理形式;
2. 用蘊(yùn)涵、合取符號(hào)及括號(hào)把推理形式轉(zhuǎn)換為復(fù)合命題形式;
3. 用真值表法或歸謬賦值法判定該復(fù)合命題形式是否為重言式。

從歸謬賦值法看邏輯學(xué)的基本準(zhǔn)則（同一律，矛盾律，排中律）（邏輯學(xué)中不言而喻，顯然的基本準(zhǔn)則）：

假設(shè)p?p為F

則前p為T，后p為F，這違反同一律，矛盾律。

證明它不能不是重言式，也就是它是重言式，也就是排中律天線（非重言式和重言式?jīng)]有中間狀態(tài)度）

第5講 復(fù)合命題的推理：命題聯(lián)結(jié)詞的充足集

5.1 命題聯(lián)結(jié)詞：真值函數(shù)

函數(shù)是一種映射

每個(gè)命題聯(lián)結(jié)詞相當(dāng)于從真值集合{T,F}到自身{T,F}的一個(gè)函數(shù)，稱為真值函數(shù)。

• 每個(gè)復(fù)合命題形式可以看作一個(gè)真值函數(shù)。其函數(shù)值由其所包含的基本命題(命題變?cè)?的真值、其包含的命題聯(lián)結(jié)詞的性質(zhì)決定。
• 每個(gè)復(fù)合命題形式對(duì)應(yīng)一個(gè)真值函數(shù)。
• 不同的命題形式可以對(duì)應(yīng)相同的真值函數(shù)。

運(yùn)用真值表，可以確定任一復(fù)合命題形式所對(duì)應(yīng)的真值函數(shù)(即，可知在命題變?cè)母鞣N真值組合下該真值函數(shù)的值)。

與此相對(duì)，如何為確定的真值函數(shù)找出相對(duì)應(yīng)的命題形式?（下一節(jié)有解答）

命題聯(lián)結(jié)詞?、∨、∧分別與同數(shù)字電路中的非門，或門，與門對(duì)應(yīng)。

5.2 析取范式

一場(chǎng)比賽上，三個(gè)裁判有兩個(gè)及以上通過，才算真正的通過

真正通過的情況：(P1∧P2∧P3) ∨ (P1∧P2∧(?P3)) ∨ (P1∧(?P2)∧P3) ∨ ((?P1)∧P2∧P3)

基本合取式: n個(gè)(n=1, 2, 3, ...)命題變?cè)蚱浞穸ㄓ煤先?∧)聯(lián)結(jié)而成的命題形式；

析取范式: n個(gè)(n=1，2，3，..)有相同命題變?cè)?strong>基本合取式用析取(∨)聯(lián)接而成的命題形式。

對(duì)應(yīng)于某個(gè)真值函數(shù)的析取范式的作法:

1. 列出該真值函數(shù)的真值表;
2. 對(duì)于使得該真值函數(shù)為真的命題變?cè)鞣N真值組合:
   • 若命題變?cè)恼嬷禐檎?，則取命題變?cè)旧恚?/li>
   • 若命題變?cè)恼嬷禐榧?，則取命題變?cè)穸ǎ?/li>
   • 再用合取將其聯(lián)接，構(gòu)成基本合取式;
3. 用析取將各基本合取式聯(lián)結(jié)，構(gòu)成析取范式。

如何為確定的真值函數(shù)找出相對(duì)應(yīng)的命題形式?（回答上一節(jié)問題）

運(yùn)用真值表，列出相應(yīng)的范式。

范式(normal form)：滿足某種規(guī)范、能顯示某種邏輯性質(zhì)的命題形式。

5.3 為復(fù)合命題形式作與之等值的析取范式

除了個(gè)別特殊情況，對(duì)于復(fù)合命題形式，都可以作出與之等值的析取范式。

p?q 與 (p∧q)∨((?p)∧(?q)) 等值，用真值表驗(yàn)證。

例如，?(p?q)與p∧(?q)（p∧(?q)也是析取范式）

例如，?(((p?q)∧p)?q)

除矛盾式以外，對(duì)于復(fù)合命題形式，都可以作出與之等值的析取范式。

為什么矛盾式不行？請(qǐng)回顧對(duì)應(yīng)于某個(gè)真值函數(shù)的析取范式的作法:

1. 列出該真值函數(shù)的真值表;
2. 對(duì)于使得該真值函數(shù)為真的命題變?cè)鞣N真值組合: ...

由于矛盾式總是假，于是在上述的第2步該真值函數(shù)為真的命題變?cè)獮?，所以矛盾式不能作出析取范式。

5.4 合取范式

基本析取式：n個(gè)( n=1，2，3，...)命題變?cè)蚱浞穸ㄓ梦鋈?∨)聯(lián)結(jié)而成的命題形式;

合取范式：n個(gè)(n=1, 2, 3，...)有相同命題變?cè)?strong>基本析取式用合取(∧)聯(lián)接而成的命題形式。

對(duì)應(yīng)于某個(gè)真值函數(shù)的合取范式的作法：

1. 列出該真值函數(shù)的真值表再加以否定;
2. 作出該否定的析取范式;
3. 對(duì)該析取范式作否定，再反復(fù)運(yùn)用德摩根律和雙重否定律加以整理，從而得到對(duì)應(yīng)于原真值函數(shù)的合取范式。

得出p?q的合取范式

• p?q（1. 列出該真值函數(shù)的真值表再加以否定）
• ?(p?q)（2. 作出該否定的析取范式;）
• (p∧(?q))∨((?p)∧q)（3. 對(duì)該析取范式作否定，再反復(fù)運(yùn)用德摩根律和雙重否定律加以整理，從而得到對(duì)應(yīng)于原真值函數(shù)的合取范式。）
• ?((p∧(?q))∨((?p)∧q))

反復(fù)運(yùn)用德摩根律和雙重否定律加以整理

德摩根律：

1. ?(p∧q) ? (?p)∨(?q)
2. ?(p∨q) ? (?p)∧(?q)

雙重否定：

• ?(?p) ? p

• p?q（1. 列出該真值函數(shù)的真值表再加以否定）
• ?(p?q)（2. 作出該否定的析取范式;）
• (p∧(?q))∨((?p)∧q)（3. 對(duì)該析取范式作否定，）
• ?((p∧(?q))∨((?p)∧q))（再反復(fù)運(yùn)用德摩根律和雙重否定律加以整理）
• ?(p∧(?q))∧?((?p)∧q))
• ((?p)∨q)∧(p∨(?q))

然后用真值表進(jìn)行驗(yàn)證：

除重言式以外，對(duì)于復(fù)合命題形式，都可以作出與之等值的合取范式。

為什么重言式不能作出合取范式？回顧對(duì)應(yīng)于某個(gè)真值函數(shù)的合取范式的作法：

1. 列出該真值函數(shù)的真值表再加以否定;
2. 作出該否定的析取范式; ...

重言式加以否定成矛盾式，再回顧對(duì)應(yīng)于某個(gè)真值函數(shù)的析取范式的作法:

1. 列出該真值函數(shù)的真值表;
2. 對(duì)于使得該真值函數(shù)為真的命題變?cè)鞣N真值組合: ...

由于矛盾式總是假，于是在上述的第2步該真值函數(shù)為真的命題變?cè)獮?，所以矛盾式不能作出析取范式。

所以重言式不能作出合取范式。

5.5 范式存在定理

范式(normal form)：滿足某種規(guī)范、能顯示某種邏輯性質(zhì)的命題形式。

• 基本合取式: n個(gè)(n=1, 2, 3, ...)命題變?cè)蚱浞穸ㄓ煤先?∧)聯(lián)結(jié)而成的命題形式;
• 基本析取式: n個(gè)(n=1, 2, 3, ...)命題變?cè)蚱浞穸ㄓ梦鋈?∨)聯(lián)結(jié)而成的命題形式;
• 析取范式: n個(gè)(n=1, 2, 3, ...)有相同命題變?cè)幕竞先∈接梦鋈?∨)聯(lián)接而成的命題形式;
• 合取范式: n個(gè)(n=1, 2, 3,...)有相同命題變?cè)幕疚鋈∈接煤先?∧)聯(lián)接而成的命題形式。

與p?q等值的

• 析取范式：(p∧q)∨((?p)∧(?q))
• 合取范式：((?p)∨q)∧(p∨(?q))

由范式作法可知：

• 除永假式以外的復(fù)合命題形式，都可作與之等值的析取范式，
• 除重言式以外的復(fù)合命題形式，都可作與之等值的合取范式。

范式存在定理:

• 每一真值函數(shù)，都可用范式(析取范式或合取范式)表示;
• 每一復(fù)合命題形式，都至少存在一個(gè)與其等值的范式(析取范式或合取范式)。

5.6 命題聯(lián)結(jié)詞的充足集

存在多少個(gè)不同的n元真值函數(shù)(命題聯(lián)結(jié)詞)?

答：2^(2^n)個(gè)

例如有兩個(gè)命題變?cè)?/p>

命題聯(lián)結(jié)詞的充足(adequate)集：若干個(gè)命題聯(lián)結(jié)詞的集合，用這些命題聯(lián)結(jié)詞(同命題變?cè)黄?經(jīng)過有限次的重復(fù)和組合，可表示任意的真值函數(shù)。

根據(jù)范式存在定理，{?, ∧, ∨}是命題聯(lián)結(jié)詞的充足集。

更進(jìn)一步精簡

• (?((?A)∧(?B)))與(A∨B)等值，
• (?((?A)∨(?B)))與(A∧B)等值，

因此，{?, ∧}和{?, ∨}也是命題連接詞充足集。

再如，

• ((?A)?B)))與(A∨B)等值，
• (?(A?(?B)))與(A∧B)等值，

因此，{?, ?}也是命題連接詞充足集。

小結(jié)

{?, ∧, ∨}是命題聯(lián)結(jié)詞的充足集

{?, ∧}, {?, ∨}, {?, ?}也分別是命題連接詞充足集

5.7 命題聯(lián)結(jié)詞的獨(dú)元充足集

一進(jìn)制理論上可行，但它不實(shí)用，不能表示0

或非(nor) ↓

真值表：

已證{?, ∧, ∨}是命題聯(lián)結(jié)詞的充足集

• (A↓A)與(?A)等值
• ((A↓A)↓(B↓B))與(A∧B)等值
• ((A↓B)↓(A↓B))與(A∨B)等值

因此，{↓}是命題聯(lián)結(jié)詞的充足集。這是很奇妙的結(jié)果。

與非與或非也能獨(dú)當(dāng)一面

與非(nand) |

真值表：

• (A|A)與(?A)等值
• ((A|B)|(A|B))與(A∧B)等值
• ((A|A)|(B|B))與(A∨B)等值

真值表檢驗(yàn)過程略

已證{?, ∧, ∨}是命題聯(lián)結(jié)詞的充足集

• (A|A)與(?A)等值
• ((A|B)|(A|B))與(A∧B)等值
• ((A|A)|(B|B))與(A∨B)等值

因此，{|}是命題聯(lián)結(jié)詞的充足集。這是很奇妙的結(jié)果。

↓和|稱為謝弗爾豎( Sheffer stroke或Shefferbar)。

{↓}和{|}是命題聯(lián)結(jié)詞的單元素(獨(dú)元)充足集。（這是一個(gè)非常奇妙的結(jié)果）

↓，|對(duì)應(yīng)于數(shù)字電路中的或非門，與非門。

第6講 命題演算：公理系統(tǒng)

6.1 公理系統(tǒng)的構(gòu)成

判定有效推理形式的方法：真值表法、歸謬賦值法。

生成有效推理形式的方法：公理系統(tǒng)、自然推演系統(tǒng)。

公理系統(tǒng)的構(gòu)成：（數(shù)學(xué)，物理，邏輯等都有自己公理系統(tǒng)。）

1. 符號(hào)庫(初始符號(hào))
2. 形成規(guī)則(符號(hào)的使用)
3. 公理 (推演的起點(diǎn))
4. 變形規(guī)則(推演規(guī)則)

自然語言的歧義性、模糊性，不能使用在公理系統(tǒng)

例如：這里展示的是三個(gè)學(xué)生的作品。（有兩種解釋，應(yīng)避免歧義的發(fā)生）

又例如：《圍城》中的老科學(xué)家

更精準(zhǔn)的人工語言：數(shù)學(xué)，計(jì)算機(jī)編程語言

語言的三要素：語音、詞匯、語法（盲文，計(jì)算機(jī)編程語言沒有語音）

例子說明公理系統(tǒng)的構(gòu)成：

• 符號(hào)庫(初始符號(hào))：如Unicode字符集
• 形成規(guī)則(符號(hào)的使用)：語法
• 公理 (推演的起點(diǎn))：2015年4月1日是星期二
• 變形規(guī)則(推演規(guī)則)：2015年4月7日是星期幾？7 - 1 + 1 = 7，(2 + 7 - 1) % 7=1，2015年4月7日是星期一？

6.2 命題演算的公理系統(tǒng)L

更詳細(xì)公理系統(tǒng)L的信息可查閱A.G.Hamilton的Logic for mathematicians。

命題演算的公理系統(tǒng)L：

1. 初始符號(hào)：P1, P2, .....; ?, ?; (,)
2. 形成規(guī)則：
   1. P1, P2, ....是合式公式;
   2. 若A，B是任意合式公式，則(?A),(A?B)是合式公式;（加括號(hào)，防止歧義的發(fā)生）
   3. 所有合式公式由1., 2.生成。
3. 公理模式：(設(shè)A，B, C是任意合式公式)（都是重言式）
   • L1((A?(B?A)))
   • L2((A?(B?C))?((A?B)?(A?C)))
   • L3(((?A)?(?B))?(B?A))
4. 推演規(guī)則：(分離規(guī)則，MP)從(A?B)和A可得B。

合式公式(well-formed formula)(wf.)：合于形成規(guī)則的式子(相當(dāng)于合乎語法的句子)。（這里公式是表達(dá)式，不是數(shù)學(xué)的公式）

6.3 命題演算公理系統(tǒng)L中的證明

L中的證明:

L的合式公式序列，其中每個(gè)合式公式滿足下列條件之一:

1. L的公理，
2. 由在先的兩個(gè)合式公式用MP得出。

這一序列中的最后一個(gè)合式公式稱為L中的定理。

• L1((A?(B?A)))
• L2((A?(B?C))?((A?B)?(A?C)))
• (分離規(guī)則，MP)從(A?B)和A可得B。

例子：

1. (P1?(P2?P1))......L1
2. (P1?(P2?P1))?((P1?P2)?(P1?P1))......L2
3. ((P1?P2)?(P1?P1))......MP(2),(1)

這章內(nèi)容在語形的角度上，而第四章在語意的角度上

例，證(P1?P1)

1. (P1?((P1?P1)?P1))......L1
2. ((P1?((P1?P1)?P1))?((P1?(P1?P1))?(P1?P1)))......L2
3. ((P1?(P1?P1))?(P1?P1))......MP(1, 2)
4. (P1?(P1?P1))......L1
5. (P1?P1)......MP(3,4)

上述定理需要更專業(yè)知識(shí)證明，我們淺嘗輒止則可。

6.4 命題演算公理系統(tǒng)L中的證明（續(xù)）

例 證((?P1)?(P1?P2))

1. ((?P1)?((?P2)?(?P1)))......L1
2. (((?P2)?(?P1))?(P1?P2))......L1
3. ((?P1)?(P1?P2))

上述證明無效，因L系統(tǒng)沒有蘊(yùn)涵連鎖，所以任何直觀、顯然的東西，在這里是不允許的。必須按照3條公理模式和一個(gè)推演規(guī)則來進(jìn)行。

正確的證明：

證((?P1)?(P1?P2))

1. ((?P1)?((?P2)?(?P1)))......L1
2. (((?P2)?(?P1))?(P1?P2))......L3
3. ((((?P2)?(?P1))?(P1?P2))?((?P1)?(((?P2)?(?P1))?(P1?P2)))......L1
4. ((?P1)?(((?P2)?(?P1))?(P1?P2)))......MP 3., 2.
5. (((?P1)?(((?P2)?(?P1))?(P1?P2)))?(((?P1)?((?P2)?(?P1)))?((?P1)?(P1?P2))))......L2
6. (((?P1)?((?P2)?(?P1)))?((?P1)?(P1?P2))))......MP 5., 4.
7. ((?P1)?(P1?P2))......MP 6., 1.

6.5 命題演算公理系統(tǒng)L中的推演

L中的推演：

設(shè)Γ（伽瑪γ的大寫）是L中的合式公式（不必是L中的公理）的集合。Γ中的合式公式作為臨時(shí)公理參與L中的證明，稱為L中從Γ的推演，得到的結(jié)果A稱為L中Γ的推論。

記為Γ┝(下標(biāo)L符)A

例子：

1. (P1?P2)......Γ1
2. ((P1?P2)?(P1?(P1?P2)))......L1
3. (P1?(P1?P2))......MP 2., 1.

(P1?P2)┝(下標(biāo)L符)(P1?(P1?P2))

例

假設(shè):

1. 物體若不受外力，則運(yùn)動(dòng)方向 不變;
2. 某天體運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生了變化。

• P1：某物受到外力;
• P2：某物運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化。

1. ((?P1)?(?P2))......Γ1
2. P2......Γ2
3. (((?P1)?(?P2))?(P2?P1))......L3
4. (P2?P1)......MP 3., 1.
5. P1......MP 4., 2.

{((?P1)?(?P2)), P2} ┝(下標(biāo)L符) P1

L中的定理A可記為?┝(下標(biāo)L)A，或┝(下標(biāo)L)A（邏輯內(nèi)的東西）

第7講 命題演算：公理系統(tǒng)，自然演繹系統(tǒng)

7.1 公理系統(tǒng)出發(fā)點(diǎn)的延伸

公理系統(tǒng)的構(gòu)成：

1. 符號(hào)庫(初始符號(hào))
2. 形成規(guī)則(符號(hào)的使用)
3. 公理 (推演的起點(diǎn))
4. 變形規(guī)則(推演規(guī)則)

命題演算的公理系統(tǒng)L：

1. 初始符號(hào)：P1, P2, .....; ?, ?; (,)
2. 形成規(guī)則：
   1. P1, P2, ....是合式公式;
   2. 若A，B是任意合式公式，則(?A),(A?B)是合式公式;（加括號(hào)，防止歧義的發(fā)生）
   3. 所有合式公式由1., 2.生成。
3. 公理模式：(設(shè)A，B, C是任意合式公式)（都是重言式）
   • L1((A?(B?A)))
   • L2((A?(B?C))?((A?B)?(A?C)))
   • L3(((?A)?(?B))?(B?A))
4. 推演規(guī)則：(分離規(guī)則，MP)從(A?B)和A可得B。

延伸：

1.可用定義引入其他符號(hào)。可用初始符號(hào)定義其他符號(hào)及其形成規(guī)則

如：(設(shè)A, B, C是任意合式公式，下同)

• (A∨B)定義為((?A)?B)
• (A∧B)定義為(?(A?(?B)))

已由定義引入的符號(hào)可用于定義更多符號(hào)。

由定義引入的新符號(hào)可與初始符號(hào)同等使用。

2.已證定理可與公理同等使用

如：

已證定理（模式）(A?A)編為T1，則可有如下證明：（T，Theory縮寫）

證 (P1?P1)

1. (P1?P1)......T1（證畢）

3.已證新的推演規(guī)則可與原有推演規(guī)則同等使用

如：已證：(A?B)和(B?C)可得(A?C)(假言三段論，HS),（這定理的證明過程可查閱A.G.Hamilton的Logic for mathematicians）

則可有以下證明：

證((?P1)?(P1?P2))

1. ((?P1)?((?P2)?(?P1)))......L1
2. (((?P2)?(?P1))?(P1?P2))......L3
3. ((?P1)?(P1?P2))......HS 1., 2.

公理系統(tǒng)出發(fā)點(diǎn)的延伸:

1. 可用定義引入其他符號(hào)及其形成規(guī)則;
2. 已證定理可與公理同等使用;
3. 已證新的推演規(guī)則可與原有推演規(guī)則同等使用。

7.2 公理系統(tǒng)的評(píng)價(jià)

• 真值表法、歸謬賦值法：判定有效推理形式的方法;

• 公理化方法：生成有效推理形式的方法。

• 真值表方法，“重言式”：語義的概念;（有關(guān)真假）

• 公理化方法，“定理”：語形的概念。（無關(guān)真假）

L系統(tǒng)的性質(zhì)

1. 可靠性：L的定理都是重言式
2. 完全性：對(duì)應(yīng)于復(fù)合命題有效推理形式的重言式都是L的定理
3. 獨(dú)立性：L的各條公理不能互相推出

L系統(tǒng)的可靠性和完全性使得：L的定理當(dāng)且僅當(dāng)是第四講中的重言式，

即:

L的定理集與第四講中的重言式集完全相同。

公理系統(tǒng)例子：

• L : L1, L2, L3 （可靠，完全，獨(dú)立）
• L' : L1, L2 （可靠，不完全，獨(dú)立）
• L" : L1, L2, L3, L4(A?A)（L4多余的，但在運(yùn)用時(shí)更加方便）（可靠，完全，不獨(dú)立）

L系統(tǒng)為什么要用這個(gè)3條公理模式和那個(gè)分離規(guī)則來作為它的出發(fā)點(diǎn)？

答：因?yàn)檫@幾條，它可以用最簡潔的方法，最大限度地覆蓋所有的這個(gè)定理。你靠這個(gè)三條公理模式，加上那個(gè)分離規(guī)則，它剛好把所有定理都覆蓋了，而且并沒有超出它的范圍，沒有把這個(gè)非重言式也拿進(jìn)來，就是它的定理剛好，正好是重言式，不比重言式少，也不比重言式多，而且它本身的公理還互相獨(dú)立，它還一條都不多余。三條公理模式，加上那個(gè)分離規(guī)則構(gòu)造成一個(gè)巧妙的系統(tǒng)。

7.3 公理系統(tǒng)的性質(zhì)和評(píng)價(jià)及其意義

公理系統(tǒng)能運(yùn)用在數(shù)學(xué)、物理、邏輯等成熟的學(xué)科上。

公理系統(tǒng)在文科作整理嘗試：

• 斯賓諾莎(1632-1677)：《用幾何學(xué)方法作論證的倫理學(xué)》

凡是想在學(xué)識(shí)方面超群絕倫的人都一致認(rèn)為:在研究和傳授學(xué)問時(shí)，數(shù)學(xué)方法，即從定義、公設(shè)和公理推出結(jié)論的方法，乃是發(fā)現(xiàn)和傳授真理最好的和最可靠的方法。這是千真萬確的?！返戮S希●梅耶爾:斯賓諾莎《笛卡兒哲學(xué)原理(依幾何學(xué)方式證明)》序(1663年)

公理：各個(gè)數(shù)學(xué)分支都通用的一些最基本的東西，如等量代換

公設(shè)：用于某一門具體的數(shù)學(xué)分支一些最基本的東西

對(duì)于日常生活參照的意義：

• 法律千萬條，大部分都不能全被知道，但我們沒有輕易觸犯它們，因?yàn)槲覀冎阑镜某霭l(fā)點(diǎn)，如，不能損人利己，若損，輕則違道，重則違法?！安荒軗p人利己”相當(dāng)于公理。
• 勤洗手，不吃臟東西...講衛(wèi)生（公理）。
• 好學(xué)生如何定義，成績好，品德好...德智體美勞（公理）。
• 清華大學(xué)校訓(xùn)：自強(qiáng)不息（對(duì)自己），厚德載物（對(duì)外界）。
• 北京精神：愛國，創(chuàng)新，包容，厚德。

7.4 命題演算的自然演繹系統(tǒng)

公理系統(tǒng)的弱點(diǎn)：不夠直觀。自然演繹系統(tǒng)應(yīng)運(yùn)而生。

通過自然演繹系統(tǒng)進(jìn)行證明和推演的步驟:

1. 引入假設(shè);
2. 使用給定的接近于日常思維的推演規(guī)則進(jìn)行推演;
3. 最后若按照規(guī)則消去假設(shè)，則得到不依賴于假設(shè)的一般定理；若保留假設(shè)，則得到依賴于假設(shè)之下的推論。

命題演算的自然演繹系統(tǒng)C

1. 初始符號(hào)：P1, P2, .....; ?, ?; (,)
2. 形成規(guī)則：
   1. P1, P2, ....是合式公式;
   2. 若A，B是任意合式公式，則(?A),(A?B)是合式公式;（加括號(hào)，防止歧義的發(fā)生）
   3. 所有合式公式由1., 2.生成。
3. 推演規(guī)則：（設(shè)A, B是任意合式公式）
   1. 假設(shè)引入<br>
   2. 重述<br>
   3. 重復(fù)<br>
   4. ?引入<br>
   5. ?消去<br>（如，歸謬賦值法）
   6. ?消去<br>（如公理系統(tǒng)的分離規(guī)則）

上面1. 2. 與公理系統(tǒng)L的一致

7.5 命題演算自然演繹系統(tǒng)中的證明和推演

例 證(P1?P1)

例 證((?P1)?(P1?P2))

例 證(P1?(P2?P1))

例 證((P1?(P2?P3))?((P1?P2)?(P1?P3)))

例 證(((?P1)?(?P2))?(P2?P1))

通過自然演繹系統(tǒng)進(jìn)行證明和推演的步驟:

1. 引入假設(shè);
2. 使用給定的接近于日常思維的推演規(guī)則進(jìn)行推演;
3. 最后若按照規(guī)則消去假設(shè)，則得到不依賴于假設(shè)的一般定理；若保留假設(shè)，則得到依賴于假設(shè)之下的推論。

命題演算的自然演繹系統(tǒng)C具有可靠性、完全性。

命題演算的自然演繹系統(tǒng)C與命題演算的公理系統(tǒng)L等價(jià)。即：二者的定理集完全相同。

第8講 基本命題的構(gòu)成

8.1 基本命題的結(jié)構(gòu)

基本命題的組成部分：

1. 謂詞(P)
2. 主詞(S)
3. 量詞

主詞和謂詞都是詞項(xiàng)。

• 詞項(xiàng)：事物、事物的情況(性質(zhì)或關(guān)系)。
• 命題：對(duì)事物及其情況(性質(zhì)、關(guān)系)的陳述。

8.2 詞項(xiàng)的內(nèi)涵和外延

內(nèi)涵：某一詞項(xiàng)的含義，即該詞項(xiàng)所指對(duì)象共同具有的特有屬性。（什么是金屬？具有導(dǎo)電，導(dǎo)熱等性質(zhì)的物質(zhì)）

外延：某一詞項(xiàng)所指的對(duì)象。（金屬的外延是金銀銅鐵等）

內(nèi)涵和外延之間有反變關(guān)系。

詞項(xiàng)的限制：增加詞項(xiàng)的內(nèi)涵以縮小外延;

詞項(xiàng)的擴(kuò)大：減少詞項(xiàng)的內(nèi)涵以擴(kuò)大外延。

例如，學(xué)校的外延：小學(xué)，中學(xué)，大學(xué)等。

學(xué)校的內(nèi)涵：專門進(jìn)行教育的機(jī)構(gòu)

現(xiàn)在為學(xué)校加點(diǎn)內(nèi)涵：專門進(jìn)行高等教育的機(jī)構(gòu)。

學(xué)校的外延縮小至：大學(xué)

8.3 詞項(xiàng)的種類

根據(jù)詞項(xiàng)外延的數(shù)量情況，詞項(xiàng)分為

• 普遍詞項(xiàng)：外延超過一個(gè)
• 單獨(dú)詞項(xiàng)：外延只有一個(gè);
• 空詞項(xiàng)：外延為空。（美國女總統(tǒng)，數(shù)學(xué)純黃金）

8.4 詞項(xiàng)間的關(guān)系

詞項(xiàng)間的關(guān)系：指詞項(xiàng)外延之間的關(guān)系。

歐拉圖解

1.全同（同一）關(guān)系

如，本學(xué)期選修邏輯學(xué)的50名學(xué)生，與今天邏輯學(xué)課上現(xiàn)場(chǎng)50名學(xué)生。（不管內(nèi)涵是否一樣）

如，中國的首都，與華北最大的城市。（內(nèi)涵不一樣，但外延指的是北京）

如，中國最大的城市，長江流域最大的城市。（內(nèi)涵不一樣，但外延指的是上海）

2.包含關(guān)系

如，S:中國的學(xué)校，P:中國的大學(xué)

3.包含于關(guān)系

如，S:中國的大學(xué)，P:中國的學(xué)校

4.交叉關(guān)系

如，S：北京人，P：學(xué)生。

5.全異關(guān)系

如，S：幼兒園學(xué)生，P：大學(xué)生

• 矛盾關(guān)系（互補(bǔ)的，例如，學(xué)校男女生）
• 反對(duì)關(guān)系（不互補(bǔ)，大學(xué)生和小學(xué)生，因?yàn)檫€有中學(xué)生得等，這里的“反對(duì)”與日常的“反對(duì)”不同）

小結(jié)：

詞項(xiàng)間的關(guān)系：

1. 全同(同一)關(guān)系
2. 包含關(guān)系
3. 包含于關(guān)系
4. 交叉關(guān)系
5. 全異關(guān)系:
   • 矛盾關(guān)系
   • 反對(duì)關(guān)系

8.5 詞項(xiàng)的定義

定義：描述詞項(xiàng)的內(nèi)涵

定義的結(jié)構(gòu)：被定義項(xiàng)，定義項(xiàng)

偶數(shù) 是能被2整除的數(shù)。 （被定義項(xiàng)）（定義項(xiàng)）

同一個(gè)詞項(xiàng)可有不同的定義

• 水是無色無味的、在一個(gè)大氣壓下冰點(diǎn)為0攝氏度沸點(diǎn)為100攝氏度的、比重為1的透明液體。
• 水是由兩個(gè)氫原子和一個(gè)氧原子化合成一個(gè)水分子而構(gòu)成的物質(zhì)。

定義的主要規(guī)則：

1. 定義項(xiàng)和被定義項(xiàng)須為全同關(guān)系。
   • 如，魚是生活在水中的動(dòng)物。(定義過寬)
   • 如，期刊是每周或每月定期出版的出版物。（定義過窄)
2. 定義項(xiàng)不得直接或間接包含被定義項(xiàng)。
   • 如，邏輯學(xué)是研究邏輯的學(xué)問。(同語反復(fù))
   • 如，偶數(shù)是奇數(shù)加1或減1得到的數(shù);奇數(shù)是偶數(shù)加1或減1得到的數(shù)。(循環(huán)定義)

定義不是唯一獲得知識(shí)的來源，（有靠實(shí)踐得來的，如太陽，月亮等）

8.6 詞項(xiàng)的劃分

劃分：分類列舉詞項(xiàng)的外延。

劃分的結(jié)構(gòu)：母項(xiàng)，子項(xiàng)。

生物分為動(dòng)物、植物、微生物、 （母項(xiàng)）（子項(xiàng)）

句子分為陳述句，疑問句，祈使句，感嘆句。 （母項(xiàng)）（子項(xiàng)）

句子分為主語、謂語、賓語、補(bǔ)語、定語。（這不是劃分，而是組成部分）

同一個(gè)詞項(xiàng)可按不同標(biāo)準(zhǔn)作不同的劃分。

劃分可連續(xù)進(jìn)行，即：子項(xiàng)可作為母項(xiàng)再次進(jìn)行劃分。（學(xué)校分為大學(xué)，中學(xué)，小學(xué)。大學(xué)劃分為中國大學(xué)、美國大學(xué)等）

劃分的主要規(guī)則：

1. 一次劃分必須按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。
2. 每一外延應(yīng)屬于某一子項(xiàng)并只屬于一個(gè)子項(xiàng)。即:
   • 子項(xiàng)相加應(yīng)恰等于母項(xiàng)，不得遺漏;
   • 子項(xiàng)之間應(yīng)互相排斥不得重合。

8.7 謂詞的分類

謂詞是什么東西什么樣，說明事物情況，說明一種性質(zhì)，說明一種關(guān)系。

• 張三和李四是高中學(xué)生。（復(fù)合命題，張三是高中學(xué)生并且李四是高中學(xué)生）
• 張三和李四是同班同學(xué)。（你不能說成張三是同班同學(xué)并且李四是同班同學(xué)）

一元謂詞：每次需要一個(gè)主詞與之配合，通常表示主詞的某種性質(zhì); 多元（如二元，三元，...）謂詞：每次需要多個(gè)（如兩個(gè)，三個(gè)，...）主詞與之配合，通常表示多個(gè)主詞之間的某種關(guān)系。

• 性質(zhì)命題：含有一元謂詞的基本命題;
• 關(guān)系命題：含有多元謂詞的基本命題。

三元的例子：福州在廣州與上海之間。

8.8 量詞

例子：

• 所有金屬導(dǎo)電。
• 有些人會(huì)游泳。

“所有”，“有些”為量詞，限定外延

量詞：

• 全稱（?）(all)
• 特稱（存在）（?）(existed)
• 單稱

特稱(存在)量詞的含義：至少存在一個(gè)(不排斥全部)。

單稱量詞通常處理為全稱。（獨(dú)一無二的為單稱，如北京大學(xué)）

全稱量詞可省略。（如，金屬是導(dǎo)體。特稱量詞不能省略，“有些人會(huì)游泳”省略成“人會(huì)游泳”）。

8.9 聯(lián)詞

傳統(tǒng)邏輯中，往往把“否定”分析為在性質(zhì)命題內(nèi)部與“肯定”相對(duì)的成分。

“肯定”和“否定”稱為聯(lián)詞，表明主詞和謂詞之間具有肯定的聯(lián)系或否定的聯(lián)系。

• 今天是星期四
• 今天不是星期四

小結(jié)：

基本命題的組成部分：

1. 謂詞
2. 主詞
3. 量詞
4. （聯(lián)詞）

第9講 傳統(tǒng)邏輯中基本命題的推理

9.1 基本命題的推理

復(fù)合命題的推理：以復(fù)合命題為前提或結(jié)論，以命題聯(lián)接詞的性質(zhì)為推理依據(jù)。

基本命題的推理：以基本命題為前提和結(jié)論，以基本命題的內(nèi)部成分和結(jié)構(gòu)為推理依據(jù)。

基本命題：本身不再包含其他命題的命題。

復(fù)合命題：由一個(gè)或多個(gè)基本命題加上命題聯(lián)結(jié)詞所構(gòu)成的命題。

9.2 傳統(tǒng)邏輯對(duì)基本命題的分析

傳統(tǒng)邏輯對(duì)性質(zhì)命題的分析

• 主詞(S)
• 謂詞(P)
• 量詞：全稱，特稱，單稱
• 聯(lián)詞：肯定，否定

根據(jù)量詞(全稱、特稱)、聯(lián)詞(肯定、否定)的組合

性質(zhì)命題分為:

• 全稱肯定(SAP)：所有S是P (A)
• 全稱否定(SEP)：所有S不是P (E)
• 特稱肯定(SIP)：有S是P (I)
• 特稱否定(SOP) :有S不是P (O)

AEIO源于拉丁字母，請(qǐng)記住其含義。

9.3 性質(zhì)命題中主、謂詞的周延

周延：詞項(xiàng)作為主詞、謂詞出現(xiàn)在性質(zhì)命題中時(shí)，是否涉及到其全部外延，稱為是否周延。（下面<u>加下劃線</u>為周延）

• 全稱肯定(SAP) : (所有<u>S</u>是P)（例，所有金屬都是導(dǎo)體）

• 全稱否定(SEP) : (所有<u>S</u>不是<u>P</u>)（例，所有金屬都不是絕緣體）

• 特稱肯定(SIP) : (有S是P)（例，有的北京人是大學(xué)生）

• 特稱否定(SOP) : (有S不是<u>P</u>)（例，有的人不是大學(xué)生）

• 全稱命題(A、E)的主詞周延

• 特稱命題(I、O)的主詞不周延

• 否定命題(E、O)的謂詞周延

• 肯定命題(A、I)的謂問不周延

關(guān)于詞項(xiàng)周延的一般規(guī)則:

推理中，在前提中出現(xiàn)時(shí)不周延的詞項(xiàng)，在結(jié)論中出現(xiàn)時(shí)也不得周延。

9.4 命題變形的推理

1.換位法：

• <u>S</u>E<u>P</u>可推出<u>P</u>E<u>S</u>（例，所有金屬都不是絕緣體 推出 所有絕緣體都不是金屬）
• SIP可推出PIS（例，有的大學(xué)生是北京人 推出 有的北京人為大學(xué)生）
• <u>S</u>AP可推出PIS（例，所有金屬都是導(dǎo)體 推出 有的導(dǎo)體是金屬）

關(guān)于詞項(xiàng)周延的一般規(guī)則:

推理中，在前提中出現(xiàn)時(shí)不周延的詞項(xiàng)，在結(jié)論中出現(xiàn)時(shí)也不得周延。

錯(cuò)例：

• <u>S</u>AP, <u>P</u>AS（例，所有金屬都是導(dǎo)體，所有導(dǎo)體都是金屬 X，有的導(dǎo)體是金屬）
• SO<u>P</u>, PO<u>S</u>（例，有的鳥不是動(dòng)物，有的動(dòng)物不是鳥）（貌似說得過去）

2.換質(zhì)法：

• SAP可推出SE<span style="text-decoration: overline">P</span>（例，所有金屬都是導(dǎo)體，推出 所有金屬都不是非導(dǎo)體）
• SEP可推出SA<span style="text-decoration: overline">P</span>（例，所有金屬都不是絕緣體，推出 所有金屬都是非絕緣體）
• SIP可推出SO<span style="text-decoration: overline">P</span>（例，有的北京人是學(xué)生，推出 有的北京人不是非學(xué)生）
• SOP可推出SI<span style="text-decoration: overline">P</span>

9.5 根據(jù)對(duì)當(dāng)關(guān)系的推理

邏輯方陣

• 反對(duì)：可以同假，不能同真（例，SAP-所有金屬都是導(dǎo)體，SEP所有金屬都不是導(dǎo)體）

• 下反對(duì)：可以同真，不能同假（例，SIP-有的人會(huì)游泳，SOP-有的人不會(huì)游泳）

• 矛盾：必一真一假（例，SEP-所有金屬都不是導(dǎo)體，SIP-有的金屬是導(dǎo)體）

• 差等：上真下必真，下假上必假（例，SAP-所有金屬都是導(dǎo)體（上真），SIP-有的金屬是導(dǎo)體（下必真））（例，SAP-所有的人都會(huì)游泳（假），SIP-有的人會(huì)游泳（真））

• SAP可推出?(SEP), SIP,?(SOP)

• ?(SAP)可推出SOP

• SEP可推出?(SAP),?(SIP),SOP

• ?(SEP)可推出SIP

• SIP可推出?(SEP)

• ?(SIP)可推出?(SAP), SEP, SOP

• SOP可推出?(SAP)

• ?(SOP)可推出SAP,?(SEP), SIP

9.6 三段論

三段論:

由包含一個(gè)共同詞項(xiàng)的兩個(gè)性質(zhì)命題作為前提，推出一個(gè)性質(zhì)命題作為結(jié)論的推理形式。

• （所有金屬是導(dǎo)體，所有鋼鐵是金屬） -> 所有有鋼鐵是導(dǎo)體
• （所有金屬是導(dǎo)體，有的塑料不是導(dǎo)體） -> 有的塑料不是金屬

三段論的結(jié)構(gòu):

（先看結(jié)論）作為結(jié)論之主詞的詞項(xiàng)稱為小詞(S)，作為結(jié)論之謂詞的詞項(xiàng)稱為大詞(P)，（再到前提）只出現(xiàn)在前提中的詞項(xiàng)稱為中詞(M)。

含有大詞的前提稱為大前提，含有小詞的前提稱為小前提。

9.7 三段論的式與格

式：由作為大前提、小前提、結(jié)論的性質(zhì)命題的種類而確定。

• （所有金屬是導(dǎo)體MAP，所有鋼鐵是金屬SAM） -> 所有有鋼鐵是導(dǎo)體SAP AAA式
• （所有金屬是導(dǎo)體，有的塑料不是導(dǎo)體） -> 有的塑料不是金屬 AOO式

AAA...OOO，共4 * 4 * 4 = 64種

• (所有金屬是導(dǎo)體MAP, 所有鋼鐵是金屬SAM) -> 所有銅鐵是導(dǎo)體SAP
• (所有金屬是導(dǎo)體PAM, 所有鋼鐵是導(dǎo)體SAM) -> 所有鋼鐵是金屬SAP

格：由中詞、大詞、小詞在前提中的位置而確定。

共有4個(gè)格：

• (所有金屬是導(dǎo)體MAP, 所有鋼鐵是金屬SAM) -> 所有銅鐵是導(dǎo)體SAP AAA-1
• (所有金屬是導(dǎo)體PAM,有的塑料不是導(dǎo)體SOM) -> 有的塑料不是金屬SOP AOO-2

• 式：由作為大前提、小前提、結(jié)論的性質(zhì)命題的種類而確定，共有64個(gè)不同的式
• 格：由中詞、大詞、小詞在前提中的位置而確定，共有4個(gè)格
• 三段論結(jié)合式與格，共有256種可能的格式

9.8 有效三段論的判定

1.寫成三段論的標(biāo)準(zhǔn)形式。

（魯迅著作前后不一，上一句表示魯迅全部著作，下一句為魯迅一本著作）

2.若結(jié)論為肯定命題，則兩個(gè)前提必定均為肯定命題；若結(jié)論為否定命題，則兩個(gè)前提必定一為肯定命題、一為否定命題。

3.中詞在前提中至少周延一次（中詞是用來作媒介）

周延：詞項(xiàng)作為主詞、謂詞出現(xiàn)在性質(zhì)命題中時(shí)，是否涉及到其全部外延，稱為是否周延。

4.小詞、大詞在結(jié)論中若周延，則其在前提中必須周延。

有效三段論的判定四條方法

1. 寫成三段論的標(biāo)準(zhǔn)形式;
2. 若結(jié)論為肯定命題，則兩個(gè)前提必定均為肯定命題;若結(jié)論為否定命題，則兩個(gè)前提必定一為肯定命題、一為否定命題。
3. 中詞在前提中至少周延一次。
4. 小詞、大詞在結(jié)論中若周延，則其在前提中必須周延。

三段論有效格式的特征

三段論的有效格式

弱稱（上圖帶括號(hào)的）：本來可以得到全稱的，但是你現(xiàn)在給出是特稱，它的有效性是由條件的。

不推薦背誦這三段論的有效格式，但推薦背誦有效三段論的判定四條方法

第10講 基本命題的推理

10.1 性質(zhì)命題

基本命題的組成部分:

• 謂詞
• 主詞
• 量詞

一元謂詞：每次需要一個(gè)主詞與之配合，通常表示主詞的某種性質(zhì)；

多元(如二元，三元，...)謂詞：每次需要多個(gè)(如兩個(gè)，三個(gè)，...)主詞與之配合，通常表示多個(gè)主詞之間的某種關(guān)系。

性質(zhì)命題：含有一元謂詞的基本命題；

關(guān)系命題：含有多元謂詞的基本命題。

• P: 謂詞變?cè)?/p>

• x: 個(gè)體變?cè)?/p>

• P(x): x是P (x有性質(zhì)P)

• 量詞:?，?

• (?x)(P(x)): 所有x是P

• (?x)(P(x)): 至少存在一個(gè)x是P

量詞?和?之間可以互相替換表達(dá)：

• (?x)(P(x))與?(?x)(?P(x))等值
• (?x)(P(x))與?(?x)(?P(x))等值

性質(zhì)命題在數(shù)理邏輯中的表述

• 全稱肯定(SAP)(所有S是P) : (?x)(S(X)→P(x))
• 全稱否定(SEP)(所有S不是P) : (?x)(S(x)→(?P(x)))
• 特稱肯定(SIP)(有S是P) : (?x)(S(x)∧P(x))
• 特稱否定(SOP)(有S不是P) : (?x)(S(x)∧?P(x))

SAP與SOP，SEP與SIP的矛盾關(guān)系

• (?x)(S(X)→P(x))與?(?x)(S(x)∧?P(x))與同值
• (?x)(S(x)→(?P(x)))與?(?x)(S(x)∧P(x))同值
• (?x)(S(x)∧P(x))與?(?x)(S(X)→?P(x))同值
• (?x)(S(x)∧?P(x))與?(?x)(S(x)→(P(x)))同值

10.2 主詞非空的預(yù)設(shè)

預(yù)設(shè)：預(yù)先的假設(shè)（說話人和聽話人不言自明的東西）

• 你什么時(shí)候回來？（預(yù)設(shè)：你將要離開。）
• 你戒煙了嗎？（預(yù)設(shè)：你曾經(jīng)抽煙。對(duì)非抽煙者，該問題不成立。）

全稱命題推出存在命題時(shí)，須預(yù)設(shè)：前提中主詞(S)不為空詞項(xiàng)。

若前提中主詞為空詞項(xiàng)，則從全稱命題到存在命題的推理不成立。

空詞項(xiàng)：外延為空。（美國女總統(tǒng)，數(shù)學(xué)純黃金）

例，美國外交官說“我不能競(jìng)選美國總統(tǒng)?！保诿绹錾娜瞬庞匈Y格競(jìng)選總統(tǒng)，且他不是出生在美國。

不能直接從(?x)(S(x)→P(x))（即A命題），推出(?x)(S(x)∧P(x))（即I命題）

例，S(x)：這人是美國女總統(tǒng)，P(X)：這人是在美國出生的。

若從A命題推出I命題，須增加前提(?x)(S(x))，即從(?x)(S(X)→P(x))∧(?x)(S(x))，推出(?x)(S(x)∧P(x))

例。對(duì)于上例，(?x)(S(x))：至少有一個(gè)美國女總統(tǒng)。

上圖中5個(gè)帶括號(hào)的格式，在傳統(tǒng)邏輯是可以的，但在嚴(yán)格地說，它們有條件。

三段論中，若小詞為空詞項(xiàng)，那么弱式將不成立。

10.3 關(guān)系命題的結(jié)構(gòu)

關(guān)系命題：含有多元謂詞的基本命題，如二元關(guān)系命題：

R(x, y)：x對(duì)于y，有關(guān)系R R：謂詞變?cè)?x, y：個(gè)體變?cè)?量詞：?，?

• (?x)(?y)R(x, y)

• (?y)(?x)R(x, y)

• (?x)(?y)R(x, y)

• (?y)(?x)R(x, y)

• (?x)(?y)R(x, y)

• (?y)(?x)R(x, y)

• (?x)(?y)R(x, y)

• (?y)(?x)R(x, y)

例如：

R：害怕 x：老鼠 y：貓

10.4 關(guān)系命題根據(jù)量詞的推理

(?x)(?y)R(x, y) ? (?y)(?x)R(x, y)
                 ?
(?x)(?y)R(x, y) ? (?y)(?x)R(x, y)
(?x)(?y)R(x, y) ? (?y)(?x)R(x, y)
                 ?
(?x)(?y)R(x, y) ? (?y)(?x)R(x, y)

10.5 關(guān)系命題根據(jù)謂詞性質(zhì)的推理方法

1.自返性

• 自反關(guān)系：(?x)R(x, x)（例，數(shù)學(xué)上的等于）
• 反自返關(guān)系：(?x)(?R(x, x))（例，數(shù)學(xué)上的大于）
• 非自返關(guān)系：((?x)R(x, x))∧((?x)(?R(x, x)))（例，有的人能正確認(rèn)識(shí)自己，有的人不能正確認(rèn)識(shí)自己）

2.對(duì)稱性

• 對(duì)稱關(guān)系：(?x)(?y)((R(x,y))?(R(y,x)))（例，直線a與直線b平行，直線b與直線a平行）
• 反對(duì)稱關(guān)系：(?x)(?y)((R(x,y))?(?R(y,x)))（例，張三是李四的哥哥）
• 非對(duì)稱關(guān)系：((?x)(?y)((R(x,y))?(R(y,x))))∧((?x)(?y)((R(x,y))?(?R(y,x))))（例，愛慕關(guān)系，存在張三李四互相愛慕，并且張三一廂情愿愛慕李四）

3.傳遞性

• 傳遞關(guān)系：(?x)(?y)(?z)(((R(x,y)∧R(y,z)))?R(x,z))（例，A大于B，B大于C，A大于C）
• 反傳遞關(guān)系：(?x)(?y)(?z)(((R(x,y)∧R(y,z)))?(?R(x,z)))(例，平面上，A垂直于B，B垂直于C，A不垂直于C)
• 非傳遞關(guān)系：((?x)(?y)(?z)(((R(x,y)∧R(y,z)))?R(x,z)))∧((?x)(?y)(?z)(((R(x,y)∧R(y,z)))?(?R(x,z))))（例，朋友的朋友）

請(qǐng)注意:

“關(guān)系命題根據(jù)謂詞性質(zhì)的推理方法”只是給出了一種方法，不是純形式的邏輯推理。

10.6 謂詞演算簡介

用于謂詞演算的一階語言

符號(hào)庫：

合式公式：合于形成規(guī)則的式子(相當(dāng)于合乎語法的句子)。（這里公式是表達(dá)式，不是數(shù)學(xué)的公式）

• 一階謂詞演算
• 高階謂詞演算
• 謂詞演算的公理系統(tǒng)
• 謂詞演算的自然演繹系統(tǒng)

第11講 非經(jīng)典邏輯的初步

11.1 非經(jīng)典（非標(biāo)準(zhǔn)）邏輯

• 古典邏輯
• 經(jīng)典邏輯
• 非經(jīng)典邏輯（經(jīng)典邏輯的補(bǔ)充）

11.2 多值邏輯

源于亞里士多德

如三值邏輯，命題的真值可?。?/p>

• T(真), I(可能), F(假)
• 1, 2, 3
• 0, 1/2, 1

盧卡西維茨(1878-1956)：1920年《論三值邏輯》，首次提出多值邏輯的系統(tǒng)

盧卡西維茨的盧卡西維茨的真值表

11.3 模糊邏輯

即無窮多連續(xù)值邏輯：扎德(1921年生)于1965年提出模糊集合概念

模糊邏輯將模糊的東西變得精確

命題真值取值為“隸屬度”，在[0，1]之間連續(xù)取值

11.4 模態(tài)邏輯

含有必然、可能等模態(tài)(modal)詞的命題及其推理

亞里士多德的模態(tài)三段論

劉易斯( 1883-1964) 于1914年構(gòu)造模態(tài)命題演算系統(tǒng)

基本模態(tài)詞：

• 必然□
• 或然◇

• □P：必然p
• ◇p：可能p

• 反對(duì)(不能同真可以同假)：□p與□?p
• 下反對(duì)(不能同假可以同真)：◇p與◇?p
• 矛盾(必一真一假)：□p與◇?p，□?p與◇p
• 差等(上真下必真，下假上必假)：□p對(duì)◇p，□?p對(duì)◇?p

根據(jù)模態(tài)命題之間的矛盾關(guān)系:

• “必然”等值于“不可能不”
• “可能”等值于“不必然不”
• “不可能”等值于“必然不”
• “不必然”等值于“可能不”

不包含模態(tài)詞的命題可視為模態(tài)的特例：實(shí)然

• 反對(duì)(不能同真可以同假)：□p與□?p，□p與?p，□?p與p
• 下反對(duì)(不能同假可以同真)：◇p與◇?p，◇p與?p，◇?p與p
• 矛盾(必一真一假)：□p與◇?p，□?p與◇p，p與?p
• 差等(上真下必真，下假上必假)：□p對(duì)◇p，□?p對(duì)◇?p，□p對(duì)p，p對(duì)◇p，□?p對(duì)?p，?p對(duì)◇?p

11.5 規(guī)范邏輯

含有必須、允許等規(guī)范詞的規(guī)范命題及其推理，亦稱道義邏輯、義務(wù)邏輯等。

馮、賴特(1916-2003)于1951年發(fā)表《規(guī)范邏輯》，并創(chuàng)立規(guī)范邏輯系統(tǒng)。

基本規(guī)范詞:

• 必須 O
• 允許 P
• 禁止(必須不) F

Op:必須p，Pp:允許p，F(xiàn)p:禁止p

• 反對(duì)(不能同真可以同假)：Op與Fp
• 下反對(duì)(不能同假可以同真)：Pp與P?p
• 矛盾(必一真一假)：Op與P p，F(xiàn)p與Pp
• 差等(上真下必真，下假上必假)：Op對(duì)Pp，F(xiàn)p對(duì)P?p

根據(jù)規(guī)范命題之間的矛盾關(guān)系:

• “必須”等值于“不允許不”
• “允許”等值于“不禁止”
• “允許”等值于“不禁止”
• “不必須”等值于“允許不”

11.6 時(shí)態(tài)邏輯

含有過去、現(xiàn)在、將來、永遠(yuǎn)等時(shí)態(tài)詞的時(shí)態(tài)命題及其推理

亦稱時(shí)間邏輯、時(shí)序邏輯等

普萊爾(1914-)于1957年建立時(shí)態(tài)邏輯的兩個(gè)系統(tǒng)

• 反對(duì)(不能同真可以同假)：
  • 永遠(yuǎn)p與永遠(yuǎn)?p，永遠(yuǎn)p與某時(shí)?p，永遠(yuǎn)?p與某時(shí)p
• 下反對(duì)(不能同假可以同真)：
  • 有時(shí)p與有時(shí)?p，有時(shí)p與某時(shí)?p，有時(shí)?p與某時(shí)p
• 矛盾(必一真一假)：
  • 永遠(yuǎn)p與有時(shí)?p，永遠(yuǎn)?ρ與有時(shí)p，某時(shí)p與某時(shí)?p
• 差等(上真下必真，下假上必假)：
  • 永遠(yuǎn)p對(duì)有時(shí)p，永遠(yuǎn)p對(duì)某時(shí)p，某時(shí)p對(duì)有時(shí)p,
  • 永遠(yuǎn)?p對(duì)有時(shí)?p,永遠(yuǎn)?p對(duì)某時(shí)?p,某時(shí)?p對(duì)有時(shí)?p

時(shí)態(tài)命題中可引入模態(tài)命題，構(gòu)成時(shí)態(tài)模態(tài)命題，將來可能等

規(guī)范邏輯、時(shí)態(tài)邏輯等都屬于廣義模態(tài)邏輯

11.7 弗協(xié)調(diào)邏輯

亦稱次協(xié)調(diào)邏輯、超協(xié)調(diào)邏輯、亞相容邏輯等

雅斯可夫斯基于1940年代末構(gòu)造第一個(gè)次協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)

達(dá)科斯塔(1929年生)建立更完善的次協(xié)調(diào)邏輯理論

協(xié)調(diào)(相容)：不存在合式公式A使得A和(?A)都是定理。

不足道(平庸)：所有合式公式都是定理。

經(jīng)典邏輯系統(tǒng)是協(xié)調(diào)而非不足道的。

若非協(xié)調(diào)則必定不足道(從相互矛盾的兩個(gè)前提可以推出一切)。

弗協(xié)調(diào)：既非協(xié)調(diào)亦非不足道，即：存在合式公式A使得A和(?A)都是定理，但并非所有合式公式都是定理。

在弗協(xié)調(diào)邏輯中：不矛盾律(?(A∧?A) )并非普遍有效；從相互矛盾的兩個(gè)前提不能推出一切。

第12講 余論

12.1 演繹和歸納

• 傳統(tǒng)邏輯
  • 演繹:從一般到個(gè)別
  • 歸納:從個(gè)別到一般
  • 類比:從個(gè)別到個(gè)別
• 現(xiàn)代邏輯
  • 演繹:必然性推理
  • 歸納:或然性推理

完全歸納推理

歸納疑難 又稱休謨(1711-1776)問題：

• 歸納的根據(jù)是歸納本身?
• 歸納的根據(jù)何在?

12.2 探求因果關(guān)系的邏輯方法

1.求同法（契合法）

2.求異法（差異法）

3.求同求異并用法（契合差異并用法）

4.共變法

5.剩余法

12.3 證論和反駁

論證:

根據(jù)已知為真的命題，通過推理確定某一命題的真實(shí)性。

• 論題
• 論據(jù)
• 論證方式

推理：

• 前提
• 推理形式
• 結(jié)論

論證：

• 論據(jù)
• 論證方式
• 論題

論據(jù)必須是真

間接論證:

• 排除法(剩余法)：A或B或C，非B，非C，從而A。
• 反證法：非A假，從而A真。

反駁：論證某一命題虛假，或確定某一論證不能成立。

歸謬法：若A真，則引出矛盾：可見A假。

謬誤

• 論題不清
• 虛假論據(jù)
• 循環(huán)論證
• 訴諸權(quán)威
• 以先后為因果
• 轉(zhuǎn)移論題
• 預(yù)期理由
• 以人為據(jù)
• 訴諸感情
• 以相對(duì)為絕對(duì)

12.4 悖論

悖論：

由其真可推出其假、由其假可推出其真的命題。

A與其自身的否定非A等值。

說謊者悖論：

“我正在說謊?！薄斑@句話是假的。”

解決：“不自指。”

理發(fā)師悖論：

“某村理發(fā)師規(guī)定給并且只給任何不給自己刮胡子的村民刮胡子。”

解決：“不自指。”

“不能用少于十八個(gè)漢字定義的最小整數(shù)?！?/p>

12.5 本課程《邏輯學(xué)概論》內(nèi)容回顧

• 第1講 什么是邏輯學(xué)？
  • 1.1 “邏輯和邏輯學(xué)
  • 1.2 推理和推理形式
  • 1.3 有效推理形式
  • 1.4 邏輯學(xué)的特點(diǎn)
  • 1.5 邏輯學(xué)的基本準(zhǔn)則
  • 1.6 邏輯學(xué)和其他學(xué)科的關(guān)系
  • 1.7 關(guān)于本課程《邏輯學(xué)概論》
• 第2講 邏輯學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展
  • 2.1 中國古代邏輯思想（上）
  • 2.2 中國古代邏輯思想（中）
  • 2.3 中國古代邏輯思想（下）
  • 2.4 印度古代邏輯
  • 2.5 古希臘和中世紀(jì)邏輯
  • 2.6 近代西方邏輯
  • 2.7 數(shù)理邏輯的提出和實(shí)現(xiàn)
  • 2.8 數(shù)理邏輯的發(fā)展
• 第3講 命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式
  • 3.1 推理和命題
  • 3.2 基本命題和復(fù)合命題
  • 3.3 常用命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式（1）
  • 3.4 常用命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式（2）
  • 3.5 常用命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式（3）
  • 3.6 常用命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式（4）
  • 3.7 常用命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式（5）
  • 3.8 常用命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式（6）
  • 3.9 常用命題聯(lián)結(jié)詞及其基本推理形式（7）
• 第4講 復(fù)合命題的推理：有效推理形式的判定
  • 4.1 重言式、矛盾式和可滿足式
  • 4.2 具體推理轉(zhuǎn)換為推理形式
  • 4.3 推理形式轉(zhuǎn)換為復(fù)合命題形式
  • 4.4 有效推理形式的判定：真值表法
  • 4.5 有效推理形式的判定：歸謬賦值法
• 第5講 復(fù)合命題的推理：命題聯(lián)結(jié)詞的充足集
  • 5.1 命題聯(lián)結(jié)詞：真值函數(shù)
  • 5.2 析取范式
  • 5.3 為復(fù)合命題形式作與之等值的析取范式
  • 5.4 合取范式
  • 5.5 范式存在定理
  • 5.6 命題聯(lián)結(jié)詞的充足集
  • 5.7 命題聯(lián)結(jié)詞的獨(dú)元充足集
• 第6講 命題演算：公理系統(tǒng)
  • 6.1 公理系統(tǒng)的構(gòu)成
  • 6.2 命題演算的公理系統(tǒng)L
  • 6.3 命題演算公理系統(tǒng)L中的證明
  • 6.4 命題演算公理系統(tǒng)L中的證明（續(xù)）
  • 6.5 命題演算公理系統(tǒng)L中的推演
• 第7講 命題演算：公理系統(tǒng)，自然演繹系統(tǒng)
  • 7.1 公理系統(tǒng)出發(fā)點(diǎn)的延伸
  • 7.2 公理系統(tǒng)的評(píng)價(jià)
  • 7.3 公理系統(tǒng)的性質(zhì)和評(píng)價(jià)及其意義
  • 7.4 命題演算的自然演繹系統(tǒng)
  • 7.5 命題演算自然演繹系統(tǒng)中的證明和推演
• 第8講 基本命題的構(gòu)成
  • 8.1 基本命題的結(jié)構(gòu)
  • 8.2 詞項(xiàng)的內(nèi)涵和外延
  • 8.3 詞項(xiàng)的種類
  • 8.4 詞項(xiàng)間的關(guān)系
  • 8.5 詞項(xiàng)的定義
  • 8.6 詞項(xiàng)的劃分
  • 8.7 謂詞的分類
  • 8.8 量詞
  • 8.9 聯(lián)詞
• 第9講 傳統(tǒng)邏輯中基本命題的推理
  • 9.1 基本命題的推理
  • 9.2 傳統(tǒng)邏輯對(duì)基本命題的分析
  • 9.3 性質(zhì)命題中主、謂詞的周延
  • 9.4 命題變形的推理
  • 9.5 根據(jù)對(duì)當(dāng)關(guān)系的推理
  • 9.6 三段論
  • 9.7 三段論的式與格
  • 9.8 有效三段論的判定
• 第10講 基本命題的推理
  • 10.1 性質(zhì)命題
  • 10.2 主詞非空的預(yù)設(shè)
  • 10.3 關(guān)系命題的結(jié)構(gòu)
  • 10.4 關(guān)系命題根據(jù)量詞的推理
  • 10.5 關(guān)系命題根據(jù)謂詞性質(zhì)的推理方法
  • 10.6 謂詞演算簡介
• 第11講 非經(jīng)典邏輯的初步
  • 11.1 非經(jīng)典（非標(biāo)準(zhǔn)）邏輯
  • 11.2 多值邏輯
  • 11.3 模糊邏輯
  • 11.4 模態(tài)邏輯
  • 11.5 規(guī)范邏輯
  • 11.6 時(shí)態(tài)邏輯
  • 11.7 弗協(xié)調(diào)邏輯
• 第12講 余論
  • 12.1 演繹和歸納
  • 12.2 探求因果關(guān)系的邏輯方法
  • 12.3 證論和反駁
  • 12.4 悖論
  • 12.5 本課程《邏輯學(xué)概論》內(nèi)容回顧