要想弄清楚這個問題，就得先弄清楚一個函數(shù)在某一點的導數(shù)是什么。求一個函數(shù)在一點處切線的斜率是導數(shù)問題的思想來源之一，如下圖所示

即，已知函數(shù)f(x)，并告訴你函數(shù)圖像上的一點P，過P點做該曲線的切線，問如何求該切線的斜率？

我們知道對于一條直線而言，它的斜率定義就是在直線上任取兩個點(x?,y?)，(x?,y?)，那么斜率就是(y?-y?)/(x?-x?)，但是求曲線的切線斜率則遭遇到了困難，因為我們只知道一個點P的坐標，而不知道第2個點，因此我們需要采用全新的手段。

我們采用用割線來逼近切線的方法，即，在點P附近的函數(shù)圖像上取另外一個點Q，連接PQ兩點得到一條直線，這條直線就是函數(shù)的一條割線，而現(xiàn)在我們有了兩個點，因而割線的斜率是可以求出來的。在點P附近可以找到無數(shù)個Q點，因此可以做出無數(shù)條割線來，我們讓Q向P點的方向移動，那么這條割線也就隨之移動，當Q無限接近于P時，割線也就無限接近于切線，如下圖所示

因此割線的斜率的極限就是切線的斜率，我們再來明確一下這個計算公式，先在函數(shù)圖像上把我們需要的信息標出來

P點的坐標是(a,f(a))，Q點的坐標是(x，f(x))，因此割線PQ的斜率就是f(x)-f(a)除以x-a，再讓x無限趨近于a，于是就得到了切線的斜率，我們把這個數(shù)值稱為f(x)在這一點的導數(shù)，記為f'(a)，即

同樣上面的過程，我們還可以換一套符號系統(tǒng)，如下圖

我們把P和Q兩點橫坐標的差值記為h，于是按照同樣的方法，我們又可以得到另外一個式子

上面兩個式子的實質(zhì)是一樣的，稱為函數(shù)f(x)在x=a處導數(shù)的第一定義和第二定義。

由上面的定義可以看出，函數(shù)在一點的導數(shù)值，實際上就相當于是一個極限值，而我們學極限的時候也已經(jīng)學過，極限的結(jié)果有三種情況：某個常數(shù)、正負無窮、不存在。而一條直線的斜率又不能是正負無窮，因此當這個極限值算出來是正負無窮或不存在時，我們也說這一點的導數(shù)不存在，即函數(shù)在這一點不可導。

我們所能想象出來的函數(shù)絕大部分都是可導的，那么不可導的會有什么樣的情況呢？

首先最明顯的一個例子，如果函數(shù)在某一點是間斷的，那么一定是不可導的，證明如下：

我們在學函數(shù)的連續(xù)性的時候，已經(jīng)學過，函數(shù)在一點a處是連續(xù)的意思就是滿足下面這個三聯(lián)等式:

于是如果函數(shù)在一點是斷開的，那么至少有一個等于號不成立，我們不妨設

于是代入到導數(shù)計算式中求右極限的式子

可以看出當x無限趨近于a的右側(cè)的時候，分母不等于0，而分子等于0。于是他的極限只能是無窮，因而函數(shù)在這一點不可導。

其實我們直觀的想象一下也可以明白其中的原因，函數(shù)如果在一點是斷開的，那么就無法做切線了，因而肯定是沒有導數(shù)的。

上面這個結(jié)論也是高中時我們常說的，可導必連續(xù)的由來，因為這句話的逆否命題就是不連續(xù)一定不可導，二者同真同假。因此又留下一個疑問，如果是連續(xù)的，那么是不是一定可導了呢？顯然也不是的，我們有如下幾個例子。

例1

我們可以帶入到導數(shù)的定義式中計算

這個算式的左右極限不一樣，因而該點的極限不存在，進而導數(shù)也就不存在。這個函數(shù)的圖像如下圖所示

從圖中我們也可以看到，零點處是一個帶尖兒的點，如果想在零這一點做切線的話，從左邊做和從右邊做做出來是兩條不同的直線，因此該點處沒有一條統(tǒng)一的切線，所以也就沒有導數(shù)了。這種不可導數(shù)點，我們稱之為尖點。

例2

同樣代入到導數(shù)的表達式中，我們有

從左右兩邊來看極限都是無窮，因此這一點也是不可導的。它的函數(shù)圖像如下圖所示

可以看出來，如果過零點做一條切線的話，是一條豎直線，而豎直線是沒有斜率的，因此也就沒有導數(shù)。這種點我們稱之為豎直切線點。

上面兩個例子是我們可以想象出來的，還有一類例子我們非常難以想象，只能靠計算了。

例3

代入到導數(shù)的計算公式中可以得到

而這個函數(shù)當x趨近于0時是無窮震蕩的，因為極限也不存在

，進而不可導，它的圖像如下圖所示：

越接近于零點時震蕩得就越劇烈。

其實在歷史上，人們對連續(xù)性與可導性的認識經(jīng)歷了相當漫長的過程。一開始當微積分的發(fā)明人牛頓提出導數(shù)這個概念時，因為當時人們對函數(shù)的認識還不是很清晰，認為函數(shù)無非就是一條連續(xù)的曲線，那么過任何一點都是可以做切線的，于是當時人們就認為函數(shù)在任何一點都是可導的。

但是后來隨著人們研究的深入，發(fā)現(xiàn)了諸如尖點這樣的不可導點，但是依然受限于人們的認識水平，他們認為一條連續(xù)的曲線除了個別尖點之外，剩下的應該是處處可導的。函數(shù)在某個區(qū)間上可導則稱函數(shù)這個區(qū)間上是光滑的，也就是說當時人們以為對于任何一個函數(shù)，它除了少數(shù)見點之外，剩下的大部分應該都是光滑的。這其實也很符合我們現(xiàn)在的認知。

但是在1860年，德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯卻發(fā)現(xiàn)了這樣一個函數(shù)

經(jīng)過復雜的證明，可以知道這個函數(shù)是處處連續(xù)的，但是卻處處不可導。這個發(fā)現(xiàn)震驚了當時數(shù)學界，徹底顛覆了人們對導數(shù)的認識：原來還存在這樣一類函數(shù)，它是一條連續(xù)的曲線，但是所有點的導數(shù)不存在。這一發(fā)現(xiàn)又開辟了一個新的研究領域，即處處連續(xù)但無處可導的函數(shù)，從而也大大加深了人們對函數(shù)的認識，在一定程度上為分型理論的提出奠定了基礎。

威爾斯特拉斯(Weierstrass, 1815-1897)

處處連續(xù)但處處不可導的函數(shù)的例子

參考文獻

[1]. Calculus, early transcendentals, 7ed，James Stewwart，BROOKS/COLE.

[2]. 無處可微的連續(xù)函數(shù)，劉文，遼寧教育出版社.