第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念

教學(xué)目的：理解導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義會求平面曲線的切線和法線,了解導(dǎo)數(shù)的

物理意義,理解函數(shù)連續(xù)性與可導(dǎo)性之間的關(guān)系

教學(xué)重點：導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義

教學(xué)難點：導(dǎo)數(shù)定義的理解,不同形式的掌握

教學(xué)內(nèi)容：

一、引例

1．切線問題

圓的切線可定義為“與曲線只有一個交點的直線”.但是對于其它曲線，用“與曲線只有一個交點的直線”作為切線的定義就不一定合適.例如，對于拋物線，在原點處兩個坐標軸都符合上述定義，但實際上只有軸是該拋物線在點處的切線.下面給出切線的定義.

設(shè)有曲線及上的一點（圖2-1），在點外另取上一點，作割線.當(dāng)點沿曲線趨于點時，如果割線繞點旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置,直線就稱為曲線在點處的切線.這里極限位置的含義是：只要弦長趨于零，也趨于零.

現(xiàn)在就曲線為函數(shù)的圖形的情形來討論切線問題.設(shè)是曲線上的一個點（圖2-2），則.根據(jù)上述定義要定出曲線在點處的切線，只要定出切線的斜率就行了.為此，在點外另取上的一點，于是割線的斜率為

，

其中為割線的傾角.當(dāng)點沿曲線趨于點時，.如果當(dāng)時，上式的極限存在，設(shè)為,即

存在，則此極限是割線斜率的極限，也就是切線的斜率.這里，其中是切線的傾角.于是，通過點且以為斜率的直線便是曲線在點處的切線.事實上，由以及時，可見時（這時），.因此直線確為曲線在點處的切線.

2．質(zhì)點沿直線運動的速度

設(shè)某點沿直線運動.在直線上引入原點和單位點（即表示實數(shù)1的點），使直線成為數(shù)軸.此外，再取定一個時刻作為測量時間的零點.設(shè)動點于時刻在直線上的位置的坐標為（簡稱位置）.這樣，運動完全由某個函數(shù)

所確定.這函數(shù)對運動過程中所出現(xiàn)的值有定義，稱為位置函數(shù).在最簡單的情形，該動點所經(jīng)過的路程與所花的時間成正比.就是說，無論取哪一段時間間隔，比值

所花的時間

總是相同的.這個比值就稱為該動點的速度，并說該點作勻速運動.如果運動不是勻速的，那么在運動的不同時間間隔內(nèi)，比值①會有不同的值.這樣，把比值①籠統(tǒng)地稱為該動點的速度就不合適了，而需要按不同時刻來考慮.那么，這種非勻速運動的動點在某一時刻（設(shè)為）的速度應(yīng)如何理解而又如何求得呢？

首先取從時刻到這樣一個時間間隔，在這段時間內(nèi)，動點從位置移動到.這時由①式算得的比值

可認為是動點在上述時間間隔內(nèi)的平均速度.如果時間間隔選得較短，這個比值②在實踐中也可用來說明動點在時刻的速度.但對于動點在時刻的速度的精確概念來說，這樣做是不夠的，而更確切地應(yīng)當(dāng)這樣：令,?、谑降臉O限，如果這個極限存在，設(shè)為，即，這時就把這個極限值稱為動點在時刻的（瞬時）速度.

二、導(dǎo)數(shù)的定義

1．函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)

定義 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量（點仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果與之比當(dāng)時的極限存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，記為，即

也可記作，或.

函數(shù)在點處可導(dǎo)有時也說成在點具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在.

導(dǎo)數(shù)的定義式③也可取不同的形式，常見的有

和

2．求導(dǎo)舉例

例 1 求函數(shù)（為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù).

解：，即.這就是說，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零.

例 2 求函數(shù)（為正整數(shù)）在處的導(dǎo)數(shù).

解：

把以上結(jié)果中的換成得，即.

更一般地，對于冪函數(shù)（為常數(shù)），有.這就是冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.利用這公式，可以很方便地求出冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如：

當(dāng)時，（）的導(dǎo)數(shù)為

，即

當(dāng)時，（）的導(dǎo)數(shù)為

，即

例 3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解：

即

這就是說，正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是余弦函數(shù).

用類似的方法，可求得，這就是說，余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是負的正弦函數(shù).

例 4求函數(shù)（）的導(dǎo)數(shù).

解：

即

這就是指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.特殊地，當(dāng)時，因，故有

上式表明，以為底的指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是它自己，這是以為底的指數(shù)函數(shù)的一個重要特性.

例5

解：

即

3、單側(cè)導(dǎo)數(shù)

根據(jù)函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的定義，是一個極限，而極限存在的充分必要條件是左、右極限都存在且相等，因此存在即在點處可導(dǎo)的充分必要條件是左、右極限

及

都存在且相等.這兩個極限分別稱為函數(shù)在點處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，記作及，即

，

現(xiàn)在可以說，函數(shù)在點處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.

如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且及都存在，就說在閉區(qū)間上可導(dǎo).

例6

解：

=1

三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

是曲線在點的切線斜率；

路程對時間的導(dǎo)數(shù)是時刻的速度；

在抽象情況下，表示在點變化的快慢

四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

定理 如果函數(shù)在點處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點必連續(xù).

證：

，

，

=0

在點處連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，而不是充分條件.

例 7

解：

在不連續(xù)，即在不可導(dǎo).

例 8

解：

在可導(dǎo)，當(dāng)然在點連續(xù).

例 9

解：

在連續(xù)

在不可導(dǎo).