我們都知道，法國幾百年來一直盛產(chǎn)數(shù)學家，而且從未間斷，這就是法國數(shù)學可以經(jīng)久不衰的根源所在。法國近代數(shù)學的發(fā)展可以追溯到十七世紀，這一時期正是科學復興和發(fā)展的時候，而法國數(shù)學界則誕生了笛卡爾和費馬等偉大的數(shù)學家。而今天所介紹的是被稱為“業(yè)余數(shù)學之王”的費馬。

費馬

費馬(Pierre de Fermat，1601~1665)是法國著名數(shù)學家，出生于法國南部的圖盧茲地區(qū)，父親是家產(chǎn)豐厚的皮革商人，后來還到政府就職，而母親則是當?shù)匾幻h會法官的女兒。費馬的家庭條件十分優(yōu)渥，這就讓他從小有機會接受良好的教育。和當時的傳統(tǒng)一樣，費馬青少年時期接受的是家庭教育，不過比較遺憾的是，沒有任何資料記錄了費馬這段時間內(nèi)的學習情況。大約在14歲時，費馬到進入圖盧茲的學校學習法律。費馬選擇學習法律不僅僅是因為家庭的影響，也是當時法國社會的風氣，在當時的法國人看來，成為律師或法官是一件非常榮耀的事。

1631年，三十歲的費馬進入圖盧茲政府就職，此后一生中費馬一路升遷，不過這倒不是因為他政績突出，實際上以當時的資料來看，費馬的管理水平和施政水平都很一般，談不上有什么突出的成績。真正使得他得以升遷的除了他的貴族身份外，更多的是因為他歷來廉潔奉公，真誠待人，這贏得了許多人的愛戴。直到去世，費馬都在政府部門兢兢業(yè)業(yè)工作，只在工作之余才花時間在感興趣的數(shù)學上，這也正是費馬被稱“業(yè)余數(shù)學之王”的原因。

和同時代的其他數(shù)學家相比，費馬的一生十分平靜，沒有什么大起大落，顯得波瀾不驚。費馬和自己的表妹結婚后，育有三兒兩女，這些子女后來的境遇都使費馬感到滿意，尤其是他的大兒子克萊蒙。克萊蒙幾乎繼承了費馬的身份和公職，最重要的是，克萊蒙在費馬去世以后花費大量時間精力整理出版他父親在幾十年里完成的研究筆記，否則，費馬的工作將永遠石沉大海，再無問世的可能。

1665年1月12日，在處理完卡斯特雷城的一個案子后，費馬因病去世，結束了他平靜、誠實、正直的一生。

正如上面所說的那樣，費馬的一生“平淡無奇”，真正具有吸引力的就是關于他的數(shù)學的故事，例如費馬素數(shù)，費馬大定理等，即使過了差不多四百年，這些仍是人們津津樂道的話題?？v觀費馬一生，他的貢獻主要集中在解析幾何，微積分的早期發(fā)展，概率論，數(shù)論，除去數(shù)學之外，他在光學上也成就卓著。

解析幾何

費馬和笛卡爾都是公認的解析幾何創(chuàng)始人，但他們的出發(fā)點是不同的，實際上，費馬在解析幾何上看得更遠。費馬對幾何的興趣來自于阿波羅尼奧斯的光輝數(shù)學思想，阿波羅尼奧斯是與歐幾里得，阿基米德齊名的古希臘數(shù)學家，他的《圓錐曲線論》則代表了古希臘幾何學的最高成就，而這樣超前的幾何學思想過了差不多一千八百年才得到重視和發(fā)展，而費馬就是這樣一個能意識到圓錐曲線重要性的數(shù)學家。

在費馬的時代，阿波羅尼奧斯的名著《平面軌跡》完整版早已失傳，費馬則收集了其中的一些命題，并且嘗試用代數(shù)知識來證明和解釋這些定理，在此基礎上，費馬在1630年完成了論文《平面與立體軌跡引論》，總結了他在這方面的工作，但這篇論文直到費馬去世十四年之后才公諸于世，但從這篇論文可以看出，費馬在解析幾何上的思想上開創(chuàng)性的。

費馬指出：“兩個未知量決定的—個方程，這個方程對應著一條軌跡，且可以由此描繪出一條直線或曲線”。費馬的解析幾何思想比笛卡爾要早，他可能是世界上第一個真正理解方程和幾何之間聯(lián)系的數(shù)學家。同時，費馬超越笛卡爾的地方還在于，他考慮了三維的情形，也就是三個變量的方程，這對應這空間中的曲面，在1643年的一封信中，他討論了如今解析幾何中常見的橢球面，橢圓拋物面和雙曲面等二次曲面，并且研究了它們的一般性質(zhì)。

微積分

微積分無疑是十七世紀最重大的數(shù)學成就，而牛頓和萊布尼茨則是公認的微積分理論的創(chuàng)造者。但正如牛頓所言，他是站在巨人的肩膀之上才能取得這些成就，對于微積分而言，費馬就是這樣一位偉大的先驅(qū)。

求曲線的切線和函數(shù)的極值是微積分的一大來源，這些問題也關聯(lián)到物理中的動力學問題。而費馬的貢獻在于他不僅找到了求給定曲線在一點切線的一般方法，更重要的是，他給出了函數(shù)取局部極值的必要條件——導數(shù)為零，也就是今天微積分課程中常見的“費馬定理”，它也成為了日后各種中值定理的起源。牛頓后來也承認，他的微積分工作受到了費馬思想的啟發(fā)。

費馬也思考過一些具體的定積分問題，但限于時代，他并沒有像牛頓和萊布尼茨那樣找到一般規(guī)律。

概率論

概率論在數(shù)學中的歷史相當悠久，但差不多到了十五世紀，數(shù)學家才對“概率”給出了數(shù)學上的描述，這一問題的研究動力很大程度上來源于當時盛行的賭博活動，很多人都希望可以找到公平的賭博方法和賞金分配方式。到了十七世紀，帕斯卡和費馬等數(shù)學家對概率進行了深入的思考，成為了這一領域的先驅(qū)，也初步建立起了概率論的數(shù)學基礎。

在費馬的時代，還沒有“概率”這樣的概念，但費馬使用了拿可能出現(xiàn)的情況數(shù)量除以所有可能情況數(shù)量來表達一件事發(fā)生的可能性大小，這也就成了如今概率空間的雛形。

對于概率論，費馬最大的貢獻在于他和帕斯卡共同給出了“數(shù)學期望”這個重要的概念。十七世紀初流傳著一個著名的關于賞金分配問題：甲乙二人賭博，他們兩人每局獲勝的機率相等，比賽規(guī)則是先勝三局者為贏家，一共進行五局，贏家可以獲得100法郎的獎勵。當比賽進行到第三局的時候，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時由于某些原因中止了比賽，那么如何分配這100法郎才比較公平？

費馬在與帕斯卡的通信中提出了以二人最終輸贏的概率為標準來劃分賞金，也即：甲最終獲勝的概率為四分之三，而乙獲勝的概率為四分之一，所以公平的分配方式為甲獲得75法郎而乙獲得25法郎。通過對這一問題的思考，“數(shù)學期望”的概念就這樣誕生了，它在如今的概率論中占據(jù)著相當重要的地位。

數(shù)論

毫無疑問，費馬以對數(shù)論的研究著稱，而且數(shù)論也是他成就最大，影響最深遠的數(shù)學領域，單就一個費馬大定理便影響了數(shù)學界三百多年。小學或初中我們就聽說過費馬素數(shù)的故事，盡管費馬在這個問題上犯了錯誤，但他對“數(shù)”的直覺卻在同時代的數(shù)學家中無可匹敵。

費馬對數(shù)論的興趣來自于古希臘數(shù)學家丟番圖所寫的《算術》一書，他大概在1628年獲得了此書，之后幾乎花費了一生來研讀這本著作，而“費馬大定理”正是來自此書，費馬在這本書的空白處開了一個世紀“玩笑”，他在書的空白處聲稱方程“X^n+Y^n=Z^n”沒有大于2的整數(shù)解，并且自己找到了一個簡單的證明方法，但空白太小寫不下了。后來大數(shù)學家歐拉在對這個問題百思不得其解的情況下，竟親自跑到費馬的故居去找這個所謂的“簡單證明”。費馬這樣的“玩笑”后來也有了模仿者，英國大數(shù)學家哈代非常害怕坐船，于是每次坐船之前，他都會給同事發(fā)一份電報，聲稱自己已經(jīng)解決了黎曼猜想，回來以后再給出證明細節(jié)，當然，只要他能活著回來，這樣的證明就不可能存在。

通過研究《算術》中的不定方程 ，費馬提出了解不定方程的無窮遞降法，這成為了研究不定方程的重要基礎。除此之外，費馬還解決了許多具體而重要的問題：

費馬小定理：如果p是一個質(zhì)數(shù)，而整數(shù)a不是p的倍數(shù)，則有a^（p-1）≡1（mod p）。費馬小定理后來由歐拉推廣到了一般的形式。

形如4n+1的素數(shù)與它的平方都只能以一種方式表達為兩個平方數(shù)之和；它的3次和4次方都只能以兩種表達為兩個平方數(shù)之和；5次和6次方都只能以3種方式表達為兩個平方數(shù)之和，以此類推。

邊長為有理數(shù)的直角三角形的面積不可能是一個平方數(shù)。

找到了第二對親和數(shù)。

這里要特別提到親和數(shù)，如果有兩個數(shù)a和b，a的所有除本身以外的因數(shù)之和等于b，b的所有除本身以外的因數(shù)之和等于a，則稱a,b是一對親和數(shù)。歷史上第一對親和數(shù)220與284是古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的，畢達哥拉斯對此說道：“朋友是你靈魂的倩影，要像220與284一樣親密”。之后一千多年里，由于長期沒有發(fā)現(xiàn)其他的親和數(shù)，220和284這對親和數(shù)被賦予了許多神秘的宗教色彩，甚至被別有用心之人拿來蠱惑人心。但費馬憑借自己強大的數(shù)感找到了另外一對親和數(shù)17296和18416，徹底粉碎那些蠱惑人心的謠言。自費馬之后，越來越多的親和數(shù)被發(fā)現(xiàn)，但這已經(jīng)是另外一個故事了。

光學

除去數(shù)學之外，費馬出人意料地在光學上有奠基性的貢獻。在這一領域，費馬最突出的成就是提出了最短時間原理：光線移動的路徑是所需時間最少的路徑。盡管費馬原理在某些情形失效，但費馬還是據(jù)此推導出了光的折射定律。后來的數(shù)學家受費馬的啟發(fā)，還提出更為一般的最小作用原理，適用范圍也大大擴展。

結語

古往今來有無數(shù)的業(yè)余數(shù)學愛好者，但費馬無疑是其中最出色的一個，他完全擔得起“業(yè)余數(shù)學之王”這個名號，因為他的成就不僅在同時代的數(shù)學家中璀璨奪目，而且也深刻地影響了后世幾百年。費馬在他所涉獵的幾個領域中，扮演的都是開創(chuàng)者的角色，他的鼎鼎大名不僅在過去耀眼，在今后也不會被磨滅，是值得后世永遠紀念的偉大數(shù)學家。