17世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家，皮埃爾·德·費馬（Pierre Fermat，1601？-1665），過著繁忙的生活。盡管數(shù)學(xué)對他而言只是一個愛好，他卻在該領(lǐng)域取得了巨大的成就。費馬的研究涉及多個方面，包括積分、深奧的物理原理、解析幾何、算術(shù)和邏輯。在算術(shù)領(lǐng)域，費馬占據(jù)著舉足輕重的地位。他提出了一些關(guān)于素數(shù)的未解決問題，這些問題至今仍然困擾著數(shù)學(xué)家。費馬認(rèn)為，有些定理之所以被認(rèn)為是“重要的”，是因為它們具有深刻的智力價值，并能推動科學(xué)發(fā)展。作為純粹的數(shù)學(xué)家，費馬至少與牛頓不相上下。并且，牛頓的一生有近三分之一時間活在了18世紀(jì)，但費馬卻完全生活在17世紀(jì)。再者，牛頓把他的數(shù)學(xué)主要當(dāng)做科學(xué)探索的工具。而費馬則不然，他雖然在將數(shù)學(xué)應(yīng)用于科學(xué)，但純數(shù)學(xué)對他而言具有更強的吸引力。隨著笛卡兒在1637年公布了解析幾何，數(shù)學(xué)開始進入現(xiàn)代階段，而且在其后的很多年里仍然處在這樣的初級階段。發(fā)明微積分使牛頓作為一個純數(shù)學(xué)家的聲望達到頂點。而費馬在牛頓出生前13年，就想出并應(yīng)用了微分的主要概念。至于笛卡兒和費馬，他們各自完全獨立地發(fā)明了解析幾何，在這個問題上他們旗鼓相當(dāng)。笛卡兒的主要努力在于各種各樣的科學(xué)研究，對他的哲學(xué)的苦心經(jīng)營。費馬從未像笛卡爾和帕斯卡那樣被關(guān)于上帝、人類和宇宙整體的哲學(xué)探討所吸引。在解決了他感興趣的微積分和解析幾何問題之后，費馬依然能夠?qū)⑹Ｓ嗟木ν度氲剿顭釔鄣南病償?shù)學(xué)。正是在這方面，他完成了他最偉大的成就，奠定了數(shù)論的基礎(chǔ)，并因此贏得了無可爭議的聲譽。很快我們將看到，費馬與帕斯卡共同創(chuàng)立了概率論的數(shù)學(xué)理論。如果所有這些一流的成就還不足以讓費馬在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域成為他那個時代的王者，那么我們不禁要問，還有誰能做得更多？費馬是一個天生的創(chuàng)造者。嚴(yán)格意義上說，他在科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)儆跇I(yè)余愛好者。然而毫無疑問，他在科學(xué)史上成為了最重要的業(yè)余愛好者之一。生平簡介費馬于1601年8月出生在法國博蒙-德洛馬涅。他在數(shù)論和數(shù)學(xué)方面的杰出成就，并非源于他所受的教育，因為當(dāng)時他所取得突破的領(lǐng)域還未被開發(fā)，他所學(xué)的內(nèi)容幾乎不可能啟發(fā)他。在他的實際生活中，值得一提的幾個事件包括：他30歲時在圖盧茲擔(dān)任晉見接待官；1648年，他成為圖盧茲地方議會的議員，并在這個職位上工作了17年；最后，于1665年1月去世，享年65歲。我們現(xiàn)在扼要敘述一下費馬在微積分的發(fā)展中所起的作用。在微分學(xué)中，與幾何學(xué)等價的一個基本問題是在給定點上求曲線的切線。這里所說的“連續(xù)曲線”是指一條光滑且無間斷或突躍的曲線。簡單來說，這個問題關(guān)注的是如何找到一條直線，它僅在給定的點上與這樣一條連續(xù)曲線相接觸，形成相切的關(guān)系。費馬和其他微積分創(chuàng)始人使用幾何和物理的直觀思考來解決曲線上某點的切線問題。他們的方法是：- 在想象中讓點Q沿著曲線向點P滑動，直至Q與P重合。
當(dāng)點Q靠近點P時，連接P和Q的直線PQ會逐漸接近曲線在點P處的切線。當(dāng)Q與P完全重合時，直線PQ就變成了曲線在點P的切線。這種方法利用了幾何直觀來解決微積分中的問題。下一步就是 將幾何語言翻譯成代數(shù)和分析的過程，以求解曲線上某點的切線問題。- 首先，設(shè)定點P的坐標(biāo)為(x, y)，點Q的坐標(biāo)為(x+a, y+b)。
- 觀察圖形，可以看出弦PQ的斜率等于b/a。這個斜率可以理解為弦PQ相對于x軸的傾斜程度。
- 要找到點P處的切線斜率，需要計算當(dāng)點Q接近點P（即a和b趨近于0）時，b/a的極限值。這個極限值就是切線的斜率。
- 知道了切線的斜率和點P的坐標(biāo)，就可以畫出切線。
這個過程將幾何問題轉(zhuǎn)換成代數(shù)問題，從而更容易地求解曲線在某點處的切線。這并不一定就是費馬畫切線的過程，但是他的過程大體上與上面描述的過程相同。為什么求解曲線上某點的切線值得關(guān)注。動力學(xué)中一個基本概念是移動質(zhì)點的速度。我們可以繪制一個描述質(zhì)點運動的線（直線或曲線），它展示了質(zhì)點在單位時間內(nèi)通過的距離。在這條線上任意給定點處的切線實際上表示質(zhì)點在該點的瞬時速度。質(zhì)點運動得越快，切線斜率越陡。實際上，這個斜率衡量了質(zhì)點在運動路徑上任何點的速度。當(dāng)將運動問題轉(zhuǎn)換為幾何問題時，它實際上變成了在曲線上找到給定點的斜率的問題。還有類似的問題，如求解曲面上的切平面（在力學(xué)和數(shù)理物理中也具有重要意義）。這些問題都需要用微分學(xué)來解決，而我們已經(jīng)嘗試描述了微分學(xué)的基本問題，就是在費馬和他的繼承者面前所呈現(xiàn)的樣子。在中學(xué)教育中，學(xué)生們通常會學(xué)習(xí)到這些知識。在繪制函數(shù)y=f(x)的圖形時，如果圖形上有極大或極小點，我們會發(fā)現(xiàn)在這些極值點處，切線將平行于x軸，即切線斜率為零。因此，當(dāng)我們尋找給定函數(shù)f(x)的極值時，我們需要解決曲線y=f(x)斜率問題。在找到一般點(x, y)處的斜率后，令斜率的代數(shù)表達式等于零，便可找到該極值點的x值。這就是費馬在1628-1629年發(fā)現(xiàn)的極大極小方法，10年后才把這個方法給了笛卡兒。費馬極值方法在科學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。例如，在力學(xué)中，拉格朗日發(fā)現(xiàn)了當(dāng)某個關(guān)于物體位置和速度的函數(shù)取極值時，它提供了系統(tǒng)的運動方程，反過來又可以確定給定時刻的運動。在物理學(xué)中，有許多類似的函數(shù)，每個函數(shù)都概括了數(shù)理物理學(xué)的一個廣泛分支。希爾伯特在1916年為廣義相對論發(fā)現(xiàn)了一個這樣的函數(shù)。費馬將他的極值方法成功應(yīng)用于光學(xué)。值得注意的是，這一特殊發(fā)現(xiàn)被證明是從1926年開始發(fā)展的新量子理論的基礎(chǔ)，特別是在數(shù)學(xué)方面的波動方程。費馬還發(fā)現(xiàn)了通常稱為“最小時間原理”的原理。根據(jù)這個原理，光線在從點A傳播到點B的過程中，會自動選擇一條使傳播時間最短（極小）的路徑。在這個過程中，光線可能會經(jīng)歷反射和折射。折射是指光線在經(jīng)過不同介質(zhì)（如從空氣進入水中）時發(fā)生彎曲。這個原理表明，盡管光線在傳播過程中可能經(jīng)歷各種扭曲、轉(zhuǎn)向和反射，但它總會選擇一條讓從A到B所需時間最短的路徑。費馬將解析幾何從二維擴展到了三維，這一擴展對于當(dāng)時的數(shù)學(xué)家并不顯而易見。他還在一個關(guān)于曲線分類的基本論點上修正了笛卡兒的理論。雖然兩人在費馬的切線方法上發(fā)生爭論，但最終費馬獲得了勝利，因為他是正確的。有趣的是，盡管長時間沒有明確證據(jù)表明牛頓了解費馬的微積分成果，但在1934年，L·T·莫爾在其關(guān)于牛頓的傳記中提到了一封信。在這封信中，牛頓明確表示，他從費馬的切線方法中獲得了微分法的啟示。數(shù)論我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)向費馬最偉大的工作——數(shù)論。希臘人把我們通常認(rèn)為的“算術(shù)”分成了兩個單獨的部分，即邏輯學(xué)和算術(shù)。邏輯學(xué)是關(guān)于計算在一般商業(yè)和日常生活中的實際應(yīng)用；算術(shù)就是在費馬和高斯意義下的算術(shù)，他們力圖去發(fā)現(xiàn)關(guān)于數(shù)的一些性質(zhì)。算術(shù)研究整數(shù)之間的相互關(guān)系，這在數(shù)學(xué)中可能是最復(fù)雜的問題。為了解決這些問題，數(shù)學(xué)家不得不發(fā)明代數(shù)和分析中的深奧的定理。這些看似無用的研究在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了豐富的應(yīng)用，與物理世界產(chǎn)生了直接聯(lián)系。專業(yè)代數(shù)學(xué)家開發(fā)了新方法來解決代數(shù)方程理論，這些方法直接源于解決費馬大定理。下面要討論的，在費馬的一生中是非常重要的，在數(shù)學(xué)史上也是如此?？紤]一組數(shù)3，5，17，257，65537，它們都屬于一個特殊類型的“序列”，因為它們都是用同一個簡單的過程生成的，不難發(fā)現(xiàn)，這個序列是用下面的公式構(gòu)成的，費馬宣稱，序列中所有的數(shù)都是素數(shù)（被稱為費馬素數(shù)）。然而，當(dāng)n大于4時，費馬素數(shù)的素數(shù)性質(zhì)就不再成立。例如，F(xiàn)_5 = 2^(2^5) + 1 = 2^32 + 1 = 4294967297，它可以被641整除，因此不是素數(shù)。費馬素數(shù)的研究在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有重要意義，并為后來的研究提供了基礎(chǔ)。在18世紀(jì)末的十年里，數(shù)學(xué)史上的幾個最重要事件之一發(fā)生了，這在某種程度上歸因于費馬素數(shù)。其中一件是構(gòu)造正多邊形。古希臘人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)如何僅使用直尺和圓規(guī)構(gòu)造正3，4，5，6，8，10和15邊形。接下來的挑戰(zhàn)是用尺規(guī)構(gòu)造正7，9，11，13等邊形。許多人嘗試過，但沒有成功，因為這樣的方法是不存在的，只是他們并不知道這是不可能的。在2200多年后，那個在數(shù)學(xué)和語言學(xué)天才邁出了重要的一步。這位年輕人證明了用直尺和圓規(guī)構(gòu)造奇數(shù)邊的正多邊形是可能的，但只有在邊數(shù)是費馬素數(shù)或由不同費馬素數(shù)相乘得到的數(shù)時才可能。因此，正如古希臘人所知，可以構(gòu)造正3，5和15邊形，但不能構(gòu)造正7，9，11或13邊形。正是這個發(fā)現(xiàn)，使得這位年輕人選擇了數(shù)學(xué)而非語言學(xué)作為他的畢生事業(yè)。他的名字叫高斯。費馬小定理如果n是任意整數(shù)，p是任意素數(shù)，那么n^p-n可以被p 整除。例如取p=3，n=5，我們得到5^3-5是120；對于n=2，p=11，我們得到2^11-2是2046=11×186。在數(shù)學(xué)中，有些定理被認(rèn)為是“重要的”，而其他一些卻被認(rèn)為是相對不重要的。有幾個標(biāo)準(zhǔn)可以用來評估定理的重要性：首先，這個定理應(yīng)該能應(yīng)用于數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域；其次，它應(yīng)該激發(fā)算術(shù)或廣義數(shù)學(xué)的研究；第三，它應(yīng)該在某種程度上具有普遍性。費馬定理滿足了這些要求：它在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中具有不可或缺的作用，包括群論，群論又是代數(shù)方程論的基礎(chǔ)；它具有普遍性，因為它描述了所有素數(shù)的一個性質(zhì)，這種普遍性陳述是非常難以發(fā)現(xiàn)的。費馬以他的一貫方式陳述了關(guān)于n^p-n的定理，但沒有給出證明。第一個證明是萊布尼茨給出的。高等算術(shù)為我們提供了豐富的有趣事實和真理，這些事實和真理并非孤立存在，它們之間存在著緊密的內(nèi)在聯(lián)系。隨著我們知識的積累，我們不斷在這些事實和真理之間發(fā)現(xiàn)新的、有時出人意料的聯(lián)系。高等算術(shù)中的很多定理因為具有以下特性而更具吸引力：具有簡單特征的重要命題往往容易通過歸納法發(fā)現(xiàn)，但這些特征卻很深奧，我們往往需要經(jīng)過許多徒勞的努力才能找到它們的證明。即使我們確實找到證明，通常也是通過一些復(fù)雜且繁瑣的過程，而更簡單的方法可能需要很長時間才能找到。 高斯提到的這些有趣的事實之一是費馬發(fā)現(xiàn)的關(guān)于數(shù)的最美妙的東西：每一個形式為4n＋1的素數(shù)是兩個數(shù)的平方和，并且這種和的形式是唯一的。例如，37被4除有余數(shù)1，所以37一定是兩個整數(shù)的平方和。通過試驗，我們發(fā)現(xiàn)確實37=1＋36=12＋62，并且沒有其他兩個數(shù)x，y能滿足37=x2＋y2。費馬也沒有留下這個定理的證明。偉大的歐拉在1749年首次證明了這個定理，花了7年時間。費馬大定理任何玩數(shù)字游戲的人很可能會注意到27=25＋2這個奇妙的事實，因為27和25都是某個的數(shù)的冪，即這樣我們就觀察到，y^2=x^2＋2有一個整數(shù)x，y的解；這個解是x=5，y=3。讀者現(xiàn)在可以證明y=3，x=5是滿足這個方程的唯一整數(shù)。這個證明并不容易。事實上，對付這件表面上幼稚的事，比掌握相對論需要更多的天賦。方程y^2=x^2+2是一個丟番圖方程，指一類只尋求整數(shù)解的代數(shù)方程。與普通代數(shù)方程不同，丟番圖方程的特點是，我們對這類方程只關(guān)心整數(shù)解，而不關(guān)心實數(shù)解或復(fù)數(shù)解。y=3，x=5這個解是"由檢查"看出的；問題的困難在于證明沒有其他的整數(shù)y，x能滿足這個方程。費馬證明了沒有其他的解，但像通常那樣沒有發(fā)表他的證明。直到他死后好多年，才找到了一個證明。費馬有一個習(xí)慣，在讀巴歇的《丟番圖》時，他把思考的結(jié)果簡略地記在書頁的空白處。空白處不適宜寫下證明。這樣，費馬在評論丟番圖的算術(shù)的第2卷上第8個問題時，該問題要求方程x^2＋y^2=a^2的有理數(shù)解，他寫下了如下的話：反之，不可能把一個數(shù)的立方分解成兩個數(shù)的立方和，把一個數(shù)的四次方分解成兩個數(shù)的四次方的和，或者更一般地說，把大于2的任意次冪的數(shù)分解成兩個同次冪數(shù)的和：我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了（這個一般定理的）一個真正奇妙的證明，但是這個空白太窄了，寫不下。 這就是他在大約1637年發(fā)現(xiàn)的他的著名的費馬大定理。把這段話用現(xiàn)代語言敘述出來就是：如果n是大于2的整數(shù)，則不存在這樣的整數(shù)x，y，a，使得費馬本人用他的無窮下降法給出了x^4+y^4=d^4不可解的一個證明。費馬有沒有弄錯的可能呢？在1994年，英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）成功證明了費馬大定理。懷爾斯的證明是通過將費馬大定理與其他復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念聯(lián)系起來，如橢圓曲線和模形式。這一證明是一個巨大的成就，不僅解決了一個長期未解的問題，而且還為數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域帶來了深遠(yuǎn)的影響。費馬大定理在歷史上的著名性和證明過程的復(fù)雜性使其成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個重要里程碑。
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