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費(fèi)馬猜想一方面非常簡(jiǎn)單明了，初中生都能聽(tīng)懂，但想要證明它卻難如登天。 費(fèi)馬大定理有怎樣的傳奇色彩？到底有多難被證明？為何連歐拉和計(jì)算機(jī)技術(shù)都沒(méi)能解決它？安德魯 · 懷爾斯又是在怎樣的機(jī)緣之下才解決了這一問(wèn)題？ 本期音頻取材于數(shù)學(xué)科普經(jīng)典《費(fèi)馬大定理》。本書作者西蒙 · 辛格采訪了費(fèi)馬大定理的證明者安德魯 · 懷爾斯，獲得了大量一手資料，詳述了費(fèi)馬大定理在數(shù)學(xué)史中留下的傳奇故事，以及懷爾斯對(duì)費(fèi)馬大定理的證明過(guò)程。 你將聽(tīng)到：
書籍信息：
關(guān)于作者 西蒙 · 辛格，劍橋大學(xué)粒子物理學(xué)博士，BBC 導(dǎo)演，英國(guó)電影和電視藝術(shù)學(xué)院獎(jiǎng)的最佳紀(jì)錄片獎(jiǎng)獲得者。 關(guān)于本書 《費(fèi)馬大定理》是西蒙 · 辛格深入采訪了費(fèi)馬大定理的證明者——安德魯 · 懷爾斯之后所寫就的作品，中文版曾獲得 “全國(guó)優(yōu)秀科普作品獎(jiǎng)”。辛格所執(zhí)導(dǎo)的同名紀(jì)錄片獲得了英國(guó)電影和電視藝術(shù)學(xué)院獎(jiǎng)的最佳紀(jì)錄片獎(jiǎng)。 核心內(nèi)容 本書以費(fèi)馬大定理為線索，穿插介紹了數(shù)學(xué)的發(fā)展史，并詳盡地記錄了費(fèi)馬大定理的誕生過(guò)程，數(shù)學(xué)史上圍繞它的種種傳奇故事，以及安德魯 · 懷爾斯激動(dòng)人心的奮斗歷程。 點(diǎn)擊查看大圖，保存到手機(jī)，也可以分享到朋友圈 前言 你好，歡迎每天聽(tīng)本書。本期音頻為你解讀的是《費(fèi)馬大定理》，副標(biāo)題是 “一個(gè)困惑了世間智者 358 年的謎”。這本書的中文版大約 23 萬(wàn)字，我會(huì)用大約 29 分鐘的時(shí)間，為你講述書中精髓：數(shù)學(xué)家是如何證明費(fèi)馬大定理的？ 我先來(lái)說(shuō)一說(shuō)什么是費(fèi)馬大定理。費(fèi)馬大定理又被稱為 “費(fèi)馬最后的定理”，其實(shí)它很簡(jiǎn)單，就是說(shuō)當(dāng)整數(shù) n >2 時(shí)，x^n y^n = z^n 這個(gè)方程，沒(méi)有正整數(shù)解。 從這本書的副標(biāo)題 “一個(gè)困惑了世間智者 358 年的謎”，我們就能看出來(lái)，費(fèi)馬大定理是全世界最為出名的數(shù)學(xué)難題之一，它的誕生也頗富傳奇色彩。費(fèi)馬是 17 世紀(jì)的一位天才數(shù)學(xué)家，費(fèi)馬大定理，其實(shí)只是他在一本書的頁(yè)邊空白處寫下的一句話而已。好玩的是，費(fèi)馬寫下這一定理之后，又加上了一句數(shù)學(xué)史上最著名的批注，“我有一個(gè)對(duì)這個(gè)命題非常美妙的證明，但這里空白太小，我寫不下。” 只要了解一點(diǎn)數(shù)學(xué)常識(shí)的人都知道，既然叫費(fèi)馬大定理，那就說(shuō)明，它已經(jīng)被證明了是成立的。在沒(méi)被證明之前，就只能叫猜想，成不成立還不一定。雖然費(fèi)馬自稱證明了費(fèi)馬大定理，但是其他數(shù)學(xué)家們并沒(méi)有在費(fèi)馬的手稿中發(fā)現(xiàn)證明過(guò)程。不光如此，歷代數(shù)學(xué)家們前赴后繼，也沒(méi)能證明費(fèi)馬猜想是對(duì)的，所以猜想只能是猜想。直到 1995 年，數(shù)學(xué)家安德魯 · 懷爾斯完成了證明，費(fèi)馬猜想才終于變成了費(fèi)馬大定理。順便說(shuō)一下，這個(gè) “大” 字，也不是隨便加的，它是為了區(qū)分于另一個(gè)叫做費(fèi)馬小定理的數(shù)學(xué)定律。 你可能會(huì)想，數(shù)學(xué)本來(lái)就很抽象了，數(shù)學(xué)家們花了幾百年都證明不了的費(fèi)馬大定理，我們普通人怎么能聽(tīng)懂？的確，像黎曼猜想等著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題，普通人的確是連符號(hào)都看不懂。但費(fèi)馬猜想不一樣，它一方面非常簡(jiǎn)單明了，初中生都能聽(tīng)懂，但另一方面，想要證明它卻難如登天。今天要講的《費(fèi)馬大定理》這本書，講述的就是數(shù)學(xué)家們證明費(fèi)馬大定理的故事。以費(fèi)馬大定理為線索，書中穿插介紹了許多精妙的數(shù)學(xué)思想，可以說(shuō)是一部簡(jiǎn)寫的數(shù)學(xué)發(fā)展史，非常精彩?？催@本書的感覺(jué)，一點(diǎn)都不像是在讀科普，而是像在讀小說(shuō)或者看電影，讓人欲罷不能。有書評(píng)說(shuō)，這本書圍繞著一個(gè)難度極高的謎題，講了一代代數(shù)學(xué)精英在這個(gè)謎題上的前仆后繼，最終出現(xiàn)了一位天才，經(jīng)過(guò) 7 年的秘密奮斗，最終征服了這個(gè)千古難題，再次驗(yàn)證了數(shù)學(xué)之美。整個(gè)故事結(jié)構(gòu)就像好萊塢電影一樣，非常激動(dòng)人心。 為了展現(xiàn)證明費(fèi)馬大定理這段歷史的精彩之處，接下來(lái)，我就順著原書思路，從三個(gè)角度來(lái)為你介紹本書精髓：第一個(gè)問(wèn)題，費(fèi)馬大定理為什么這么出名；第二個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)屆是怎么研究費(fèi)馬猜想的；第三個(gè)問(wèn)題，安德魯 · 懷爾斯是如何證明費(fèi)馬大定理的。 第一部分 先來(lái)看第一個(gè)問(wèn)題，費(fèi)馬大定理為什么這么出名？ 費(fèi)馬 1601 年出生在法國(guó)，他的父親是一位皮革商，很有錢，費(fèi)馬從小也受到了很好的教育。不過(guò)費(fèi)馬并不是一位職業(yè)數(shù)學(xué)家，他的本職工作，其實(shí)是一位高級(jí)公務(wù)員。不過(guò)費(fèi)馬這個(gè)人沒(méi)有什么政治野心，而且當(dāng)時(shí)的政治局勢(shì)也比較混亂，費(fèi)馬不想趟渾水，所以把自己的業(yè)余時(shí)間全都用在了數(shù)學(xué)上。從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，費(fèi)馬其實(shí)是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家，但他在數(shù)學(xué)上實(shí)在是太有天賦了，所以被稱為 “業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。 那費(fèi)馬對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了哪些貢獻(xiàn)呢？費(fèi)馬是概率論的創(chuàng)始人之一，他和同時(shí)代的數(shù)學(xué)家帕斯卡，共同創(chuàng)立了概率論，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的分支。此外，費(fèi)馬還對(duì)微積分的創(chuàng)立做出了很大的貢獻(xiàn)。一直以來(lái)大家都認(rèn)為，微積分是牛頓發(fā)明的，但 1934 年的時(shí)候人們發(fā)現(xiàn)，牛頓自己在筆記中說(shuō)，他是在費(fèi)馬關(guān)于切線的研究的啟發(fā)下，才發(fā)展出了微積分。 光是憑借著對(duì)概率論和微積分的貢獻(xiàn)，費(fèi)馬就足以進(jìn)入數(shù)學(xué)名人堂了。但費(fèi)馬最大的成就，還不是概率論和微積分，而是在數(shù)學(xué)的另一個(gè)分支，“數(shù)論” 上。數(shù)論研究什么呢？其實(shí)就是研究數(shù)字，以及不同數(shù)字之間的關(guān)系，就是一個(gè)純粹的智力游戲，所以數(shù)論也被認(rèn)為是最純粹的數(shù)學(xué)。著名的數(shù)學(xué)家高斯曾說(shuō)，“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后”。數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位，由此可見(jiàn)一斑。 費(fèi)馬大定理，就是數(shù)論中的一個(gè)著名的難題。這條定理是怎么來(lái)的呢？大約是 1637 年，費(fèi)馬在看一本叫做《算術(shù)》的數(shù)學(xué)書。當(dāng)時(shí)費(fèi)馬正在看勾股定理，也稱為畢達(dá)哥拉斯定理，這條定理是這樣的：可以找到三個(gè)整數(shù) X、Y、Z，讓 x^2 y^2=z^2。比如說(shuō)，3 的平方加 4 的平方等于 5 的平方，那么 3、4、5 就滿足這個(gè)條件。你可以一直往下找，滿足這個(gè)條件的整數(shù)組無(wú)窮無(wú)盡。 費(fèi)馬看到這里的時(shí)候，靈光一閃，那么有沒(méi)有可能找到三個(gè)整數(shù)，讓 x^3 y^3=z^3 呢？如果不是 3 次方，而是 4 次方呢，有沒(méi)有可能找到三個(gè)整數(shù)，讓 x^3 y^3=z^4 呢？費(fèi)馬把這個(gè)想法寫在書的空白處。 費(fèi)馬認(rèn)為，這樣的數(shù)字并不存在。我們不可能找到三個(gè)整數(shù)，讓它們滿足 x^3 y^3=z^3。而且不光如此，你把 3 次方換成 4 次方、5 次方、6 次方，直到 n 次方，都不可能。只要 n 大于 2，x^3 y^3=z^3 的方程，就沒(méi)有正整數(shù)解。這個(gè)就是著名的費(fèi)馬猜想。 費(fèi)馬在書的頁(yè)邊空白處寫下了這個(gè)猜想，然后又寫了一句批注，說(shuō)我已經(jīng)找到了一個(gè)證明方法，但這里空白太小，我寫不下。這句話看起來(lái)很像惡作劇，但其實(shí)是費(fèi)馬一貫的風(fēng)格。跟很多其他的數(shù)學(xué)家不一樣，費(fèi)馬只喜歡敘述定理，但不喜歡證明定理。他經(jīng)常寫信給其他數(shù)學(xué)家，說(shuō)又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)什么定理，但是他卻不提供詳盡的證明，最多也只是用非常簡(jiǎn)略的步驟隨便證明一下，對(duì)方壓根就看不懂。 費(fèi)馬之所以這么做，除了帶有一點(diǎn)惡作劇的成分以外，也有非常實(shí)際的動(dòng)機(jī)。因?yàn)樽C明一個(gè)定理很難，需要花費(fèi)大量的時(shí)間去尋找各種各樣的方法，而且給出證明以后，還要接受來(lái)自同行的嚴(yán)格檢驗(yàn)，一旦出現(xiàn)任何一個(gè)漏洞，就前功盡棄了。所以費(fèi)馬的選擇就是，我不提供完整的證明，盡量把時(shí)間省下來(lái)，廣撒網(wǎng)，投入到其他的問(wèn)題中去。 費(fèi)馬猜想乍看上去并沒(méi)有什么特別的，那為什么那么出名呢？這就是因?yàn)?，要想證明費(fèi)馬猜想，可以說(shuō)是難如登天。費(fèi)馬人生中提出的大大小小各種定理，后來(lái)都一個(gè)一個(gè)地被證明了，唯有費(fèi)馬大定理，一直無(wú)法解決，所以它也被稱為 “費(fèi)馬的最后定理”。有數(shù)學(xué)家悲觀地認(rèn)為，也許在人類文明消亡之時(shí)，費(fèi)馬猜想也無(wú)法被解決。 費(fèi)馬猜想的名聲之大，甚至已經(jīng)超出了數(shù)學(xué)界。比如有人在小說(shuō)中設(shè)置了這樣的情節(jié)，說(shuō)一個(gè)人和魔王做交易，他要問(wèn)魔王一個(gè)問(wèn)題，如果能把魔王難住，那就能獲得十萬(wàn)美元；如果魔王在 24 小時(shí)之內(nèi)破解了這個(gè)問(wèn)題，那他就要出賣自己的靈魂。這個(gè)人問(wèn)魔王的問(wèn)題就是：費(fèi)馬猜想到底是不是正確的？魔王聽(tīng)完之后，風(fēng)馳電掣地跑遍全地球，吸收了所有的數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至還跑到其他星球上尋找外星數(shù)學(xué)家的幫助，最終也沒(méi)能解決這個(gè)問(wèn)題，只好認(rèn)輸。從這個(gè)角度上來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí) “費(fèi)馬猜想” 已經(jīng)成了 “難題” 的代名詞。 以上分享的就是今天的第一個(gè)問(wèn)題，費(fèi)馬大定理如此出名的原因。下面，我們回顧一下這部分的內(nèi)容。費(fèi)馬大定理的內(nèi)容很簡(jiǎn)單，當(dāng)整數(shù) n >2 時(shí)，x^n y^n = z^n 這個(gè)方程，沒(méi)有正整數(shù)解。費(fèi)馬大定理出名的原因，一方面是因?yàn)樗恼Q生非常富有傳奇色彩，另一方面，也是因?yàn)橐C明它的難度極高，對(duì)人類的智慧形成了重大的挑戰(zhàn)。 第二部分 在第一部分，我們說(shuō)完了要想證明費(fèi)馬猜想難度極高，那么第二個(gè)問(wèn)題我們就要來(lái)看一下，數(shù)學(xué)家們對(duì)于費(fèi)馬猜想這個(gè)難題的研究過(guò)程是怎樣的。 前面講到，費(fèi)馬自己在書的空白處寫了，我已經(jīng)找到了一個(gè)絕妙的證明，但是書邊的空白太小，寫不下。那么你可能會(huì)想，是不是說(shuō)，其實(shí)光憑費(fèi)馬那個(gè)年代的數(shù)學(xué)知識(shí)，我們就可以證明費(fèi)馬猜想了呢？我們的確無(wú)法排除這種可能，即使真是這樣，那這種證明方法也實(shí)在太難想了，許多數(shù)學(xué)史上的天才，都沒(méi)能證明費(fèi)馬猜想。 舉個(gè)例子，18 世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家歐拉，在數(shù)學(xué)史上具有極其崇高的地位，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的奠基者之一，我們現(xiàn)在說(shuō)的 “函數(shù)” 的概念，就是歐拉最早提出來(lái)的。就是這樣一位數(shù)學(xué)天才，也曾經(jīng)試圖證明費(fèi)馬猜想，但最終卻失敗了，我們來(lái)看看他是怎么做的。 費(fèi)馬猜想說(shuō)，x^n y^n = z^n，當(dāng) n 大于 2 的時(shí)候，這個(gè)方程沒(méi)有整數(shù)解。歐拉就想，可以先給 n 找一個(gè)特殊值，比如說(shuō) 3，然后證明在 n=3 的情況下，費(fèi)馬猜想是成立的。有了這個(gè)基礎(chǔ)之后，我再把這個(gè)結(jié)論推廣開(kāi)來(lái)，推廣到 4、5、6、100、1000…… 直到無(wú)窮，就可以證明費(fèi)馬猜想了。這個(gè)方法有點(diǎn)像是多米諾骨牌，只要先推倒第一塊，剩下的牌就都倒了。 歐拉的這個(gè)想法的確高明，而且更幸運(yùn)的是，他還找到了費(fèi)馬自己所留下的一個(gè)證明。他在翻閱費(fèi)馬手稿的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，費(fèi)馬在《算術(shù)》那本書里的另一個(gè)地方，證明了當(dāng) n=4 的時(shí)候，費(fèi)馬猜想是成立的。而且，雖然費(fèi)馬的證明過(guò)程非常簡(jiǎn)略，但是其中卻透露出了一種方法，叫 “無(wú)窮遞降法”。有了這第一塊多米諾骨牌，事情就好辦多了。 歐拉利用費(fèi)馬的證明結(jié)果和方法，再開(kāi)創(chuàng)性的引入了 “虛數(shù)” 的概念之后，成功地證明了，當(dāng) n=3 的時(shí)候，費(fèi)馬猜想也是成立的。這是在費(fèi)馬自己的證明之后，數(shù)學(xué)家們?cè)谫M(fèi)馬大定理上取得的第一個(gè)突破，非常偉大。但問(wèn)題是，雖然證明了費(fèi)馬大定理在 n=3 和 4 的時(shí)候成立，但歐拉設(shè)想中的，像多米諾骨牌那樣的結(jié)果，并沒(méi)有出現(xiàn)。對(duì)這兩個(gè)特殊數(shù)字的證明結(jié)論，無(wú)法推廣到其他情況中去。所以即使是偉大的歐拉，也在費(fèi)馬猜想這個(gè)問(wèn)題上失敗了。 之后又有一些杰出的數(shù)學(xué)家在歐拉的基礎(chǔ)上繼續(xù)前進(jìn)，也取得了巨大的成就，但也只能證明費(fèi)馬猜想在某些特殊數(shù)值中是成立的，沒(méi)人能完整地證明費(fèi)馬猜想。到了 20 世紀(jì)之后，新一代的數(shù)學(xué)家們已經(jīng)不研究費(fèi)馬猜想了，因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題已經(jīng)被公認(rèn)為幾乎不可能解決，大家不想浪費(fèi)時(shí)間，就都去忙著研究其他領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識(shí)了。 但到了 20 世紀(jì)后半期，一種新的、威力強(qiáng)大的新技術(shù)出現(xiàn)了，這就是計(jì)算機(jī)。計(jì)算機(jī)技術(shù)的出現(xiàn)，意味著計(jì)算量不再是一個(gè)問(wèn)題，我們可以通過(guò)大量的計(jì)算來(lái)暴力解決很多難題。不光如此，計(jì)算機(jī)還能給數(shù)學(xué)家們提供了很多解決問(wèn)題的新思路，這就像是 AlphaGo 和柯潔下棋一樣，AlphaGo 所采取的很多下棋策略，也可以給人類棋手帶來(lái)巨大啟發(fā)。 在數(shù)學(xué)中，計(jì)算機(jī)也能帶來(lái)相同的效果。比如說(shuō) “四色定理” 的證明，就是依靠計(jì)算機(jī)完成的。四色定理是說(shuō)，任何一張地圖，不管是什么形狀結(jié)構(gòu)，都只需要四種顏色上色，就可以保證任何兩塊相鄰區(qū)域的顏色都不同。數(shù)學(xué)家們研究了很久，最終是依靠計(jì)算機(jī)才完成了證明，而且，目前還沒(méi)有除了計(jì)算機(jī)以外的證明方法，由此可見(jiàn)計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大，以及它對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)。 在二戰(zhàn)之后，數(shù)學(xué)家開(kāi)始用計(jì)算機(jī)技術(shù)來(lái)處理費(fèi)馬猜想。到了 20 世紀(jì) 80 年代，數(shù)學(xué)家已經(jīng)通過(guò)計(jì)算機(jī)證明，當(dāng) n 小于 25000 的時(shí)候，費(fèi)馬猜想都是成立的。那我們能不能由此推斷出費(fèi)馬猜想就是對(duì)的呢？很可惜，不行。數(shù)學(xué)定理的證明，只能建立在邏輯論證的基礎(chǔ)上。即使你證明了費(fèi)馬猜想在 n 小于 100、10000、100 萬(wàn)的時(shí)候都成立，從邏輯上來(lái)說(shuō)，你也不能保證 n 在 100 萬(wàn)加 1 的時(shí)候也成立。即使你通過(guò)計(jì)算機(jī)把 n 的值不斷提高，費(fèi)馬猜想能不能成立，也還是個(gè)未知數(shù)。 那你可能會(huì)說(shuō)，這不是在抬杠嗎？還真不是。舉個(gè)例子，大數(shù)學(xué)家歐拉也提出過(guò)一個(gè)歐拉猜想，說(shuō) x^4 y^4 z^4=w^4 這個(gè)方程不存在正整數(shù)解。200 多年以來(lái)，人們既無(wú)法證明歐拉猜想，也找不出反例，但在 1988 年的時(shí)候，哈佛大學(xué)的一位數(shù)學(xué)家真發(fā)現(xiàn)四個(gè)整數(shù)，能滿足歐拉說(shuō)的那個(gè)方程，也就是說(shuō)，歐拉猜想由此被證偽了，不成立。 證偽歐拉猜想的四個(gè)整數(shù) 所以這也說(shuō)明，即使一個(gè)猜想在 10 萬(wàn)、100 萬(wàn)以內(nèi)都成立，我們也無(wú)法保證它就是正確的。也就是說(shuō)，無(wú)論計(jì)算機(jī)多么強(qiáng)大，通過(guò)龐大的計(jì)算把 n 的值提高到多大，在沒(méi)有進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明之前，我們都不能說(shuō)費(fèi)馬猜想是一定成立的。 不光如此，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，費(fèi)馬猜想還面臨著另一個(gè)更為詭異的情況。1931 年的時(shí)候，數(shù)學(xué)家哥德?tīng)柼岢隽艘粭l劃時(shí)代的著名定理，叫 “哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ怼?。這一定理是數(shù)學(xué)上和邏輯學(xué)上的里程碑，因?yàn)樗馕吨?，?shù)學(xué)家并不一定能解決一切數(shù)學(xué)問(wèn)題，有可能存在著某一條定理，它的的確確是對(duì)的，但卻永遠(yuǎn)也無(wú)法被證明，也無(wú)法被證偽。既然如此，人們理所當(dāng)然地會(huì)想，費(fèi)馬大定理，是不是恰好就是一條這樣的定理？一代又一代頂尖的數(shù)學(xué)家們都沒(méi)能解決這個(gè)問(wèn)題，或許不是因?yàn)樗麄兯讲粔?，而是因?yàn)檫@條定理從本質(zhì)上就是不可被證明的。如果真是這樣的話，那費(fèi)馬猜想就永遠(yuǎn)不可能被解決了。 以上分享的就是第二個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)屆對(duì)費(fèi)馬大定理的研究。下面，我們來(lái)回顧一下本部分的內(nèi)容。像歐拉這樣的頂尖數(shù)學(xué)家，都只能證明在某些特殊的情況下，費(fèi)馬猜想是成立的，但卻無(wú)法完整地證明費(fèi)馬猜想。即使到了現(xiàn)代，在計(jì)算機(jī)技術(shù)的幫助之下，數(shù)學(xué)家們還是沒(méi)能解決這一問(wèn)題，只能把費(fèi)馬猜想的成立范圍不停的擴(kuò)大而已。根據(jù) “哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ怼?，有可能存在著一個(gè)永遠(yuǎn)不可能被證明的定律，這就更為費(fèi)馬大定理的解決蒙上了一層陰影。 第三部分 剛才講到了，一代又一代的數(shù)學(xué)家，加上計(jì)算機(jī)技術(shù)，都沒(méi)能解決費(fèi)馬猜想。那現(xiàn)在就要來(lái)看看今天分享的第三個(gè)問(wèn)題，安德魯 · 懷爾斯是怎么解決這一難題的。 安德魯 · 懷爾斯 1953 年出生在劍橋，是一位英國(guó)數(shù)學(xué)家。在懷爾斯 10 歲那年，他跑去當(dāng)?shù)氐纳鐓^(qū)圖書館里看書，無(wú)意中看到了一本專門講述費(fèi)馬猜想的書。懷爾斯自己說(shuō)，歷史上所有的大數(shù)學(xué)家都沒(méi)能證明費(fèi)馬大猜想，但與此同時(shí)，費(fèi)馬猜想又如此簡(jiǎn)單而美麗，一個(gè) 10 歲的孩子都能看懂。所以從那一刻起，他就被費(fèi)馬大定理深深吸引住了，立志要解決這個(gè)問(wèn)題。這不是空想，當(dāng)時(shí)小懷爾斯閱讀了許多關(guān)于費(fèi)馬猜想的資料和論文，并嘗試去解決它，當(dāng)然了，沒(méi)能成功。 1975 年，懷爾斯開(kāi)始在劍橋大學(xué)讀博士。在之前的十年中，懷爾斯一直心系費(fèi)馬猜想。但在讀博士之后，他卻不能再一門心思專攻費(fèi)馬猜想了，這跟當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的實(shí)際情況有關(guān)：在當(dāng)時(shí)看來(lái)，費(fèi)馬猜想雖然很出名，難度也很高，但在數(shù)學(xué)領(lǐng)域卻并不算很重要。 為什么這么說(shuō)呢？從判斷一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的是否重要的角度來(lái)看，費(fèi)馬猜想適用范圍很窄，又不能帶來(lái)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且也不處于數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)位置。從這幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷的話，實(shí)話實(shí)說(shuō)，費(fèi)馬猜想并不是很重要。西蒙 · 辛格做了一個(gè)比喻，說(shuō)在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，費(fèi)馬猜想在數(shù)學(xué)界的地位，就相當(dāng)于煉金術(shù)在化學(xué)界的地位，雖然很富有傳奇色彩，但卻被認(rèn)為是不切實(shí)際的，很少有人去研究它。 懷爾斯自然也明白這個(gè)道理，所以決定暫時(shí)把費(fèi)馬猜想擱置一下，去研究一些更有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題。懷爾斯的導(dǎo)師為他選定了一個(gè)研究方向，叫 “橢圓曲線”，這也是當(dāng)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域一個(gè)非常重要的問(wèn)題，懷爾斯此后就在這個(gè)領(lǐng)域精耕細(xì)作，并且成為了這個(gè)領(lǐng)域的著名專家。 本來(lái)懷爾斯可能跟費(fèi)馬猜想無(wú)緣了，但到了 1984 年，情況突然峰回路轉(zhuǎn)。當(dāng)時(shí)一群數(shù)學(xué)家在德國(guó)召開(kāi)了一個(gè)學(xué)術(shù)會(huì)議，其中有一位叫弗萊的數(shù)學(xué)家提出，橢圓曲線研究領(lǐng)域里的一個(gè)猜想，叫 “谷山 - 志村猜想”，跟費(fèi)馬猜想有密切的關(guān)系。他提出，如果能證明谷山 - 志村猜想，那費(fèi)馬猜想也就自動(dòng)得到了證明。這就意味著，數(shù)學(xué)家們不用去直接面對(duì)費(fèi)馬猜想了，只要證明谷山 - 志村猜想，費(fèi)馬猜想就會(huì)迎刃而解。 當(dāng)然了，谷山 - 志村猜想也是一個(gè)非常非常難以證明的問(wèn)題。當(dāng)時(shí)這個(gè)猜想也已經(jīng)提出了 30 多年，很多數(shù)學(xué)家都不愿意去證明它，因?yàn)殡y度極高。但與此同時(shí)，谷山 - 志村猜想又是一個(gè)意義重大、價(jià)值很高的問(wèn)題，一旦被證明，就可以極大地推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。 為什么這么說(shuō)呢？這也跟數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)有關(guān)。在數(shù)學(xué)研究中，不同的領(lǐng)域，就像是海上的一個(gè)個(gè)孤島，有數(shù)學(xué)家專門研究幾何，也有數(shù)學(xué)家專門研究概率，不同領(lǐng)域之間相互隔絕，研究幾何和研究概率的人，可能基本上沒(méi)什么交流。而谷山 - 志村猜想，就是在兩個(gè)看起來(lái)毫無(wú)關(guān)系的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也就是 “橢圓曲線” 和“模形式”之間，搭起了一座橋梁。這種橋梁的價(jià)值是非常高的，它能讓不同的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域之間相互融合，解決很多以前根本無(wú)法解決的難題。當(dāng)代數(shù)學(xué)中最恢宏的一項(xiàng)計(jì)劃，叫“朗蘭茲綱領(lǐng)”，就是試圖在不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間搭建起橋梁，形成一個(gè)大一統(tǒng)的數(shù)學(xué)。所以說(shuō)，谷山 - 志村猜想的研究?jī)r(jià)值是非常高的。這從數(shù)學(xué)界當(dāng)時(shí)的論文狀況中也能感受到，許多數(shù)學(xué)家都會(huì)在論文中說(shuō)，假如谷山 - 志村猜想是正確的，那么我就能解決什么問(wèn)題，得到什么什么結(jié)論，一大堆成果，都建立在這個(gè)猜想的基礎(chǔ)之上，所以一旦谷山 - 志村猜想被證實(shí)，就能極大地推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。 言歸正傳。1986 年，懷爾斯聽(tīng)到了弗萊的研究成果，內(nèi)心受到了極大的震動(dòng)，非常興奮。因?yàn)樗难芯款I(lǐng)域恰恰就是橢圓曲線，現(xiàn)在居然出現(xiàn)了這樣的機(jī)會(huì)，可以直接把他的研究領(lǐng)域和費(fèi)馬猜想掛上鉤，更何況谷山 - 志村猜想又如此有價(jià)值，這等于給了他一個(gè)研究費(fèi)馬猜想的天賜良機(jī)。所以懷爾斯立刻決定，要證明費(fèi)馬猜想，實(shí)現(xiàn)自己的童年夢(mèng)想。 從 1986 年開(kāi)始，懷爾斯開(kāi)始獨(dú)自一人，秘密研究費(fèi)馬猜想。這種秘密研究的方式，其實(shí)跟數(shù)學(xué)界的主流是背道而馳的。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是沒(méi)有秘密的，大家經(jīng)常相互交流想法，而且如果自己的想法有什么問(wèn)題，也可以在交流中得到糾正，防止走進(jìn)死胡同。獨(dú)自研究一個(gè)難題風(fēng)險(xiǎn)很大，即使哪里錯(cuò)了，都不會(huì)有人來(lái)提醒糾正。 但為了避免研究成果被他人獲得，搶走證明費(fèi)馬猜想的榮譽(yù)，懷爾斯最終決定在自家的閣樓上獨(dú)自研究。在長(zhǎng)達(dá) 7 年的時(shí)間里，除了自己的妻子以外，沒(méi)人知道懷爾斯到底在研究什么。為了掩飾自己的工作，懷爾斯每隔半年會(huì)發(fā)表一篇小小的論文，這樣既不會(huì)暴露自己真正研究的問(wèn)題，也不會(huì)讓同行覺(jué)得自己脫離學(xué)界，行為異常。在 7 年的時(shí)間里，懷爾斯嘗試了各種辦法，苦心計(jì)算，深入到整個(gè)數(shù)學(xué)大廈中最黑暗最幽深的角落，試圖證明谷山 - 志村猜想。懷爾斯所經(jīng)歷的種種艱辛和掙扎，外人恐怕很難理解，他幾度山窮水盡，最終又柳暗花明。 終于，到了 1993 年，安德魯 · 懷爾斯完成了證明，并且在自己的家鄉(xiāng)劍橋，發(fā)表了關(guān)于費(fèi)馬大定理的世紀(jì)演講，轟動(dòng)了全世界?！都~約時(shí)報(bào)》等頂級(jí)媒體都把這條新聞作為頭版頭條來(lái)報(bào)道，懷爾斯一夜之間成了全世界最出名，可能也是當(dāng)時(shí)唯一出名的數(shù)學(xué)家。 懷爾斯對(duì)于費(fèi)馬大定理的證明，是由幾千個(gè)邏輯鏈構(gòu)成的特大型論證，涉及到古往今來(lái)的各種數(shù)學(xué)方法，極其艱深，一共分 6 章，整整 200 多頁(yè)，一般人根本看不懂。普通的數(shù)學(xué)論文要發(fā)表在頂級(jí)期刊上，一般需要 2 到 3 個(gè)審稿人來(lái)檢查，但懷爾斯的證明，需要 6 個(gè)審稿人共同審查，堪稱是最為嚴(yán)格的學(xué)術(shù)檢驗(yàn)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，懷爾斯論文的其中一章有一個(gè)小問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題初看簡(jiǎn)單，但隨著時(shí)間推逝，懷爾斯卻發(fā)現(xiàn)，這其實(shí)是一個(gè)關(guān)鍵的致命傷。按照懷爾斯一位同事的說(shuō)法，這個(gè)問(wèn)題就像是在房間里鋪地毯，雖然幾乎所有的地方都已經(jīng)鋪的平平整整了，但總有一小塊地方會(huì)鼓起來(lái)。如果你非要把這塊地方按平，那又總會(huì)有另外一個(gè)地方出現(xiàn)問(wèn)題。 在這個(gè)問(wèn)題被提出后，懷爾斯立刻開(kāi)始了補(bǔ)救，但花了整整一年的時(shí)間，懷爾斯還是沒(méi)能解決這個(gè)問(wèn)題。而且懷爾斯知道，證明費(fèi)馬大定理的榮譽(yù)，只屬于最終證明它的那個(gè)人，即使懷爾斯做出了最大的貢獻(xiàn)，如果他不是第一個(gè)完成完整證明的人，那這份榮譽(yù)仍然與他無(wú)關(guān)。因此，懷爾斯始終拒絕公開(kāi)手稿，堅(jiān)持由自己來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。這么一來(lái)，外界對(duì)于他的質(zhì)疑也達(dá)到了頂峰。 但 14 個(gè)月之后，情況突然峰回路轉(zhuǎn)。就在懷爾斯準(zhǔn)備承認(rèn)失敗之時(shí)，他奇跡般地發(fā)現(xiàn)了一個(gè)解決方法，成功地補(bǔ)救了自己的證明。1995 年，懷爾斯把證明過(guò)程發(fā)表在了《數(shù)學(xué)年刊》第 142 卷，如此一來(lái)，證明費(fèi)馬大定理的榮耀，終于徹徹底底地歸屬于懷爾斯了。他的工作還帶來(lái)了許許多多開(kāi)創(chuàng)性的數(shù)學(xué)方法，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的進(jìn)步。 以上就是今天分享的的第三個(gè)問(wèn)題，安德魯 · 懷爾斯是如何證明費(fèi)馬大定理的，我們來(lái)回顧以下這部分的內(nèi)容。懷爾斯從小就對(duì)費(fèi)馬大定理感興趣，在成為職業(yè)數(shù)學(xué)家以后，他恰好發(fā)現(xiàn)自己的研究領(lǐng)域跟費(fèi)馬大定理相關(guān)，于是開(kāi)始了長(zhǎng)達(dá)七年的秘密研究。之后又經(jīng)歷過(guò)一次長(zhǎng)達(dá)一年的修改之后，懷爾斯終于證明了費(fèi)馬大定理，在此過(guò)程中還創(chuàng)造了許多有用的數(shù)學(xué)技術(shù)，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。 總結(jié) 講到這里，《費(fèi)馬大定理》這本書的精髓，也就是數(shù)學(xué)家們是證明費(fèi)馬大定理的故事，你就有所了解了。我再來(lái)為你總結(jié)一下。 首先講到的第一個(gè)問(wèn)題是，費(fèi)馬大定理為什么如此出名？費(fèi)馬大定理看起來(lái)很簡(jiǎn)單，就是說(shuō)當(dāng) n＞2 時(shí)，x^n y^n = z^n 這個(gè)方程，沒(méi)有正整數(shù)解。但要證明費(fèi)馬大定理卻難如登天，它對(duì)人類的智慧提出了重大挑戰(zhàn)。此外，費(fèi)馬大定理的誕生也非常有傳奇色彩，它是費(fèi)馬在書的空白處隨手寫下的一個(gè)定理，還附加上了一句有惡搞成分的批注。 接著講到的第二個(gè)問(wèn)題是數(shù)學(xué)屆對(duì)于費(fèi)馬大定理的研究。像歐拉這樣的頂尖數(shù)學(xué)家，都曾嘗試證明費(fèi)馬大定理，但都沒(méi)能成功，只能證明費(fèi)馬大定理在某些特殊情況下是成立的。到了 20 世紀(jì)，計(jì)算機(jī)技術(shù)的誕生極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)界的發(fā)展，但卻同樣無(wú)法證明費(fèi)馬大定理。 最后一個(gè)問(wèn)題講到了，安德魯 · 懷爾斯是如何解決費(fèi)馬大定理的。懷爾斯的研究領(lǐng)域是 “橢圓曲線”，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，他發(fā)現(xiàn)自己的研究領(lǐng)域跟費(fèi)馬大定理產(chǎn)生了聯(lián)系，于是決心解決這一問(wèn)題。在經(jīng)歷了長(zhǎng)達(dá) 7 年的秘密研究，和 1 年多的修改之后，懷爾斯成功證明了費(fèi)馬大定理，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了極大的貢獻(xiàn)。 看完這本書，我有一個(gè)感受。我們平?？赡軙?huì)認(rèn)為，數(shù)學(xué)家或科學(xué)家這樣的群體，只對(duì)真理感興趣，對(duì)金錢榮譽(yù)無(wú)欲無(wú)求。但如果多了解一些學(xué)術(shù)史的話就會(huì)發(fā)現(xiàn)，即使是牛頓、懷爾斯這樣的頂尖學(xué)術(shù)天才，也會(huì)用盡手段，來(lái)為自己爭(zhēng)取榮譽(yù)，希望能在學(xué)術(shù)史上留下自己的名字。這種心態(tài)，其實(shí)完全是一種正常的人性，沒(méi)什么好羞愧的。而且正是這種對(duì)榮譽(yù)的追求，才促使著一代又一代的天才們?nèi)ヌ綄ふ胬?，推?dòng)人類的進(jìn)步。 ——end—— |
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