題：如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，∠EAF=45°，求EF/AB的最小值.

此題難度一般，本人在《經(jīng)典再現(xiàn)22》一文中拋出了一塊磚(如下解法一)，收到了多塊玉，許多網(wǎng)友紛紛評論，給出了更為巧妙簡便的解法，現(xiàn)整理為如下的解法二、三、四。或許還有其他解法，歡迎各位高手不吝賜教。

解法一：如圖2，連接AC.則∠BAC=∠DAC=45°，

所以∠BAE+∠EAC=45°，因為∠EAF=45°，

所以∠EAC+∠CAF=45°，

所以∠BAE=∠CAF.

同理，∠DAF=∠CAE.

作EG⊥AC于G，F(xiàn)H⊥AC于H，則

∠AGE=∠AHF=∠B=∠D=90°，

所以△ABE∽△AHF，△ADF∽△AGE，

所以BE/HF=AE/AF，DF/GE=AF/AE，

兩式相乘，得

BE/HF·DF/GE= AE/AF·AF/AE=1，

所以BE·DF=GE·HF，

因為△GCE和△HCF都是等腰直角三角形，

所以GE=CE/√2，HF=CF/√2，

所以BE·DF=CE·CF/2.

設正方形ABCD的邊長為1，CE=x，CF=y，則

BE=1-x，DF=1-y，

所以(1-x)(1-y)=xy/2，

整理，得xy=2(x+y)-2，

所以EF=√(x^²+y^²)

=√[(x+y)^²-2xy]

=√[(x+y)^²-4(x+y)+4]

=√[(x+y)-2]^²

=|x+y-2|，

顯然，x+y<2，

所以EF=2-(x+y).

設x+y=s，則EF=2-s，y=s-x，

因為xy=2(x+y)-2，

所以xy=2s-2，

所以x(s-x)=2s-2，

整理，得x^²-sx+2s-2=0，

因為x為實數(shù)，

所以△=s^²-4(2s-2)≥0，

即s^²-8s+8≥0，

解得s≥4+2√2或s≤4-2√2，

所以s最大值為4-2√2，

所以EF最小值=2-(4-2√2)=2√2-√2.

所以EF/AB的最小值為2√2-2.

解法二：如圖3，因為四邊形ABCD為正方形，

所以AB=AD，∠DAB=90°，

所以將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABG，則

AG=AF，BG=DF，∠BAG=DAF，∠ABG=∠D=90°，

所以G、B、E三點共線，

所以EG=BG+BE=DF+BE。

在△AGE 與△AEF中，

因為∠EAF=45°，

所以∠BAE+∠DAF=45°，

所以∠GAE=45°=∠EAF，

又AE=AE，

所以△AGE≌△AEF，

所以EF=EG，

設正方形ABCD的邊長為1，BE=a，DF=b，則

EF=a+b，CE=1-a，CF=1-b，

在Rt△CEF中，由勾股定理，得

(1-a)^²+(1-b)^²=(a+b)^²，

整理，ab+a+b-1=0，

設a+b=s，則a=s-b，代入上式，得

(s-b)b+s-b+b-1=0，

整理，得b^²-sb+1-s=0，

因為b為實數(shù)，

所以△=s^²-4(1-s)≥0，

即s^²+4s-4≥0，

解得s≥-2+2√2，或s≤-2-2√2(舍去)，

所以s最小值為2√2-2，

即EF的最小值為2√2-2.

所以EF/AB的最小值為2√2-2.

解法三：如圖1，設正方形ABCD的邊長為1，BE=a，DF=b，則CE=1-a，CF=1-b，

在△EAF和△CEF中，分別由余弦定理和勾股定理，得

AE^²+AF^²-2AE·AF·cos∠EAF= EF^²=CE^²+CF^²，

即1+a^²+1+b^²-2√(1+a^²)· √(1+b^²)cos45°=(1-a)^²+(1-b)²，

整理，得2(a+b)= √2·√(1+a^²)· √(1+b^²)，

兩邊平方，整理，得a^²+b^²+4ab=1+ a^²b^²，

再整理，得a^²+b^²+2ab=1-2ab+ a^²b^²，

即(a+b)^²=(1-ab)²，

因為a+b>0，ab<1，

所以a+b=1-ab，

設a+b=s，則仿照解法二，得s最小值為2√2-2。

又EF^²=(1-a)^²+(1-b)²

=2-2(a+b)+a^²+b^²，

=2-2(1-ab)+ a^²+b^²

=2ab+a^²+b^²

=(a+b)^²，

所以EF=a+b，

所以EF最小值為2√2-2，

所以EF/AB最小值為2√2-2。

解法四：設正方形ABCD的邊長為1，BE=a，DF=b，∠BAE=α，則∠DAF=45°-α，tanα=a，tan(45°-α)=b，

又tan(45°-α)=(tan45°+tanα)/(1+tan45°·tanα)

=(1-a)/(1+a)，

所以(1-a)/(1+a)=b，

在Rt△CEF中，

CE=1-a，CF=1-b=1-(1-a)/(1+a)=2a/(1+a)，

所以EF=√(CE^²+CF^²)

=√[(1-a)^²+4a^²/(1+a)^²]

=√[(1-a)^²(1+a)^²+4a^²]/(1+a)

=√(1+2a^²+a^⁴)/(1+a)

=√(1+a^²)^²/(1+a)

=(1+a^²)/(1+a)，

設EF=s，則s=(1+a^²)/(1+a)，

去分母，得s+sa=1+a^²，

整理為關(guān)于a的一元二次方程，得

a^²-sa+1-s=0，

因為a為實數(shù)，

所以△=s^²-4(1-s)≥0，

即s^²+4s-4≥0，

解得s≥-2+2√2，或s≤-2-2√2(舍去)，

所以s最小值為2√2-2，

即EF的最小值為2√2-2.

所以EF/AB的最小值為2√2-2.