如圖：正方形ABCD中，E、E分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°。

結(jié)論1:EF=BE+DF

結(jié)論2:C△CEF=2AB

結(jié)論3:S△AEF=S△ABE+S△ADF

結(jié)論4:AE，AF分別平分∠BEF，∠DFE

方法：將△ADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABF‘

證明：△AEF‘≌△AEF即可。

結(jié)論5:AI=AB（△AEF高為定值）由結(jié)論3可證明。

結(jié)論6:MN2=BM2+DN2

方法：將△ADN順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABN‘

證明：△AMN‘≌△AMN即可。

結(jié)論7:CE=√2DN，CF=√2BM，EF=√2MN

方法：△AEC～△AND，△AFC～△AMB相似比=√2?△AEF～ANM

結(jié)論8:S△AEF=2S△ANM（面積比=相似比平方）

結(jié)論9:△ANE，△AMF均為等腰Rt△

方法：易證△AMN～△BME?△NEM～△ABM

?∠NEM=∠ABM=45°

易證△AMN～△DFN?△MFN～△ADN

?∠MFN=∠ADN=45°（或用四點(diǎn)共圓，但教材有局限）

結(jié)論10:字母型、蝶型相似：△AMN～△BAN～△DMA～△BME～△AFE～△DFN

結(jié)論11:AB2=BN.DM

方法：由結(jié)論9，△BAN～△DMA可得

結(jié)論12:CE.CF=2BE.DF

方法：△BME～△DFN?BE.DF=BM.DN①

由結(jié)論7得：

CE.CF=√2DN.√2BM=2BM.DN②

結(jié)論13:A、B、E、N四點(diǎn)共圓，A、M、F、D，四點(diǎn)共圓，M、N、F、C、E五點(diǎn)共圓。

結(jié)論14:BN-DN=√2BE，DM-BM=√2DF

方法：BN+DN=√2(BE+CE)

由結(jié)論7?BN+DN=√2(BE+√2DN)

∴BN+DN=√2BE+2DN?BN-DN=√2BE。

同理：DM+BM=√2（DF+CF）

=√2(DF+√2BM)

∴DM+BM=√2DF+2BM

?DM-BM=√2DF

結(jié)論15:當(dāng)CE=CF，△AEF面積最小

方法：作△AEF外接圓，⊙N，連接NE，NF

取EF中點(diǎn)M，連接CM，NM

∴∠ENF=90°，設(shè)：CM=NM=x，

則：EF=2x，AN=EN=√2x

∴AN+MN+CM=(2+√2)x，當(dāng)：A、N、M、C共線時(shí)，和取得最小值。x取得最小值

即：EF取得最小值時(shí)，CE=EF

由結(jié)論5可得，EF上的高，AI=AB

∴△AEF面積最小