【原】河南丨中考數(shù)學壓軸題型講解——線段求解、折疊為例

初中數(shù)學壓軸 2020-11-13

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前言 PREFACE

姜姜老師專注初中數(shù)學壓軸

定時更新最干貨的初中數(shù)學壓軸題型講解。如需要本堂內(nèi)容的word電子版本，請?zhí)砑游⑿牛篞GCZSXYZ（全國初中數(shù)學壓軸）

河南中考數(shù)學作為統(tǒng)考的大省，也是中考人數(shù)最多的省份，競爭非常的激烈，相交于全國中考數(shù)學而言，河南的中考數(shù)學在選填壓軸的線段求解過程中還是很有深度，包括線段求解，折疊為背景下的分類討論，這個過程中需要運用的幾何工具非常的重要，大家可以好好研究這幾道題目，也是在全國引用非常高的題目。

實操真題講解

1、（2020·河南）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，連接EC，F(xiàn)D，點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，連接GH，則GH的長度為　1　．

【分析】

方法一：連接CH并延長交AD于P，連接PE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD＝CF＝√2，根據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結論．

方法二：設DF，CE交于O，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根據(jù)線段中點的定義得到BE＝CF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根據(jù)勾股定理得到CE＝DF＝√(2√2)2+√(√2)2＝√10，點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結論．

【解答】

解：方法一：連接CH并延長交AD于P，連接PE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2√2，

∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，

∴AE＝CF＝1/2×2√2＝√2，

∵AD∥BC，

∴∠DPH＝∠FCH，

∵∠DHP＝∠FHC，

∵DH＝FH，

∴△PDH≌△CFH（AAS），

PD＝CF＝√2，

∴AP＝AD﹣PD＝√2，

∴PE＝√AP2+√AE2＝√(√2)2+√(√2)2＝2，

∵點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，

∴GH＝1/2EP＝1；

方法二：設DF，CE交于O，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，

∵點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，

∴BE＝CF，

∴△CBE≌△DCF（SAS），

∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，

∵∠CDF+∠CFD＝90°，

∴∠BCE+∠CFD＝90°，

∴∠COF＝90°，

∴DF⊥CE，

∴CE＝DF＝√(2√2)2+√(√2)2＝√10，

∵點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，

∴CG＝FH＝√10/2，

∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，

∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，

∴∠FCO＝∠CDO，

∵∠DCF＝∠COF＝90°，

∴△COF∽△DOC，

∴CF/DF＝OF/CF，

∴CF2＝OF·DF，

∴OF＝CF2/DF＝(√2)2/√10＝√10/5，

∴OH＝3√10/10，OD＝4√10/5，

∵∠COF＝∠COD＝90°，

∴△COF∽△DOC，

∴OF/OC=OC/OD，

∴OC2＝OF·OD，

∴OC＝√(√10/5)×√(4√10/5)＝2√10/5，

∴OG＝CG﹣OC＝√10/2﹣2√10/5＝√10/10，

∴HG＝√OG2+√OH2＝√(1/10)+√(9/10)＝1，

故答案為：1．

【點評】

本題考查了射影定理，勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關鍵．

2．（2019·河南）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3/5a，點E在邊BC上，且BE＝a．連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點B的對應點B′落在矩形ABCD的邊上，則a的值為　3/5或　√5/3．

【分析】

分兩種情況：①點B′落在AD邊上，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)易得AB＝BE，即可求出a的值；②點B′落在CD邊上，證明△ADB′∽△B′CE，根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求出a的值．

【解答】

解：分兩種情況：

①當點B′落在AD邊上時，如圖1．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠B＝90°，

∵將△ABE沿AE折疊，點B的對應點B′落在AD邊上，

∴∠BAE＝∠B′ AE＝1/2∠BAD＝45°，

∴AB＝BE，

∴3/5a＝1，

∴a＝3/5；

②當點B′落在CD邊上時，如圖2．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．

∵將△ABE沿AE折疊，點B的對應點B′落在CD邊上，

∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，

EB＝EB′＝3/5a，

∴DB′＝√B′A2-√AD2＝√(1-a2)，

EC＝BC﹣BE＝a﹣3/5a＝2/5a．

在△ADB′與△B′CE中，

∠B′AD=∠EB′C=90°-∠AB′D，

∴△ADB′∽△B′CE，

∴DB`/CE=AB`/B`E

即√(1-a2)/(2/5a)=1/(3/5a)

解得a1＝√5/3，a2＝-√5/3（舍去）．

綜上，所求a的值為5/3或√5/3．

故答案為5/3或√5/3．

【點評】

本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．進行分類討論與數(shù)形結合是解題的關鍵．

3．（2018·河南）如圖，∠MAN＝90°，點C在邊AM上，AC＝4，點B為邊AN上一動點，連接BC，△A′BC與△ABC關于BC所在直線對稱，點D，E分別為AC，BC的中點，連接DE并延長交A′B所在直線于點F，連接A′E．當△A′EF為直角三角形時，AB的長為4√3或4?。?/span>

【分析】

當△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：

①當∠A'EF＝90°時，如圖1，根據(jù)對稱的性質(zhì)和平行線可得：A'C＝A'E＝4，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：BC＝2A'B＝8，最后利用勾股定理可得AB的長；

②當∠A'FE＝90°時，如圖2，證明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝4．

【解答】

解：當△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：

①當∠A'EF＝90°時，如圖1，

∵△A′BC與△ABC關于BC所在直線對稱，

∴A'C＝AC＝4，∠ACB＝∠A'CB，

∵點D，E分別為AC，BC的中點，

∴D、E是△ABC的中位線，

∴DE∥AB，

∴∠CDE＝∠MAN＝90°，

∴∠CDE＝∠A'EF，

∴AC∥A'E，

∴∠ACB＝∠A'EC，

∴∠A'CB＝∠A'EC，

∴A'C＝A'E＝4，

Rt△A'CB中，∵E是斜邊BC的中點，

∴BC＝2A'E＝8，

由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，

∴AB＝√82-√42＝4√3；

②當∠A'FE＝90°時，如圖2，

∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，

∴∠ABF＝90°，

∵△A′BC與△ABC關于BC所在直線對稱，

∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝AC＝4；

綜上所述，AB的長為4√3或4；

故答案為：4√3或4；

【點評】

本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并利用分類討論的思想解決問題．

4．（2018·河南）如圖，在矩形ABCD中，點E為AB的中點，點F為射線AD上一動點，△A′EF與△AEF關于EF所在直線對稱，連接AC，分別交EA′、EF于點M、N，AB＝2，AD＝2．若△EMN與△AEF相似，則AF的長為　1或3?。?/span>

【分析】（分兩種情形①當EM⊥AC時，△EMN∽△EAF．②當EN⊥AC時，△ENM∽△EAF，分別求解．

【解答】

解：①當EM⊥AC時，△EMN∽△EAF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，

∴tan∠CAB＝BC/AB=√3/3

∴∠CAB＝30°，

∴∠AEM＝60°，

∴∠AEF＝30°，

∴AF＝AE·tan30°＝√3·√3/3=1

②當EN⊥AC時，△ENM∽△EAF，

可得AF＝AE·tan60°＝3，

故答案為1或3．

【點評】

本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．

5．（2017·河南）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝+1，點M，N分別是邊BC，AB上的動點，沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應點B′始終落在邊AC上，若△MB′C為直角三角形，則BM的長為1/2√2或1

【分析】

①如圖1，當∠B′MC＝90°，B′與A重合，M是BC的中點，于是得到結論；②如圖2，當∠MB′C＝90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM＝√2MB′，列方程即可得到結論．

【解答】

解：①如圖1，

當∠B′MC＝90°，B′與A重合，M是BC的中點，

∴BM＝1/2BC＝1/2√2+1/2；

②如圖2，

當∠MB′C＝90°，

∵∠A＝90°，AB＝AC，

∴∠C＝45°，

∴△CMB′是等腰直角三角形，

∴CM＝√2MB′，

∵沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應點B′，

∴BM＝B′M，

∴CM＝√2BM，

∵BC＝√2+1，

∴CM+BM＝√2BM+BM＝√2+1，

∴BM＝1，

綜上所述，若△MB′C為直角三角形，則BM的長為1/2√2+1/2或1，

故答案為：1/2√2+1/2或1.

【點評】

本題考查了翻折變換﹣折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關鍵．

6．（2017·河南）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝2cm，點M為邊BC的中點，點N為邊AB上的任意一點（不與點A，B重合），若點B關于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊三角形ABC的邊上，則BN的長為√3/2或√3cm．

【分析】

如圖1，當點B關于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上時，于是得到MN⊥AB，BN＝BN′，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到＝AC＝BC，∠ABC＝60°，根據(jù)線段中點的定義得到BN＝1/2BM＝√3/2，如圖2，當點B關于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊三角形ABC的邊A，C上時，則MN⊥BB′，四邊形BMB′N是菱形，根據(jù)線段中點的定義即可得到結論．

【解答】

解：如圖1，當點B關于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上時，

則MN⊥AB，BN＝BN′，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°，

∵點M為邊BC的中點，

∴BM＝1/2BC＝1/2AB＝√3，

∴BN＝1/2BM＝√3/2，

如圖2，當點B關于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊三角形ABC的邊A，C上時，

則MN⊥BB′，四邊形BMB′N是菱形，

∵∠ABC＝60°，點M為邊BC的中點，

∴BN＝BM＝1/2BC＝1/2AB＝√3，