愛因斯坦把人類的思維帶到了一個(gè)類似魔幻的場(chǎng)景。在那個(gè)環(huán)境下，時(shí)間可以倒流，空間是彎曲的，人類甚至可以排除距離的障礙，到遠(yuǎn)離自己有幾萬光年跨度的地方去旅行。這一切竟然有科學(xué)根據(jù)，你不得不感嘆科學(xué)家想象力的豐富。而這些突破常人思維的推論，可以說基本來源于非歐幾何。

大家好，今天偉崗給大家聊聊非歐幾何，這又是我們普通人沒有或者很少接觸的數(shù)學(xué)知識(shí)。請(qǐng)不要拘泥于數(shù)學(xué)只是寫寫算算，那樣的話太小看數(shù)學(xué)家了。當(dāng)代數(shù)學(xué)家對(duì)世界的認(rèn)識(shí)，其深度之深，廣度之廣，可以說超過所有的科幻小說。我們雖然不能比肩那些數(shù)學(xué)家，但是了解一下他們的工作還是非常有趣和有益的。這樣做，既豐富了我們的想象，又拓展了我們的思維，更引發(fā)我們思考，從此我們慢慢遠(yuǎn)離癡呆，遠(yuǎn)離毒雞湯，成為一個(gè)正常有思維的人。

文章開始之前，還是感謝朋友同學(xué)的鼓勵(lì)打賞！沒想到那么多朋友同學(xué)伴隨偉崗有差不多5萬字之多，非常的不容易，謝謝大家了。

我們前面講過，非歐幾何主要是對(duì)歐幾里得第五公設(shè)的否定。也就是說，過直線外一點(diǎn)能夠做多少直線平行線的問題。歐氏幾何只承認(rèn)做一條且只能做一條直線的平行線。其它的就是非歐幾何了。

目前大家公認(rèn)的是，發(fā)現(xiàn)非歐幾何存在的第一個(gè)人高斯。不過高斯在生前沒有發(fā)表他的非歐幾何觀點(diǎn)，首先公開發(fā)表非歐幾何理論的是俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基。羅巴切夫斯基首先還是想證明第五公設(shè)，但是沒有成功，最后他大膽假設(shè)第五公設(shè)不成立，過直線外一點(diǎn)可以做無窮多直線的平行線。

羅巴切夫斯基的思路是從他的假設(shè)出發(fā)，重演幾何原本的內(nèi)容。也就是說，以直線外可以做很多直線的平行線出發(fā)，看看歐幾里得那些幾何題會(huì)演變成怎么樣。

羅巴切夫斯基活躍的那個(gè)年代（1826年左右），數(shù)學(xué)家對(duì)彎曲的空間還沒有概念，而且非歐幾何沒有直觀性（沒有直觀性的原因是因?yàn)榉穸说谖骞O(shè)，平面就不存在了。而做幾何圖只能在紙上，紙卻是平的，你在一張平的紙上很難畫出非歐幾何的圖形）?；蛘卟惶珳?zhǔn)確地說，你在紙上要過一點(diǎn)畫出一條直線的幾條平行線是非常困難的，你要把圖形扭曲起來，這樣一張紙，才能顯得是彎曲的。問題的關(guān)鍵是，你怎么扭曲？要讓你的圖按照你設(shè)想的方式扭曲非常難，但是不扭曲就是歐氏幾何了。所以很難實(shí)現(xiàn)羅巴切夫斯基幾何的直觀性。羅巴切夫斯基遇到的障礙之大，可想而知。

羅巴切夫斯基還真是個(gè)天才，他還真畫出了這樣的圖形，而且用他的圖形證明了三角形的內(nèi)角和小于180度。也就是說，用他的假設(shè)代替第五公設(shè)，同樣可以得到一系列的幾何結(jié)論。

羅巴切夫斯基以他的非歐三角形（內(nèi)角和小于180度）出發(fā)，開創(chuàng)了非歐幾何的新領(lǐng)域。單憑這一點(diǎn)，他就可以在數(shù)學(xué)史上留名了。事實(shí)上普林斯頓數(shù)學(xué)指南確實(shí)有他的名字。不過他的理論在他的生前沒有得到認(rèn)可。雖然高斯是他同時(shí)代的人，非常認(rèn)可他的工作，甚至邀請(qǐng)他為哥廷根大學(xué)的通訊院士。但是我們前面提到過，高斯不太愿意跟人打交道，在當(dāng)時(shí)也沒有被認(rèn)為是最偉大的數(shù)學(xué)家，所以高斯能夠做的非常有限。

從我們現(xiàn)代人的觀點(diǎn)看，羅巴切夫斯基是在一個(gè)凹曲面上做幾何論證，但同時(shí)你又要把這個(gè)凹曲面想象成二維的，這個(gè)似乎有點(diǎn)不可思議。彎曲空間你沒有想象力是很難理解的，二維彎曲平面情況還好一點(diǎn)，有三維的曲面來做想象的基礎(chǔ)。但是如果是三維彎曲空間，你就根本想象不到是怎么回事。

羅巴切夫斯基的天才就在于，他把凹面上作圖的特性映射到了平面上，得出了三角形內(nèi)角和小于180度的結(jié)論。并從這個(gè)出發(fā)，得出了一些三角形性質(zhì)的公式。也就是說他非要體現(xiàn)出非歐幾何的直觀性，這一點(diǎn)就相當(dāng)?shù)孛銥槠潆y了，不被當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家理解是非常正常的。

雖然羅巴切夫斯基的論文還是得到發(fā)表，不過由于不被認(rèn)可，他晚年生活非常悲慘。他甚至被免除了大學(xué)教職，這使得他經(jīng)濟(jì)和精神上都受到巨大打擊。加上他的小孩眾多（據(jù)說至少有15個(gè)小孩），他最喜歡的、很有才華的大兒子又因患肺結(jié)核醫(yī)治無效去世，使得他在65歲就因病在郁悶中孤獨(dú)離世。去世前還雙目失明。這么多的打擊在數(shù)學(xué)家中是罕見的。

不過平心而論，羅巴切夫斯基的路徑有點(diǎn)問題。歐幾里得把第五公設(shè)決定為過直線外一點(diǎn)能且只能做直線的一條平行線，這個(gè)符合直觀的要求。也就是說，如果你靠作圖來研究幾何，直觀是必須，或者至少好理解。你要在非直觀的意義上，用作圖的方式來研究幾何，這個(gè)還不光是難度的問題，它還是一個(gè)能不能深入發(fā)展的問題。畢竟作圖就是為了直觀。你的問題都沒有直觀的意義，作圖就不是一個(gè)好的方法了。所以雖然羅巴切夫斯基有天才般的想象，在他生前不被接受也是情有可原的。

而且，后續(xù)也很少數(shù)學(xué)家在羅巴切夫斯基的基礎(chǔ)上做深入的研究，也就是說，羅巴切夫斯基的突破，目前只能雪藏起來，也許等到人類隨便都能做出彎曲空間的直觀圖時(shí)，羅巴切夫斯基的理論才會(huì)回到數(shù)學(xué)家的眼中。

那么非歐幾何是不是就沒有前途了？這個(gè)問題數(shù)學(xué)家給予了否定的回答，這時(shí)另一個(gè)數(shù)學(xué)天才黎曼登上了數(shù)學(xué)發(fā)展的大舞臺(tái)，成了一個(gè)閃亮的明星。

不過講起來，黎曼也是一個(gè)悲劇人物?？梢哉f他的悲劇甚至從他的童年就開始了，原因就是他小時(shí)候身體就很差。可以說疾病伴隨了他一生，最后不到40歲就因?yàn)榉谓Y(jié)核不治而離開人世。而且他的家人壽命都不長，他母親在他不到20歲就去世了，他的父親，一個(gè)兄弟，三個(gè)姐妹都在他母親去世后，很快先后離世了。這對(duì)黎曼的心理是巨大的打擊。有人說他是疑病癥患者，可見他心理承受的壓力有多大。

不過黎曼倒是個(gè)數(shù)學(xué)神童，據(jù)說不到6歲就掌握了很多運(yùn)算的技巧，讀了很多書。這為他在短短的職業(yè)生涯中創(chuàng)造奇跡打下了基礎(chǔ)。黎曼的父親本來安排他學(xué)神學(xué)的，可是他自己強(qiáng)烈要求學(xué)數(shù)學(xué)，他爸爸也沒有辦法，只好允許他在哥廷根大學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)，那時(shí)高斯也在哥廷根大學(xué)，有人說高斯是黎曼的老師，這個(gè)也有可能。不過高斯不太注重他的授課和帶學(xué)生，所以黎曼得到高斯的教誨應(yīng)該不多。

黎曼跟羅巴切夫斯基是同一個(gè)時(shí)代的人，羅巴切夫斯基發(fā)表他的羅氏幾何是1826年，而黎曼公布他的非歐幾何成果是在1851年，這個(gè)是為他就職哥廷根大學(xué)講師所寫的就職報(bào)告。

黎曼就職演說的題目是《論幾何學(xué)作為基礎(chǔ)的假設(shè)》，同樣他也是否定歐幾里得的第五公設(shè)，不過他跟羅巴切夫斯基相反，他宣稱“過直線外的一點(diǎn)，一條平行線也畫不出來”。

當(dāng)然黎曼不僅僅是跟羅巴切夫斯基假設(shè)反一下，如果那樣的話，就有一點(diǎn)民科的味道了。黎曼的思維要比羅巴切夫斯基要深邃得多。需要提的一點(diǎn)是，除了幾何，黎曼還是分析專家，我們常規(guī)的積分就叫黎曼積分，這也是為了表彰黎曼在分析領(lǐng)域里的貢獻(xiàn)。關(guān)于黎曼在分析方面的貢獻(xiàn)，我們以后有機(jī)會(huì)再詳述，我們這里單單講講他的非歐幾何。

我們之所以說黎曼在思維上遠(yuǎn)遠(yuǎn)高過羅巴切夫斯基，是因?yàn)樗粏螁问欠穸ǖ谖骞O(shè)，他更厲害之處是拋棄了歐氏幾何的直觀性。這話怎么解釋呢？

黎曼的非歐幾何，現(xiàn)在叫黎曼幾何，它不單單是建立在“過直線外的一點(diǎn)，一條平行線也畫不出來”上，更為關(guān)鍵地是，黎曼幾何已經(jīng)不研究，或者說不著重研究空間的直觀性質(zhì)。要理解這一點(diǎn)，就要跳出我們初等數(shù)學(xué)思維的框框。

黎曼幾何后來發(fā)展成微分幾何，也就是說微分幾何的基礎(chǔ)是黎曼幾何。它到至今還是熱門的研究領(lǐng)域，反觀羅巴切夫斯基幾何的蕭條，更顯得黎曼幾何的厲害。

事實(shí)上，近代，現(xiàn)代很多數(shù)學(xué)家都是因?yàn)槲⒎謳缀味擅煜隆１热缛A裔的陳省身和丘成桐，還有非常多菲爾茲得獎(jiǎng)的得主，都因?yàn)樵谖⒎謳缀晤I(lǐng)域有重大突破而蜚聲中外的。一個(gè)領(lǐng)域能夠如此地興旺發(fā)達(dá)，創(chuàng)始人可謂功不可沒。

由于在分析領(lǐng)域的強(qiáng)悍，也就是微積分懂得很深，黎曼把他的幾何重點(diǎn)研究放到微積分在幾何中的應(yīng)用，這大大打開了數(shù)學(xué)家的思維空間。

在黎曼之前，數(shù)學(xué)家的思維還是被幾何原本框住了。所以想當(dāng)然地認(rèn)為，幾何就是研究三角形的內(nèi)角和啊，全等啊，相似啊等等等等，這些直觀的性質(zhì)。最多也就是像阿基米德那樣，求求曲線包圍的面積體積，這個(gè)直觀性不是那么明顯的空間性質(zhì)。雖然高斯和歐拉有幾篇論文指出了研究曲面變化的重要，但都不是像黎曼那樣，把研究的重點(diǎn)放到空間的變化上。具體講就是空間的曲率，測(cè)地線，向量場(chǎng)這些參數(shù)?？臻g的這些性質(zhì)，對(duì)我們只有初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人，一下子很難理解。

我們目前只要知道，我們生活的空間比我們?nèi)庋劭吹降?，耳朵聽到的要?fù)雜得多，數(shù)學(xué)家描繪的空間已經(jīng)大大超過了我們的想象，我們要做的，就是靜下心來，慢慢學(xué)習(xí)，這樣才能逐漸了解這個(gè)復(fù)雜的社會(huì)。

黎曼幾何另一個(gè)出乎意外的，就是竟然被物理學(xué)家看中，演繹了一場(chǎng)思維解放大戰(zhàn)，最著名的自然是愛因斯坦的相對(duì)論，不過這個(gè)講起來，又篇幅太長了，還是留在以后寫吧。

文章最后，還是感謝朋友同學(xué)的鼓勵(lì)打賞。下一篇我們來談?wù)劙⒒椎?，這個(gè)充滿豪氣的古希臘數(shù)學(xué)家。

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