愛(ài)因斯坦把人類(lèi)思維帶到一個(gè)類(lèi)似魔幻的場(chǎng)景。在那個(gè)環(huán)境下，時(shí)間可以倒流，空間是彎曲的，人類(lèi)可以到遠(yuǎn)離自己有幾萬(wàn)光年跨度的地方旅行。

而這些突破常人思維的推論，可以說(shuō)基本源于非歐幾何。

一、非歐幾何的誕生

歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設(shè)，前面已經(jīng)介紹過(guò)了。在這里，我們特別提出第五公設(shè)。如下圖所示，直線(xiàn)a、b被直線(xiàn)c所截，在截線(xiàn)一側(cè)的；兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角∠a+∠β<180°，那么直線(xiàn)a、b在向右側(cè)無(wú)限延長(zhǎng)一定會(huì)相交。一些數(shù)學(xué)家后來(lái)證明了這條公設(shè)和“過(guò)已知直線(xiàn)外的一個(gè)已知點(diǎn)只能作一條直線(xiàn)和已知直線(xiàn)平行”實(shí)際上是等價(jià)的命題。

長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)和前四個(gè)公設(shè)相比，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L(zhǎng)，而且也不那么顯而易見(jiàn)。有些數(shù)學(xué)家還特別注意到歐幾里得在《幾何原本》一書(shū)中遲遲地到了第二十九個(gè)命題中才用到，而且此后再也不用了。這也就是說(shuō)，在歐幾里得的《幾何原本》中可以不依靠第五公設(shè)而推出前二十八個(gè)命題。因此，一些數(shù)學(xué)家提出：第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)而作為定理？能不能依靠其他公設(shè)和命題來(lái)證明第五公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的長(zhǎng)達(dá)兩千年的關(guān)于“平行線(xiàn)理論”的討論。

在這漫長(zhǎng)的討論過(guò)程中，雖然耗費(fèi)了許多數(shù)學(xué)家的精力，但是一直沒(méi)有取得任何的結(jié)果。有些數(shù)學(xué)家在證明第五公設(shè)的時(shí)候，使用的論據(jù)實(shí)際上都是在假定第五公設(shè)成立的前提下才成立的。如果第五公設(shè)不成立，那么這些定理也不成立。因此，這些數(shù)學(xué)家在證明第五公設(shè)的時(shí)候，就犯了邏輯上循環(huán)論證的錯(cuò)誤。

由于證明第五公設(shè)的問(wèn)題始終沒(méi)有解決，人們逐漸懷疑證明的路子走得對(duì)不對(duì)：第五公設(shè)到底能不能證明？

到了十九世紀(jì)二十年代，俄國(guó)喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基在證明第五公設(shè)的過(guò)程中，他走了另一條路子。他放棄了歐氏平行公理而提出了一個(gè)和歐氏平行公理相矛盾的命題：“過(guò)不在已知直線(xiàn)上的一點(diǎn)，可以引不止一條而至少是兩條直線(xiàn)和已知直線(xiàn)平行”，他用這個(gè)命題來(lái)代替第五公設(shè)，然后把歐幾里得的其它公設(shè)、公理、定義以及跟第五公設(shè)沒(méi)有關(guān)系的定理（比如前26個(gè)定理）作為一個(gè)公理系統(tǒng)展開(kāi)一系列的邏輯推理。他認(rèn)為如果這個(gè)系統(tǒng)中出現(xiàn)矛盾，這就等于用反證法證明了第五公設(shè)。但是他在極為深入細(xì)致地進(jìn)行推理的過(guò)程中，得出了一個(gè)一個(gè)在邏輯上毫無(wú)矛盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個(gè)極為重要的結(jié)論：

第一，第五公設(shè)不能證明；

第二，在新的公理系統(tǒng)中展開(kāi)的一連串的推理，得到的一系列在邏輯上無(wú)矛盾的新的定理，形成了新的理論。這個(gè)新的理論象歐氏幾何一樣是完善的、嚴(yán)密的幾何學(xué)。

這種幾何學(xué)被叫做羅巴切夫斯基幾何，簡(jiǎn)稱(chēng)做羅氏幾何，屬于人們通稱(chēng)的非歐幾里得幾何的一種。

從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學(xué)中，可以得出一個(gè)極為重要的、具有普遍意義的結(jié)論：邏輯上互不矛盾的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學(xué)。

幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學(xué)的同時(shí)匈牙利的鮑耶·雅諾什（1802-1860），也發(fā)現(xiàn)了第五公設(shè)不可證明和非歐幾何學(xué)的存在。鮑耶在研究非歐幾何學(xué)的過(guò)程中，他也遭到了家庭、社會(huì)的冷漠對(duì)待，他的父親鮑耶·法爾卡什（1775-1856）是一個(gè)數(shù)學(xué)家，認(rèn)為研究第五公設(shè)是耗費(fèi)精力勞而無(wú)功的蠢事，勸他放棄這種研究。但是鮑耶·雅諾什堅(jiān)持為發(fā)展新的幾何而辛勤地工作，終于在1882年，在他父親的一本著作里，以附錄的方式發(fā)表了研究結(jié)果。

那個(gè)時(shí)代被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子'的高斯也發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)不能證明，并且研究了非歐幾何。但是，高斯害怕這種理論會(huì)遭到當(dāng)時(shí)教會(huì)力量的打擊和迫害，一直不敢公開(kāi)發(fā)表自已的研究成果，只是在書(shū)信中給自己的朋友表示了自已的看法，也不敢站出來(lái)公開(kāi)支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。

二、羅氏幾何與黎曼幾何

非歐幾何學(xué)是一門(mén)大的數(shù)學(xué)分支，一般來(lái)說(shuō)，它有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。所謂廣義是泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是就羅氏幾何來(lái)說(shuō)的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎氏幾何這兩種幾何。

羅氏幾何學(xué)的公理系統(tǒng)和歐氏幾何學(xué)不同的地方僅僅是把歐氏平行公理用“從直線(xiàn)外一點(diǎn)，至少可以作兩條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)平行”來(lái)代替，其他公理絕大部分相同。由于平行公理不同，經(jīng)過(guò)演繹推理卻引出了一連串和歐幾里得幾何內(nèi)容不同的新的幾何命題。兩條直線(xiàn)或者相交或者平行。如果平行，它們?cè)谝粋?cè)漸近地逼近，而在另一側(cè)則無(wú)限地分離。

同一直線(xiàn)的兩條垂線(xiàn)，它們是離散的。

三角形兩邊中點(diǎn)的連線(xiàn)常和底邊是離散的。

三角形各內(nèi)角之和總小于兩個(gè)直角，而且不同的三角形有不同的內(nèi)角和。

任何凸四邊形的內(nèi)角和小于四個(gè)直角，因此，不存在矩形。

三角形面積和兩直角跟它的內(nèi)角和的差成正比。如果以S（△）表示三角形的面積，以a、b、c分別表示三角形的三個(gè)內(nèi)角，那么

S（△）=K（Π-a-b-c）。

這里，Π-a-b-c叫做“虧損”?？梢钥吹?，三角形內(nèi)角和對(duì)x的虧損因它的面積增大而增大。

另一方面，我們知道，羅氏幾何除了一個(gè)平行公理之外采用了歐氏幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐氏幾何中如果是正確的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。在歐氏幾何中，凡涉及到平行公理的命題，在羅氏幾何中都不成立，它們都相應(yīng)地含有新的意義。

羅氏幾何中的一些幾何事實(shí)沒(méi)有象歐氏幾何那樣容易被人們接受。但是，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)研究，提出可以用我們習(xí)慣的歐氏幾何中的事實(shí)作一個(gè)直觀“模型”來(lái)解釋羅氏幾何是正確的。

德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因（1849-1925）就提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，他的主要想法是，利用歐氏幾何中的元素，然后對(duì)其中某些元素給予新的約定，并說(shuō)明它們之間的關(guān)系。因?yàn)檫@種幾何只是用另外的觀點(diǎn)和字眼來(lái)描述通常的歐氏幾何中的元素，因此，它和歐氏幾何一樣是正確的。

克萊因的羅氏幾何模型是：在普通的歐氏平面上取一個(gè)圓，而且只考慮圓的內(nèi)部。我們約定把圓的這個(gè)內(nèi)部叫做“平面”（它起著羅氏平面的作用，圓內(nèi)的點(diǎn)叫做羅氏點(diǎn)）。把圓的弦叫做“羅氏直線(xiàn)”（弦和圓周的交點(diǎn)除外）。此外，連接這平面上兩點(diǎn)的“直線(xiàn)”以及求兩條“直線(xiàn)”的交點(diǎn)那么就和歐氏幾何中的情形相同。下面這個(gè)圖就能說(shuō)明這個(gè)模型。通過(guò)已知點(diǎn)A而且不和巳知弦BC相交的弦至少有兩條（比如過(guò)B和C的兩條弦。因?yàn)橐?guī)定把弦和B9圓的交點(diǎn)除外，所以它們和BC沒(méi)有交點(diǎn)），這和羅氏平行公理“過(guò)不在已知直線(xiàn)上的一點(diǎn)至少可以引兩條直線(xiàn)不與已知直線(xiàn)相交?！笔且恢碌?。

黎氏幾何是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼（1826-1866）創(chuàng)立的。他在1851年所作的一篇論文“論幾何學(xué)作為基礎(chǔ)的假設(shè)”中明確提出另一種幾何學(xué)的存在，開(kāi)創(chuàng)了幾何學(xué)的另一片廣闊的領(lǐng)域。后來(lái)就叫做黎曼幾何學(xué)，也叫黎氏幾何學(xué)。

我們知道，歐氏幾何、羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公現(xiàn)、連續(xù)公理以及合同公理都是相同的，只是平行公理不一致。歐氏幾何的平行公理是“過(guò)線(xiàn)外一點(diǎn)在平面上有且僅有一條直線(xiàn)與巳知直線(xiàn)平行?！绷_氏幾何的平行公理是“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)在平面上至少存在兩條直線(xiàn)和已知直線(xiàn)平行?！蹦敲词欠翊嬖谶@樣的幾何，這種幾何規(guī)定；過(guò)線(xiàn)外一點(diǎn)在平面上不能作直線(xiàn)和已知直線(xiàn)平行？黎曼幾何學(xué)就回答了這個(gè)問(wèn)題。

在黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是；在同一平面內(nèi)任何兩條直線(xiàn)都有公共點(diǎn)，這個(gè)事實(shí)我們可以從三度空間中的二度球面來(lái)進(jìn)行觀察。如右圖所示，在這個(gè)球面上我們把“直線(xiàn)'規(guī)定是這個(gè)球面的大圓，這樣的直線(xiàn)是封閉的。在這種幾何里，就這個(gè)圖來(lái)說(shuō)，任意兩條“直線(xiàn)”必然相交。因此，過(guò)一定直線(xiàn)外一點(diǎn)，永遠(yuǎn)都不能作直線(xiàn)”平行于這條定直線(xiàn)。此外，在球面上任意兩點(diǎn)間的距離是過(guò)這兩點(diǎn)的大圓上介于這兩點(diǎn)間比較短的弧的弧長(zhǎng)，這也是過(guò)這兩點(diǎn)的一切弧中最短的?。ㄟ@和歐氏幾何中平面上任意兩點(diǎn)間的直線(xiàn)距離最短是吻合的）。

在黎曼幾何中有一個(gè)重要結(jié)論，就是“三角形的三個(gè)內(nèi)角和大于180”。這是因?yàn)樵谶@種幾何里，“直線(xiàn)”是球面上的大圓弧，球面上三條這樣的直線(xiàn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形。例如，在左圖的球面上過(guò)北極N和南極S的兩條大圓?。ㄒ步凶鲎游缇€(xiàn)），和赤道圍成一個(gè)三角形，也就是圖中的△NAB。我們知道，子午線(xiàn)是垂直于赤道的，因此，這樣的球面三角形的三個(gè)角中巳經(jīng)有了兩個(gè)直角，再加上第三個(gè)角，三角形的內(nèi)角和就大于180°。這是黎曼幾何中的一個(gè)重要的結(jié)論。

近代黎曼幾何在廣義相對(duì)論里得到了重要的應(yīng)用。在物理學(xué)家愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中的空間幾何就是一種黎曼幾何。愛(ài)因斯坦在狹義相對(duì)論里主要和基本的命題是：空間和時(shí)間有不可分割的密切關(guān)系。而在廣義相對(duì)論里放棄了關(guān)于時(shí)空的均勻性的觀念，他認(rèn)為時(shí)空只是在充分小的區(qū)域里以一定的近似性而均勻的，但是整個(gè)卻不是均勻的，只是在微小的區(qū)域內(nèi)以一定的近似性而均勻的時(shí)空的觀念。在物理學(xué)中的這種解釋?zhuān)∏∈呛汀霸跓o(wú)窮小范圍內(nèi)”歐氏幾何式的黎曼空間的觀念相似的。這個(gè)廣義相對(duì)論里的時(shí)空就可以解釋為一種黎曼空間。

此外，黎曼幾何在數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎(chǔ)，也應(yīng)用在微分方程、變分法和復(fù)變函數(shù)論等方面。

黎曼幾何和歐氏幾何、羅氏幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三種幾何學(xué)各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿(mǎn)足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此這三種幾何都是正確的。在我們這個(gè)不大不小不近不遠(yuǎn)的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐氏幾何學(xué)是適用的；在宇宙空間中（或在原子核世界中）羅氏幾何更符合于客觀實(shí)際，在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問(wèn)題中，黎氏幾何就更適用了。